最新因子分析法基本原理

1、 口口 *1 刃1因子分析法基本原理在對(duì)某一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行論證分析時(shí)，采集大量多變量的數(shù)據(jù)能為我們的研究分 析提供更為豐富的信息和增加分析的精確度。然而，這種方法不僅需要巨大的工 作量，并且可能會(huì)因?yàn)樽兞恐g存在相關(guān)性而增加了我們研究問(wèn)題的復(fù)雜性。因 子分析法就是從研究變量?jī)?nèi)部相關(guān)的依賴(lài)關(guān)系岀發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的 變量歸結(jié)為少數(shù)兒個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)訃分析方法。這樣我們就可以對(duì)原 始的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)歸并，將相關(guān)比較密切的變量分別歸類(lèi)，歸出多個(gè)綜合指標(biāo)， 這些綜合指標(biāo)互不相關(guān)，即它們所綜合的信息互相不重疊。這些綜合指標(biāo)就稱(chēng)為 因子或公共因子。因子分析法的基本思想是將觀測(cè)變量進(jìn)行分類(lèi)，將相關(guān)

2、性較高，即聯(lián)系比較 緊密的分在同一類(lèi)中，而不同類(lèi)變量之間的相關(guān)性則較低，那么每一類(lèi)變量實(shí)際 上就代表了一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，即公共因子。對(duì)于所研究的問(wèn)題就是試圖用最少個(gè)數(shù) 的不可測(cè)的所謂公共因子的線(xiàn)性函數(shù)與特殊因子之和來(lái)描述原來(lái)觀測(cè)的每一分 量。這樣，就能相對(duì)容易地以較少的兒個(gè)因子反映原資料的大部分信息，從而達(dá) 到濃縮數(shù)據(jù)，以小見(jiàn)大，抓住問(wèn)題本質(zhì)和核心的LI的。因子分析法的核心是對(duì)若干綜合指標(biāo)進(jìn)行因子分析并提取公共因子，再以每 個(gè)因子的方差貢獻(xiàn)率作為權(quán)數(shù)與該因子的得分乘數(shù)之和構(gòu)造得分函數(shù)。因子分析 法的數(shù)學(xué)表示為矩陣：X=AF+B,即：K = / + al2f2 + aj； + 弧 /, + 0、X2

3、 = a2i +(X21f2 +aTifi +a2kfk +02 X3 = Ct3f + 幺3寸2 + a、3人+a* fk + 卩3(kWp)(1式)xP=a,J +aPifi +ap3人 + a+0p模型中，向量X (為入宀,)是可觀測(cè)隨機(jī)向量，即原始觀測(cè)變量。F(,厶，厶，JJ是X (州,兀2，召，,耳)的公共因子，即各個(gè)原觀測(cè)變量的表達(dá)式中 共同出現(xiàn)的因子，是相互獨(dú)立的不可觀測(cè)的理論變量。公共因子的具體含義必須 結(jié)合實(shí)際研究問(wèn)題來(lái)界定。是公共因子F(/2J3, -Jj的系數(shù)，稱(chēng)為因子 載荷矩陣，勺(上1,2p;j=l,2,k)稱(chēng)為因子載荷，是第i個(gè)原有變量在第j個(gè) 因子上的負(fù)荷，或可將

4、旳看作第i個(gè)變量在第j公共因子上的權(quán)重。旳是x：與賃 口口 *1 刃的協(xié)方差，也是Xi與f,的相關(guān)系數(shù)，表示掄對(duì)fj的依賴(lài)程度或相關(guān)程度。旳的絕 對(duì)值越大，表明公共因子fj對(duì)于Xi的載荷量越大。B仏,02,03,0。）是 X（x“2“，宀）的特殊因子，是不能被前k個(gè)公共因子包含的部分，這種因子也 是不可觀測(cè)的。各特殊因子之間以及特殊因子與所有公共因子之間都是相互獨(dú)立 的。2.模型的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣A中有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)因子分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋十分重要，即變 量共同度和公共因子的方差貢獻(xiàn)。（1）變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義變量共同度是因子載荷矩陣A的第i行的元素的平方和。記為：h； =土處（其 7=1中：

5、i=l, 2,. ,p）o它衡量全部公共因子對(duì)x,的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映全部公共因子對(duì)變量禺的影響。越大，表明X對(duì)于F每一分量的依賴(lài)程度大。對(duì)1式兩邊取方差，得：巾心）=&W心J + a；2Var（f2） + +a；kVaifk） + 如（0：）=工話(huà) + 0：（ 2式） ）=1 1=1k如果用=2處的結(jié)果接近血尸（兀），且0:非常小，則因子分析的效果就比 /=!較好，從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)就好。（2）公共因子的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為：ghj （其中：/=1J 1， 2, y k）g；稱(chēng)為公共因子F（/”/23,，人）對(duì)X（X“2，X3,啲方差貢獻(xiàn)

6、，表示第j 個(gè)公共因子fi對(duì)于X的每一個(gè)分量Xi（i二1, 2, . . . , P）所提供的方差的總和，是衡量 公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。對(duì)2式進(jìn)行變換，得：V7（兀）=aVarCf,） + a-2Vur（f2） + - +alVarfk） + Wr（0）=工g； + 工 0：j=/=1g；越大,表明公共因子F（,/2,厶,，&）對(duì)X&2，宀）的貢獻(xiàn)越大，或 者說(shuō)對(duì)Xg,X2，N，心）的影響和作用就越大。如果將因子載荷矩陣A的所有 g；（j=l, 2, k）都計(jì)算出來(lái)，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影 響力的公共因子。例析種群的存活曲線(xiàn)一曲線(xiàn)分析反映種群個(gè)體在各種年齡段的存活數(shù)量動(dòng)態(tài)

7、變化的曲線(xiàn)，稱(chēng)為存活曲線(xiàn)。它 能反映生物個(gè)體發(fā)育階段對(duì)種群數(shù)量的調(diào)節(jié)狀況。存活曲線(xiàn)可分為三種，反映內(nèi)容如下：a型：存活曲線(xiàn)呈凸型。它們表示種群的大多數(shù)個(gè)體均能實(shí)現(xiàn)其平均的生理 壽命（種群生理壽命是指種群處于最適生活環(huán)境下的平均年齡，而不是某個(gè)特殊 個(gè)體可能具有的最長(zhǎng)壽命），在到達(dá)平均壽命時(shí)，兒乎同時(shí)死亡。也就是說(shuō)，在 接近生理壽命前只有少數(shù)個(gè)體死亡。人類(lèi)和許多高等動(dòng)物（大型獸類(lèi)）以及許多 一年生的植物常屬此類(lèi)。b型：存活曲線(xiàn)呈對(duì)角線(xiàn)。它們表示各年齡段具有相同的死亡率。多年生 次結(jié)實(shí)植物和水媳、許多鳥(niǎo)類(lèi)以及小型哺乳動(dòng)物的存活曲線(xiàn)接近此類(lèi)。C型：存活曲線(xiàn)呈凹型。它們表示幼小個(gè)體的死亡率極高，一旦過(guò)了危險(xiǎn)期 死亡率就變得很低而且穩(wěn)定。許多海產(chǎn)魚(yú)類(lèi)、海產(chǎn)無(wú)脊椎動(dòng)物、許多低等脊椎動(dòng) 物和寄生蟲(chóng)以及多次結(jié)實(shí)的多年生植物屬此類(lèi)。存活曲線(xiàn)以環(huán)境條件和對(duì)有限資源的競(jìng)爭(zhēng)為轉(zhuǎn)移。例如，人類(lèi)的存活曲線(xiàn)因 營(yíng)養(yǎng)、衛(wèi)生醫(yī)藥條件而有很大的變化。如果環(huán)境變得合適，死亡率能夠變得很低, 種群就會(huì)突然爆發(fā)。不少農(nóng)業(yè)害蟲(chóng)的爆發(fā)就是這種情況。研究存活曲線(xiàn)可以判斷 各種動(dòng)物種群最容易受傷害的年齡而人為地有效地控制這一種群的數(shù)量，以達(dá)到 造福人類(lèi)的目的，如可以選擇最有利時(shí)間打