插值法綜述《計(jì)算方法》學(xué)習(xí)報(bào)告

1、 所在學(xué)院： 專業(yè)： 課程號： 086 姓名： 成績： 插值法綜述 一、插值法及其國內(nèi)外研究進(jìn)展 1.插值法簡介插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來自生產(chǎn)實(shí)踐，早在一千多年前，我國科學(xué)家在研究歷法上就應(yīng)用了線性插值與二次插值，但它的基本理論卻是在微積分產(chǎn)生之后才逐漸完善的，其應(yīng)用也日益增多，特別是在計(jì)算機(jī)廣泛使用之后，由于航空、機(jī)械加工、自動(dòng)控制等實(shí)際問題的需要，使插值法在實(shí)踐和理論上都顯得更為重要，并得到了空前的發(fā)展。2.國內(nèi)外研究進(jìn)展l 插值法在預(yù)測地基沉降的應(yīng)用l 插值法在不排水不可壓縮條件下兩相介質(zhì)的兩重網(wǎng)格算法的應(yīng)用l 拉格朗日插值法在地震動(dòng)的模擬研究中的應(yīng)用l 插值法在結(jié)構(gòu)抗震可靠性分

2、析中的應(yīng)用l 插值法在應(yīng)力集中應(yīng)變分布規(guī)律實(shí)驗(yàn)分析中的應(yīng)用3.代表性文獻(xiàn)l 不等時(shí)距GM(1%2c1)模型預(yù)測地基沉降研究 秦亞瓊 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)(交通科學(xué)與工程版) 2008.2 l 不排水不可壓縮條件下兩相介質(zhì)的兩重網(wǎng)格算法 牛志偉 巖土力學(xué) 2008.3l 基于拉格朗日插值法的地震動(dòng)的模擬 白 可 山西建筑 2010.10l 響應(yīng)表面法用于結(jié)構(gòu)抗震可靠性分析 張文元 世界地震工程 1997l 小議應(yīng)力集中應(yīng)變分布規(guī)律的實(shí)驗(yàn)方法 查瓏瓏 淮海工學(xué)院學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版）2004.6 二、插值法的原理【原理】設(shè)有n+1個(gè)互不相同的節(jié)點(diǎn)（，） （i=0，1，2，.n）則存在唯一的多項(xiàng)式： 使得

3、證明：構(gòu)造方程組 令：方程組的矩陣形式如下：由于所以方程組（4）有唯一解。從而唯一存在。三、常用插值法3.1 Lagrange插值法3.1.1 Lagrange插值法的一般提法給定，多項(xiàng)式稱為關(guān)于的次Lagrange插值多項(xiàng)式。3.1.2 Lagrange插值多項(xiàng)式的構(gòu)造已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)其中互不相同，不妨設(shè)要求形如： 的插值多項(xiàng)式。若n次多項(xiàng)式在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件：就稱這n+1個(gè)n次多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)的n次插值基函數(shù)。3.1.3 Lagrange插值法的程序設(shè)計(jì)fx_:=ExpxA=Tablex,fx,x,0,0.8,0.2/Ng1=ListPlotTableA,Prolog-AbsoluteP

4、ointSize18;InterpolationA,InterpolationOrder-3g2=Plot%x,x,0,0.8Showg1,g2N%0.12,20N%0.72,20Nf0.12,20Nf0.72,203.1.4 Lagrange插值法典型例題及其解法已知，構(gòu)造二次拉格朗日插值多項(xiàng)式。（1）計(jì)算；（2）估計(jì)誤差并與實(shí)際誤差相比較。解 （1）以插值點(diǎn)(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得=(2) 由誤差公式有記在27，125上是單調(diào)遞減函數(shù)。實(shí)際誤差：。3.1.5 Lagrange插值法誤差估計(jì)3.2 Newton插值法3.1.1 Newton插值法的一般提

5、法稱為Newton插值多項(xiàng)式。3.1.2 Newton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造由插值條件 當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),推得 .當(dāng)時(shí)， 則引入記號： 依次遞推可得的一般表達(dá)式： 3.1.3 Newton插值法的程序設(shè)計(jì)x0,x1,x2,x3,x4=10,11,12,13,14;yk_:=LogxkTableyk,k,0,4/N;MatrixForm%fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_:=(fj

6、,k,l-fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0,0/N;MatrixForm%A=y0,y1,y2,y3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4, 0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4, 0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1;a2=f0,1

7、,2;a3=f0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*Product(x-xm),m,0,k-1,k,0,4/NExpand%3.1.4 Newton插值法典型例題及其解法已知函數(shù)的函數(shù)表如下：0.400.550.650.800.901.050.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.253 82求四次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此求的近似值。分析表中給出六對數(shù)據(jù)，故最高可構(gòu)造五次多項(xiàng)式。但由于0.596接近于，因此可取前五對數(shù)據(jù)來做差商表。解構(gòu)造差商表如下：一階差商二階差商三階差商四階差商0.40 0.550.650.800.900.41

8、0 750.578 150.696 750.888 111.026 521.116 001.186 001.275 731.384 100.280 000.358 930.433 480.197 330.213 000.031 34故四次牛頓插值多項(xiàng)式為 于是0.631 95。3.1.5 Newton插值法誤差估計(jì)其中四、插值法的比較Lagrange 插值是利用基函數(shù)方法構(gòu)造的插值多項(xiàng)式，在理論上十分重要，但計(jì)算不太方便?；瘮?shù)方法是將插值問題劃歸為特定條件下容易實(shí)現(xiàn)的插值問題，本質(zhì)上是廣義的坐標(biāo)系方法。Newton 插值在計(jì)算插值多項(xiàng)式及求解函數(shù)近似值都比較方便且計(jì)算量相對較小，是求函數(shù)近似

9、值常用的方法，尤其是等距節(jié)點(diǎn)的差分插值公式最為常用。五、插值法在結(jié)構(gòu)工程專業(yè)的應(yīng)用案例1.案例敘述應(yīng)用Matlab求解水道測量數(shù)據(jù)問題摘要：水道測量數(shù)據(jù)問題是一個(gè)給定數(shù)據(jù)散亂、隨機(jī)分布的二維離散數(shù)據(jù)的插值問題。本文以水道測量數(shù)據(jù)問題為例，應(yīng)用Matlab軟件提供的求解三維網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)的函數(shù)，對求解決給定數(shù)據(jù)散亂、隨機(jī)分布的二維離散數(shù)據(jù)插值問題，給出了一個(gè)簡便易行的方法。問題重述水道測量數(shù)據(jù)問題是1986年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題，由加州海軍研究生院數(shù)學(xué)系的Richard Franke提供。問題如下：在某海域測得一些點(diǎn)（x, y）處的水深z（單位：英尺）由表1給出，水深數(shù)據(jù)是在低潮時(shí)測得的。船

10、的吃水深度為5英尺，問在矩形區(qū)域 (75，200) (-50，150) 里的哪些地方船要避免進(jìn)入。表1 水道水深測量數(shù)據(jù)（單位：英尺）x129.0140.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y-6.5-81.03.056.5-66.584.0-38.5z99889492.案例解法l 假設(shè)與問題分析由題目給出的信息是很少的，除了14個(gè)位置的水深之外一無所知。顯然，題目要求我們找出水深不到5英尺的區(qū)域。為了討論方便，下面三個(gè)假設(shè)是合理的：

11、（1）所給數(shù)據(jù)是精確的； （2）討論區(qū)域的海底曲面是光滑的，更確切地說，可以認(rèn)為曲面的一階、二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。因?yàn)槲覀兛梢哉J(rèn)為討論區(qū)域?yàn)闇\水海域，由于長期的海水水流作用，形成的是以礫石或沙為主要組成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突變地形。 （3）水深是一個(gè)按區(qū)域來劃分的變量，在某個(gè)位置的水深與其周圍區(qū)域的水深是相互依賴的，但這種依賴作用隨距離的增大而減小。就我們討論的問題來說，每一個(gè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)影響周圍的每一個(gè)未知點(diǎn)，一個(gè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)離未知點(diǎn)越近，作用就越大。根據(jù)假設(shè)，海底曲面是連續(xù)光滑的，不存在珊瑚礁、水底峽谷、山脊等不可意料的突變地形，因而很自然的想法就是用某種光滑的擬合

12、曲面去逼近已知的14個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)或以14個(gè)已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)為基礎(chǔ)，利用二維插值補(bǔ)充一些點(diǎn)的水深，以求得水深不超過5米的區(qū)域。l 問題求解題目中給定的14個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，是一組散亂、隨機(jī)分布的二維離散數(shù)據(jù)集合，一般首先采用改進(jìn)的Shepard方法，從給定的數(shù)據(jù)恢復(fù)出規(guī)則分布點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，然后再應(yīng)用雙三次樣條插值或其它的二維數(shù)據(jù)插值方法來處理。然而，利用Matlab中求解三維網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)的函數(shù)griddata，卻可直接對散亂、隨機(jī)分布的二維離散數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。函數(shù)griddata的調(diào)用格式為：xi, yi, zi = griddata(x, y, z, xi, yi, v4)，其返回與向量x、y和z所描述的數(shù)據(jù)點(diǎn)

13、集合相匹配的表面f(x, y) 上網(wǎng)格點(diǎn)的z坐標(biāo)矩陣zi。函數(shù)griddata在點(diǎn) (xi, yi) 處對表面函數(shù)f(x, y) 進(jìn)行插值，從而得到zi的值。在此，我們采用求解三維網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)的函數(shù)griddata，對題目中給出的二維離散數(shù)據(jù)集合進(jìn)行插值，作出矩形區(qū)域 (75，200) (-50，150) 范圍內(nèi)的海底地形圖、水深不超過5米的危險(xiǎn)區(qū)域的海底地貌圖、矩形區(qū)域 (75，200) (-50，150) 范圍內(nèi)的海底等高線圖以及水深不超過5米的危險(xiǎn)區(qū)域的平面圖，并求出水深不超過5米的危險(xiǎn)海域范圍為：113.75, 2000, 100。問題求解的Matlab程序及運(yùn)行結(jié)果附后。3.求解案例的

14、程序設(shè)計(jì)l 求解水道測量數(shù)據(jù)問題的Matlat程序l clear;x = 129, 140, 108.5, 88, 185.5, 195, 105.5, 157.5, 107.5, 77, 81, 162, 162, 117.5;y = 7.5, 141.5, 28, 147, 22.5, 137.5, 85.5, -6.5, -81, 3, 56.5, -66.5, 84, -38.5;z = -4, -8, -6, -8, -6, -8, -8, -9, -9, -8, -8, -9, -4, -9;nx = 100;px = linspace(75, 200, nx);ny = 200;

15、py = linspace(-50, 150, ny);xi, yi = meshgrid(px, py);xi, yi, zi = griddata(x, y, z, xi, yi, v4);figure(1), meshc(xi, yi, zi+5);title(75, 200), (-50, 150) 范圍內(nèi)的海底地形圖);rotate3dfigure(2), contour(xi, yi, zi);title(75, 200), (-50, 150) 范圍內(nèi)的海底等高線圖);gridfigure(3), contour(xi, yi, zi, -5 -5);title(水深不超過5米的

16、危險(xiǎn)區(qū)域的平面圖);grida, b = find(zi=-5);amin = min(a);amax = max(a);bmin = min(b);bmax = max(b);xmin = 75+(200-75)/100)*bminxmax = 75+(200-75)/100)*bmaxymin = -50+(150+50)/200)*aminymax = -50+(150+50)/200)*amaxi1, j1 = find(zi-5);for k = 1:length(i1) zi(i1(k), j1(k) = -5;endfigure(4), meshc(xi, yi, zi);title(水深不超過5米的危險(xiǎn)區(qū)域的海底地貌圖);rotate3dl 運(yùn)行結(jié)果如下：xmin = 113.75，xmax = 200，ymin = 0，ymax = 100。4.方法的推廣與探究本文雖然針對的只