Ch8 變形及剛度計算

1、 8 1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 8 2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算 8 3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8 4 簡單超靜定問題簡單超靜定問題內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要第八章第八章 變形及剛度計算變形及剛度計算 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形FF一、軸向拉壓桿的變形一、軸向拉壓桿的變形l0 lll1 1ld1d縱向伸長、橫向縮短縱向伸長、橫向縮短縱向伸長量：縱向伸長量：橫向縮短量：橫向縮短量：0 ddd1 1) 軸向拉伸軸向拉伸 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形FFl1ld1d0 lll1縱向縮短、橫向伸長縱向縮短、橫

2、向伸長縱向縮短量：縱向縮短量：橫向伸長量：橫向伸長量：0 ddd12) 軸向壓縮軸向壓縮結(jié)論結(jié)論： 絕對變形量不足以描述變形的程度絕對變形量不足以描述變形的程度。討論：下列兩桿件哪一個變形更嚴(yán)重討論：下列兩桿件哪一個變形更嚴(yán)重F1F1l1l（a）F2F2l+a1la（b） 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形表示單位長度線段變形的表示單位長度線段變形的應(yīng)變應(yīng)變恰好可以恰好可以描述變形的程度。描述變形的程度。FFl1ld1d lll11、縱（軸）向變形量：、縱（軸）向變形量：2、橫向變形量：、橫向變形量： ddd1FFl1ld1d軸向

3、線應(yīng)變：軸向線應(yīng)變：ll 橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變：dd3、線應(yīng)變的符號約定：、線應(yīng)變的符號約定： 與變形量的正負(fù)號一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)。與變形量的正負(fù)號一致，即拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)。 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形二、軸向拉壓桿的變形計算二、軸向拉壓桿的變形計算EENFANFEAllll =NF llEA上式表明上式表明:EA愈大，愈大，l愈小?；蛘哒f，愈小?；蛘哒f， EA反映了桿反映了桿件抵抗變形的能力，稱為桿件的

4、抗拉（壓）剛度。件抵抗變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。1) 軸向變形軸向變形 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 =NF llEA上式的適用條件：線彈性條件下，在上式的適用條件：線彈性條件下，在l長度上長度上EA和和FN均為常數(shù)。即桿件變形均勻，均為常數(shù)。即桿件變形均勻，=常數(shù)常數(shù)。若若EA和和FN分段為常數(shù)分段為常數(shù)i iiiNF llEA=若若EA和和FN連續(xù)變化連續(xù)變化 dlxxxNFlEA= 當(dāng)桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當(dāng)桿件受當(dāng)桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當(dāng)桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。壓縮

5、沿縱向縮短時，橫向則伸長。FFb1h1bh橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變：11-hhhhhbbbbbll 軸向線應(yīng)變：軸向線應(yīng)變：實驗表明，對于同一種材料，存在如下關(guān)系：實驗表明，對于同一種材料，存在如下關(guān)系：v或：或：v v 稱為稱為泊松比，量綱為一常數(shù)泊松比，量綱為一常數(shù)負(fù)號表示縱向與橫負(fù)號表示縱向與橫向變形的方向總是相反向變形的方向總是相反l1l 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形2) 泊松比泊松比材料名稱材料名稱E（GPa）v鋼鋼2002200.240.30鋁合金鋁合金70720.260.33鑄鐵鑄鐵801600.230.27混凝

6、土混凝土15360.160.20木材（順紋）木材（順紋）812-硅石材硅石材2.73.50.120.20幾種常見材料的幾種常見材料的E和和v值值 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1m。求桿的總變形求桿的總變形。彈性模量彈性模量材料的材料的積，受力如圖。積，受力如圖。已知桿的長度、截面面已知桿的長度、截面面例例MPa10125 .E畫軸力圖畫軸力圖EAlFLLLLLLNDECDBCABiAE10KN40KN20KN+FN圖圖0.762mm250102.1101

7、1040L533AB0.381mm250102.11021010L533BC0.238mm200102.11011010L533CD 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形40KN20KN10KN+50kN20kN30kN21250mmA 22200mmA 1m2m3m1mFN圖圖AEL0.7620.381 0.2381.429 1.572mm 33DE52010310L2.110200 1.429mm 即桿被壓短了即桿被壓短了1.572mm1.572mm 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的

8、變形軸向拉壓桿的變形下下的的伸伸長長量量。求求自自重重作作用用長長抗抗拉拉剛剛度度等等直直桿桿容容重重為為例例lEA, ayqy(y)FNyqLqEA11 GAlql b c解：解：把自重簡化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度把自重簡化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度q qAA任意取一個截面任意取一個截面1 11 1，畫受力圖。，畫受力圖。qy(y)FN在在1 11 1截面處取出一微段截面處取出一微段dydy作為研究對象，受力如圖。作為研究對象，受力如圖。由于取的是微段，由于取的是微段，dFdFN N(y)(y)可以忽略，認(rèn)為在微段可以忽略，認(rèn)為在微段dydy上軸上軸力均勻分布（常數(shù)）力均勻分布

9、（常數(shù)）dy(y)dF(y)FNNqy(y)FN 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形軸力軸力 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALAL2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FNEA(y)dyFLdN2EAAL2EAqLEAqydyEA(y)dyFLdL22L0LNL 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形注注：FN(y)dy相當(dāng)于軸力圖的微面相當(dāng)于軸力圖的微面積積dy(y)NF 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 ayqy(y)FNyqLqEA11dy c2EAGL2EALA

10、L2EAALL2(y)dF(y)FNNqy(y)FN結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當(dāng)作集結(jié)論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當(dāng)作集中力作用在桿端所引起的變形量的一半。中力作用在桿端所引起的變形量的一半。LEAG G另取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作另取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作用在自由端，此時桿件的伸長量為用在自由端，此時桿件的伸長量為EAGLL1LL2 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形

11、2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 2-6 2-6 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形 8-1 8-1 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形抗扭剛度抗扭剛度扭率：扭率：ddTpMxG I扭率扭率（單位長度上的扭轉(zhuǎn)角）（單位長度上的扭轉(zhuǎn)角）描述了扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度描述了扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度pG I扭轉(zhuǎn)角：扭轉(zhuǎn)角： 0ddlTplMxxxGIx單

12、位：單位：radrad 8-2 8-2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 0ddlTplMxxxGIxTpM lGI當(dāng)在桿長當(dāng)在桿長l內(nèi)扭率為常數(shù)時內(nèi)扭率為常數(shù)時當(dāng)在桿長當(dāng)在桿長L L內(nèi)扭率分段為常內(nèi)扭率分段為常數(shù)時，用數(shù)時，用求和公式求和公式Ti ipiM lGI 8-2 8-2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算二、剛度條件二、剛度條件 TpMGI以度每米為單位時以度每米為單位時以弧度每米為單位時以弧度每米為單位時 180TpMGI許用單位長度扭轉(zhuǎn)角許用單位長度扭轉(zhuǎn)角（1 1）校核強(qiáng)度）校核強(qiáng)度（2 2）設(shè)計截面

13、）設(shè)計截面（3 3）確定荷載）確定荷載 rad/m/m剛度條件剛度條件剛度條件的應(yīng)用剛度條件的應(yīng)用已知已知T T 、D D 和和 已知已知T T 和和 已知已知D D 和和 8-2 8-2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算例題：圓軸如圖所示。已知例題：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用剪應(yīng)力材料的許用剪應(yīng)力 =40MPa，軸的，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角許用單位扭轉(zhuǎn)角 =0. 8/m，剪切彈性模量剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸的。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度。扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m 8-2 8-2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的

14、變形和剛度計算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計算d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m解：強(qiáng)度校核解：強(qiáng)度校核MPaWTt6301611010836222.+8KN.m3KN.mT T圖圖1 12 2MPaWTt236167510336111. MPa2361.max滿足強(qiáng)度條件滿足強(qiáng)度條件分析：雖然分析：雖然T TABABT0M 0 , M 0曲線向下凹曲線向下凹 時時 ： y 0因此因此, , M M 與與 y的正負(fù)號相反的正負(fù)號相反oxy zEIxM)(2321)( yyzEIxMyy)()( 2321 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-2

15、 8-2 梁的撓曲線的近似微分方程梁的撓曲線的近似微分方程zEIxMy)(此式稱為此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程（或稱為小撓度微分方程）梁的撓曲線近似微分方程（或稱為小撓度微分方程）近似原因近似原因: (1) : (1) 略去了剪力的影響略去了剪力的影響; (2) ; (2) 略去了略去了 y y 2 2 項。項。2y與與 1 1 相比十分微小而可以忽略不計相比十分微小而可以忽略不計, , 故上式可近似為故上式可近似為zEIxMyy)()( 2321 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 zEIx

16、My)(梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程1）公式推導(dǎo)）公式推導(dǎo)再積分一次再積分一次, , 得撓度方程得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程CM(x)dxyEIEIZZDCxM(x)dxyEI2z式中式中C C 、D D稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的，可通過梁撓曲線的位移邊界條件位移邊界條件和和變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件來確定。來確定。三、用積分法求梁的變形三、用積分法求梁的變形 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 AB0yA0yB0yA0 AAB在簡支梁中，在

17、簡支梁中， 左右兩鉸支座處的撓度左右兩鉸支座處的撓度 y yA A 和和 y yB B 都應(yīng)等于零（都應(yīng)等于零（邊界邊界）；）；C C左、左、C C右截右截面的面的撓度撓度 、轉(zhuǎn)角相等（、轉(zhuǎn)角相等（變形連續(xù)變形連續(xù)）。）。在懸臂梁在懸臂梁 中，固定端處的撓度中，固定端處的撓度 y yA A和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 A A 都應(yīng)等于零。都應(yīng)等于零。2）位移邊界條件和變形連續(xù)條件）位移邊界條件和變形連續(xù)條件位移邊界條件：位移邊界條件：y yA A 0 0 ，y yB B 0 0位移邊界條件：位移邊界條件：y yA A 0 0 ， A A 0 0注意：位移邊界條件在支座處注意：位移邊界條件在支座處 變形連續(xù)條件

18、在分段點變形連續(xù)條件在分段點變形連續(xù)條件：變形連續(xù)條件：CyyCC2121CCy yC1 C1 y yC2C2， C1 C1 C2C2 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 積分常數(shù)積分常數(shù)C C、D D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。條件確定。AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0Ay 0Ay 0AAy 位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件ALARyyARAL ALARyy 彈簧變形彈簧變形 8-1 8-1 概述概述 8-3

19、8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 注注 意意 當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。方程也隨之而異。ABFDabl 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 1 1、正確分段，分別列彎矩方程；、正確分段，分別列彎矩方程；

20、2 2、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積、分段列近似微分方程，一次積分得轉(zhuǎn)角方程，再此積分得撓度方程；分得撓度方程；3 3、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。步步 驟驟注意：注意：1、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段點處；點處；2、分、分n段，就要列段，就要列n個彎矩方程，就有個彎矩方程，就有n個轉(zhuǎn)角方程和個轉(zhuǎn)角方程和n個撓度方程，因此就有個撓度方程，因此就有2n個積分常數(shù)，就必須列出個積分常數(shù)，就必須列出2n個補(bǔ)充方程（邊界條件和變形連續(xù)條件）個補(bǔ)充方程（邊界條件和變形

21、連續(xù)條件） 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 CDAFB例題例題 ：用積分法求位移時，：用積分法求位移時，圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。界條件和變形連續(xù)條件。3m3m2mq解：分解：分ACAC、CBCB、BDBD三段三段1位移邊界條件：位移邊界條件：變形連續(xù)條件：變形連續(xù)條件：y yA A 0 0y yC1 C1 y yC2C2， C1 C1 C2C223應(yīng)該列

22、應(yīng)該列6 6個補(bǔ)充方程個補(bǔ)充方程y yB2 B2 y yB3B3， B2 B2 B3B3A A截面：截面：x x1 1=0=0時，時，C C截面：截面：x x1 1=x=x2 2=3m=3m時，時，B B截面：截面：x x2 2=x=x3 3=6m=6m時，時，B B截面：截面：x x2 2=x=x3 3=6m=6m時，時，y yB B 0 0 x 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為 EI EI 的懸臂梁的懸臂梁, , 在自由端受一在自由端受一集中力

23、集中力 P P 作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, , 并并確定其最大撓度確定其最大撓度 y ymaxmax 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 max max 。 lyABxP P 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 (1) )()(xlPxM彎矩方程為彎矩方程為解：解：撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為(2) )( PxPlxMEIyx)(xMyEI lyABxP P(3) 212CPxPlxEIy對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分)4(6

24、22132CxCPxPlxEIy 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 0,00,0yxyx邊界條件為邊界條件為 ：C C1 1=0 C=0 C2 2=0=0將邊界條件代入將邊界條件代入(3) (4)(3) (4)兩式中兩式中, ,可得可得(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIyxlyABxP P 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 C C1 1=0 C=0 C2 2=

25、0=0(4) 62(3) 2213212CxCPxPlxEIyCPxPlxEIy梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為EIPxEIPlxy22EIPxEIPlxy6232xlyABxP P 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 max max 及及 y ymaxmax都發(fā)生在自由端截面處都發(fā)生在自由端截面處（ ）EIPlyylx33|maxlyABxP PfmaxmaxEIPlEIPlEIPllx22222|max（ ）ymax 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及

26、剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 例題：例題： 圖示一抗彎剛度為圖示一抗彎剛度為 EI EI 的簡支梁的簡支梁, , 在全梁上受在全梁上受集度為集度為q q 的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程, , 并確定其最大撓度并確定其最大撓度 y ymax max 和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角 max max 。lABq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 2qlFFRBRAlABq解解: : 由對稱性可知，梁

27、的兩個支反力為由對稱性可知，梁的兩個支反力為RARBFRAFRB彎矩方程為彎矩方程為撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為 221222)()(xlxqqxxqlxMx 22)()( xlxqxMEIyx x 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算lABqRARBFRAFRB撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分x 22)()( xlxqxMEIy(c)CxlxqEIy132)32(2(d)CxCxlxqEIy2143)126(2x x 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位

28、移 lABqRARBFRAFRBxCxlxqEIy132)32(2CxCxlxqEIy2143)126(2邊界條件為邊界條件為 ：,0 x0y, lx 0yx x02 C2431qlC 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為)()(3233232244624xlxlEIqxyxlxlEIqy 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 maxABEIql243 xlABqB在在 x=0 和和 x=l 處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值，處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值， ARARBFRAFRB 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為)()(3233232

29、244624xlxlEIqxyxlxlEIqy 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 EIqlyylx384542max由對稱，在梁跨中點由對稱，在梁跨中點 l/2 處有處有 最大撓度值最大撓度值ymax xlABqB A 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為)()(3233232244624xlxlEIqxyxlxlEIqyRARBFRAFRB maxABEIql243 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁

30、的位移積分法計算梁的位移 例題例題 ：圖示一抗彎剛度為：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁的簡支梁, , 在在D D點處受一點處受一集中力集中力P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求并求D D截面的撓度和截面的撓度和A A、B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角ABPDabl 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 lbPFRAlaPFRB解：梁的兩個支反力為解：梁的兩個支反力為ABPDablRARBFRAFRB)(axxlbPxFMRA0112)()(lxaaxPxlb

31、PM2xx1 1、分兩段分別列彎矩方程、分兩段分別列彎矩方程 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 2、兩段梁的撓曲線方程分別為、兩段梁的撓曲線方程分別為xlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(2DxCaxPxlbPEIy223326)(612撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )l)(axxlbPxFMRA01)()(lxaaxPxlbPM2可見，梁分兩段

32、，就有可見，梁分兩段，就有4個積分常數(shù)個積分常數(shù) 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 D D點的連續(xù)條件：點的連續(xù)條件：在在 x1x2 = a 處處21yyyy21邊界條件邊界條件在在處，處，在在x = 0處，處，01ylx 02yABPDabl12RARBFRAFRB3 3、邊界條件和變形連續(xù)條件、邊界條件和變形連續(xù)條件 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 代入方程可解得：代入方程可解得：021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCx

33、lbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6在在處，處，在在x = 0 處，處，01ylx 02y在在 x1x2 = a 處處21yyyy21 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 021DD)(62221bllPbCCxlbPMEIy11CxlbPEIy1212DxCxlbPEIy11316)(22axPxlbPMEIyCaxPxlbPEIy22222)(212撓曲線方程撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度

34、方程撓度方程( 0 x a)( a x )lDxCaxPxlbPEIy223326)(6)(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 )(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332lEIblPabxA601)(|將將 x = 0 和和 x = l

35、分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別代入轉(zhuǎn)角方程，左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角lEIalPabB6)(max當(dāng)當(dāng) a b 時時, , 右支座處截面的右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大轉(zhuǎn)角絕對值為最大lEIalPablxB62)(|ABPDabl12RARBFRAFRB 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-3 8-3 積分法計算梁的位移積分法計算梁的位移 )(31222211xbllEIPby1)(ax 0 xbllEIPbxy222162)(lxa )()(blxaxbllEIPb22222312xblxaxbllEIPby)()(622332AB

36、PDabl12RARBFRAFRBD截面的撓度：截面的撓度：把把x=a代入代入y1或者或者y2，得，得)(2226abllEIPaby|ax 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移：梁在小變形、彈性范圍內(nèi)工作時梁在小變形、彈性范圍內(nèi)工作時， 梁梁在幾項荷載（可以是集中力在幾項荷載（可以是集中力, , 集中力偶或分布力）集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角， 就分別等于每一荷載單就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。 當(dāng)每一項

37、荷載所引起的當(dāng)每一項荷載所引起的（如均沿（如均沿 y y 軸方向軸方向 ), ), 其其( ( 如均在如均在 xy xy 平面平面內(nèi)內(nèi) ) ) 時時, ,則則。疊加原理疊加原理四、用疊加法求梁的變形四、用疊加法求梁的變形 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移疊加法的分類疊加法的分類直接疊加直接疊加梁上荷載可以化成若干個典型荷載，梁上荷載可以化成若干個典型荷載，每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直接疊加；接疊加；間接疊加間接疊加梁上荷載不能化成直接查表的

38、若干梁上荷載不能化成直接查表的若干個典型荷載，需將梁進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換后才能利用表個典型荷載，需將梁進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換后才能利用表中結(jié)果進(jìn)行疊加計算。中結(jié)果進(jìn)行疊加計算。 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移例題：例題：一抗彎剛度為一抗彎剛度為 EI 的簡支梁受荷載如圖所示。的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度試按疊加原理求梁跨中點的撓度 yC 和支座處橫截面和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 A 、 B 。A AB BmlC Cq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及

39、剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移解：將梁上荷載分為兩項解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖簡單的荷載，如圖b b、c c 所所示示(b)(b)A AB BmlC CqB BA AC CqB BA AmC C(C) 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移yyyCmCqCAmAqABmBqB)(16384524EImlEIqlycqycmAqAmBqBmA AB BmlC CqA AC CqA AmC CEImlEIql3243( )EImlEIql6243( )查表，得查表，得 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移例題：試?yán)茂B加法，

40、求圖所示抗彎剛度為例題：試?yán)茂B加法，求圖所示抗彎剛度為 EI 的的簡支梁跨中點的撓度簡支梁跨中點的撓度 y yC C 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A A , , B B 。l2lABC Cq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移解：解： 可視為正對稱可視為正對稱荷載與反對稱荷載荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。兩種情況的疊加。l2lABC CqABC Cq/2C CA AB B2q2q 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移EIqlEIlqyC768538425441)(（1 1

41、）正對稱荷載作用下）正對稱荷載作用下EIqlEIlqBA482423311)(ABC Cq/2 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移（2 2）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下可將可將ACAC段和段和BCBC段分別視為受均布線荷載作用且長度段分別視為受均布線荷載作用且長度為為 在跨中在跨中C C截面處，截面處，但，但 且該截面的且該截面的 C CA AB B2q2q 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移3

42、22( )( )2224ABqlEI02yCC CA AB B2q2qEIql3843C CA AB B2q2q（2 2）反對稱荷載作用下）反對稱荷載作用下 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加加, , 即得即得EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321)(EIqlyyyCCC7685421EIEIEIqlqlqlAAA12838448333321l2lABC Cq 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算

43、8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移例題：一抗彎剛度為例題：一抗彎剛度為 EI 的外伸梁受荷載如圖所示的外伸梁受荷載如圖所示, , 試按疊加原理并利用附表試按疊加原理并利用附表, , 求截面求截面 B B 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 B B 以及以及 A A 端和端和BC BC 中點中點 D D 的撓度的撓度 y y A A 和和 y yD D 。 A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移解：將外伸梁沿解：將外伸梁沿 B B 截面截成兩段，將

44、截面截成兩段，將AB AB 段看成段看成 B B 端固定的懸臂梁，端固定的懸臂梁，BC BC 段看成簡支梁。段看成簡支梁。A AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-1 8-1 概述概述 8-3 8-3 梁的變形及剛度計算梁的變形及剛度計算 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移2q2qA AB BB B 截面兩側(cè)的相互截面兩側(cè)的相互作用力為：作用力為：qaMB2 2qa2qaqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq qA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移2

45、qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡支梁簡支梁 BCBC 的受力情的受力情況與外伸梁況與外伸梁 AC AC 的的 BCBC 段的受力情況相同段的受力情況相同由簡支梁由簡支梁 BC BC 求得求得的的 B B ，y yD D，就是外就是外伸梁伸梁 AC AC 的的 B B ，y yD DA AB BC CD Da aa a2a2a2q2qq q 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移2qa2qaqaMB2 B BC CD Dq q簡支梁簡支梁 BC BC 的變形就的變形就是是M MB B 和均布荷載和均布荷載 q q 分別引起變形的疊加。分別引起變形的疊加。q qB B

46、C CD DB BC CD DqaMB2 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移(1)(1)求求 B B ，f fD DfDqBqq qB BC CD DfMBDMBBB BC CD DqaMB2 EIqaEIqlBq32433EIqaEIlMBBMB3233EIEIqaqlyDq243845544EIEIMqalMyBDB41642EIqaMBBBqB33EIMqayyyBDDqD244由疊加原理得由疊加原理得 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移2q2qA AB B(2) (2) 求求 f fA A由于簡支梁上由于簡支梁上 B B 截面的轉(zhuǎn)動，代動截面的轉(zhuǎn)動，

47、代動 AB AB 段一起作剛體運段一起作剛體運動，使動，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 y y1 1 懸臂梁懸臂梁 AB AB 本身的彎曲變形，使本身的彎曲變形，使 A A 端產(chǎn)生撓度端產(chǎn)生撓度 y y2 2y2y1qaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qBA AB BC CD Dq qB 8-4 8-4 疊加法計算梁的位移疊加法計算梁的位移yyyyaBA221EIqay8242)(EIEIEIqaqaqayA12437444因此，因此，A A端的總撓度應(yīng)為端的總撓度應(yīng)為查表，得查表，得2q2qA AB BqaMB2 2qa2qa2qa2qaqaMB2 A AB BC CD Dq qA AB BC CD Dq qBBy2y1EIqaB33 8-5 8-5 梁的剛度校核梁的剛度校核maxlflf式中：式中：fmax 為梁上最大的撓度；為梁上最大的撓度；l 為梁的跨長；為梁的跨長； f / l 為為梁的許可撓度與的跨長比值。梁的許可撓度與的跨長比值。剛度條件（一般只校核撓度）剛度條件（一般只校核撓度）注意：注意：1、建筑結(jié)構(gòu)即要滿足強(qiáng)度條件，同時也要滿足剛