在高三復(fù)習(xí)中如何把握重要不等式

1、在復(fù)習(xí)中準(zhǔn)確把握兩個不等式佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學(xué) 徐新宏不等式“2 +快 2川心,b e R)是一個最基本也很重要的不等式，它本身的應(yīng)用較廣泛。雖然在新課標(biāo)的高考中對不等式證明 的要求已大大降低，但這并不說明可以放棄。它的一些變形式散見于課本和一些參考資料中，利用這些變形式能較容易地解決一些問 題。另外，在廣東高考數(shù)學(xué)理科卷的填空題中有“三選二”的形式，其中有涉及不等式選講(選修45)的內(nèi)容，主要的就是柯 西不等式的應(yīng)用。在重要不等式和柯西不等式的應(yīng)用中，一定要抓準(zhǔn)高考中會出現(xiàn)的題型(大都是以客觀題形式出現(xiàn))，特別是求最值 問題。在利用不等式求最值時，一定要注意等號成立的條件，否則就會出錯。本

2、文挖掘重要不等式和柯西不等式以及它們的一些變形 在解題中的應(yīng)用。這樣不僅可以針對高考題型做好準(zhǔn)備，而且不會做無用功。一、重要不等式：a2 +h2 2ab(ci,bR) o變形之一：。+方2亦(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取號。)這個不等式也稱為基本不等式。這個變形式就是前一個 不等式的推論。其中，限制條件a,beR+可以放寬為a,b是非負(fù)實(shí)數(shù)。變形之二：(巴P)2(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取號)2變形之三：a2+b2-h)-(a,beR)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取號)2二、柯西不等式：若a、b,c,d都是實(shí)數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2)(ac + bd)2t當(dāng)且僅當(dāng)攸/=加時，等號成立(這是二維形式的 柯西

3、不等式)。設(shè)即心，“，勺,仇，”3,心是實(shí)數(shù)，則(a； +a +. + an2)(b； +Z22 + . + /?/) (afy +a2b2 +. + aHbn)2 ,當(dāng)且僅當(dāng)勺=0(/= 1,2,/)或存在一個數(shù) k,使得q=k(i = i2a時，等號成立(這是一般形式的柯西不等式)。在使用柯西不等式時，一定要根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，直接使用或 靈活地配湊出其固有的形式，其規(guī)律性是較明顯的。下面略舉幾例來說明它們的應(yīng)用。同學(xué)們可以自己判斷使用了什么形式的不等式。5r 4x + 5綁.沁年高考湖北文史卷)已知叫，則/心有()A.最大町B.最小值扌.C.最大值1 D.最小卸fM =x2 - 4x +

4、52(x 2)2(x-2)22(x-2)v-21當(dāng)且僅當(dāng)丄上=!,即x = 3時，上式等號成立。22(x - 2)因?yàn)閤 = 3在定義域內(nèi)，所以最小值為1。例2(2006年高考重慶卷)若,/ac0,且( + Z? + c) + bc = 4 2石，則2a+b + c的最小值為()A. 1B. 5/3 +1C. 25/3 + 2D. 2/ 2解：由已知條件有( + c)(a + Z?) = 4-2丁亍。 a,b.c 0,(a + c)(a + b) 25/4-23 = 2（/3 -1） = 2-2 故選 D。53例3. （2004年高考重慶文史卷）已知二+二=2（/0/0）,則勺丿的最小值是53

5、解析：解法一：（不等式法）2二二+二253.-.15 o當(dāng)且僅當(dāng)-=-等號成立。5353解法二：（三觸弋換法）令；=2心識廠2曲久例4.A.=15 （同學(xué)們自己驗(yàn)證等號成立的條件）。sirr 20（某地2007模擬試題）某工廠年產(chǎn)量第二年增長率為，第三年增長率為方，則這兩年平均增長率x滿足（）a + b小a+ b小a + b,、 a + bx = B x C x2 2 2 2解析:設(shè)原產(chǎn)量為兒 則有 A(l + d)(l + Z?) = A(l + x)2,(l + x)2=(l+a)(l +彷)利用變形二有（l”（ + （T）2,.川2出。故選氏例5. （2005年高考重慶卷）若是正數(shù)，貝q

6、（x +丄）2+（y +丄）2的最小值是（）2v2xA.37B.-2C.49D.-2解析：由變形三可以把兀和存在-起,這樣就可以解下去。(*) 2而由變形一有：x +y/2,y + 42 （當(dāng)且僅當(dāng)x = y =、二時，兩個式子中的等號都成立）。此時，（*）式中的等2x2y2號也同時成立故當(dāng)且僅當(dāng)x = y =丄2時，（x + J_）2+（），+丄）2的最小值是1（2v2）2=4o選（C）。22ylx2例6、（惠州市2008屆高三第二次調(diào)研考試）已知實(shí)數(shù)a.by滿足a1+b2 = . x2 + /=3 ,則心+ by的最大值為解析：由已知條件，很容易想到公式（a2+b2）（c2+cl2）（ac

7、 + bd）2.顯然有（a2+b2）（x2 + y2）（ax+byy9即有（ax+byf 3 （當(dāng)且僅當(dāng)兀=辰= 時，等號成立。）則ax+by的最大值為館。值得說明的是，在沒有學(xué)習(xí)柯西不等式之前用重要不等式也是可以解決此題的，但不少同學(xué)可能是這樣做的：因?yàn)?cixa2+x2byh2 + y29所以2ax + 2by a2+x2 +b2 + y2 = 4,即有ax+by - + V2o 故填- + /2o2a b 221 = - + - + -+2J-e=- + /2 (當(dāng)且僅當(dāng)b = 42a時，等號成立)。即有 2 b 2u 22a 2例7、（2。7年廣州市-模）設(shè)恥為正數(shù)，且 W 則j存最小

8、值是B、（G +護(hù)（屁+（俯.（左八（護(hù)口苗強(qiáng)+i+（T+1）2=l+ （當(dāng)且僅當(dāng)屈肘，等號成立）。故填屁練習(xí)：（2007年山東高考題）函數(shù)y = log,x + 3） l（o04Hl）的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線nix + ny + = 0上，其中nm 0,則一+二的最小值為_一m n提示:先求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)（-2, -1）,又點(diǎn)A在直線上，則2加+ “ = 1?？煞抡绽?來做。例8.（某地2008年高考模擬題）設(shè)a,beR9 a2 +4Z?2 = 8,則a + 2b的最小值是（）A. 2 J3B. 4 C. 2-/2 D. 2分析：此題可能首先想到令a + 2b = t.把a(bǔ)=t-2b代

9、入a2 +4Z?2 =8,用判別式法來解，但要注意Z?是有限制條件的。 9a2 b2在f能否取到最小值時，要驗(yàn)證b存在的條件才行。這個解法還是較麻煩的。也能想到把tr +4/r =8化為一 + 一 = 1,用橢圓8 2的參數(shù)方程進(jìn)行三角代換來解。但經(jīng)過觀察，我們發(fā)現(xiàn)有關(guān)系a2 +4b2 =a2 +（2b）29因而想到要用好這個關(guān)系則簡潔很多。解：利用變形三有：a2 +4Z?2 a +(2Z?) 2 即有(t/ + 2Z?)2 16-4a + 2l4：.-4a + 2b49 a + 2b 的最小值是-4。當(dāng)且僅當(dāng) a = 2b.即b2 =1,Z? = -L a=-2時，a2b取得最小值為-4。故選(B)。另解：由公式有(a + 2b)2 = (1 x +1 x2b)2 (I2 + 2)(a2 + 4/?2) = 16 (當(dāng)且僅當(dāng) a = 2b 時等號成立