概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)超詳細(xì)筆記考研復(fù)習(xí)必備

1、概率論基礎(chǔ)知識(shí) 概率論基礎(chǔ)知識(shí)第一章 隨機(jī)事件及其概率一 隨機(jī)事件1幾個(gè)概念1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn):滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)；（1）試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且所有可能結(jié)果是已知的；（3）每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)，并常記為E。 例如：E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況； E3：觀察某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件：常記為 A，B，C 例如，在E1中，A表示“擲出2點(diǎn)”，B表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。3、必然事件與不可能事件：每

2、次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱(chēng)為必然事件，記為。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱(chēng)為不可能事件，記為。 例如，在E1中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為事件。4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱(chēng)為基本事件。 例如，在E1中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。 由基本事件構(gòu)成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件，例如，在E1中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱(chēng)構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)，常記為e. 例如，在E1中，用數(shù)字1，2，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集1，2，6便

3、是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）顯然，任何事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。 例如， 在E1中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為2，4，6。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為樣本空間。記為。 例如， 在E1中，=1，2，3，4，5，6 在E2中，=（H，H），（H，T），（T，H），（T，T） 在E3中，=0，1，2，例1，一條新建鐵路共10個(gè)車(chē)站，從它們所有車(chē)票中任取一張，觀察取得車(chē)票的票種。 此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為N=P 210=90.（排列：和順

4、序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京） 若觀察的是取得車(chē)票的票價(jià)，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (組合)例2隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列2事件間的關(guān)系與運(yùn)算 1、包含:“若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)事件B包含事件A，記為A B或B A。 例如，在E1中，令A(yù)表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即A=2B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B=2，4， 6則 2、相等：若A B且B A，則稱(chēng)事件A等于事件B，記為A=B 例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃”

5、的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B 3、和：稱(chēng)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B的和事件簡(jiǎn)稱(chēng)為和，記為A B，或A+B 例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則AUB表示“目標(biāo)被擊中”的事件。 推廣： 有限個(gè) 無(wú)窮可列個(gè) 4、積：稱(chēng)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為積，記為A B或AB。 例如，在E3中，即觀察某電話交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)=接到偶數(shù)次呼喚，B=接到奇數(shù)次呼喚，則A B=接到6的倍數(shù)次呼喚推廣： 任意有限個(gè) 無(wú)窮可列個(gè) 5、差：稱(chēng)事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的

6、差事件簡(jiǎn)稱(chēng)為差，記為A-B。 例如，測(cè)量晶體管的參數(shù)值，令A(yù)=測(cè)得值不超過(guò)50，B=測(cè)得值不超過(guò)100，則，A-B=，B-A=測(cè)得值為50100 6、互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=，則稱(chēng)A與B是互不相容的。 例如，觀察某定義通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若A=紅燈亮，B=綠燈亮，則A與B便是互不相容的。7、對(duì)立：稱(chēng)事件A不發(fā)生的事件為A的對(duì)立事件，記為 顯然 ，A = 例如，從有3個(gè)次品，7個(gè)正品的10個(gè)產(chǎn)品中任取3個(gè)，若令A(yù)=取得的3個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品，則 =取得的3個(gè)產(chǎn)品均為正品。3事件的運(yùn)算規(guī)律 1、交換律 AB=BA； AB=BA2、結(jié)合律 （AB）C=A（BC） ；（

7、AB）C=A（BC）3、分配律 A（BC）=（AB）（AC）， A（BC）=（AB）（A C）4、對(duì)偶律 此外，還有一些常用性質(zhì)，如 A B A，AB B（越求和越大）；AB A，AB B（越求積越?。?。 若A B，則A B=B, A B=A A-B=A-AB= A 等等。例3，從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令A(yù)i=第i次取得合格品,i=1,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件。A=三次都取得合格品三次中至少有一次取得合格品三次中恰有兩次取得合格品三次中最多有一次取得合格品解： 表示方法常常不唯一，如事件又可表為 或 例4，一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令i=第i次射擊擊中目標(biāo) , i=

8、1,2,3，試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录航猓?A1A2A3=三次射擊都擊中目標(biāo) A3-A2=第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo) 例5，下圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點(diǎn)，閉合，試寫(xiě)出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。 解，不難看出有如下一些關(guān)系： 二 事件的概率1概率的定義所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P（A）。規(guī)定P(A)0，P（）=1。1、古典概型中概率的定義古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q(chēng)為古典概型。（1）所有基本事件是有限個(gè)；（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同；例如：擲一勻稱(chēng)的骰子，令A(yù)=擲出2點(diǎn)=2，B=擲出偶數(shù)總=2，4，

9、6。此試驗(yàn)樣本空間為=1，2，3，4，5，6，于是，應(yīng)有1=P（）=6P（A），即P（A）= 。而P（B）=3P（A）= 定義1：在古典概型中，設(shè)其樣本空間所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為N而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，則事件A的概率便定義為：例1，將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間=（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）?？梢?jiàn)N=8 令A(yù)=恰有一次出現(xiàn)正面，則A=（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）可見(jiàn)，令

10、NA=3 故 例2，（取球問(wèn)題）袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。（1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后放回袋中，再取下一個(gè)球；（2）無(wú)放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后不再放回袋中，再取下一個(gè)球；（3）一次取球：從袋中任取3個(gè)球。在以上三種取法中均求A=恰好取得2個(gè)白球的概率。解：（1）有放回取球 N=888=83=512(袋中八個(gè)球，不論什么顏色，取到每個(gè)球的概率相等)（先從三個(gè)球里取兩個(gè)白球，第一次取白球有五種情況，第二次取白球還有五種情況，第三次取黑球只有三種情況） （2）無(wú)放回取球故 （3）一次取球故 屬于取球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例：設(shè)有100件

11、產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機(jī)抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為（屬于一次取球模型）例3（分球問(wèn)題）將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中去，試求恰有n個(gè)盒子各有一球的概率（nN）。解： 令A(yù)=恰有n個(gè)盒子各有一球，先考慮基本事件的總數(shù)先從N個(gè)盒子里選n個(gè)盒子，然后在n個(gè)盒子里n個(gè)球全排列故 屬于分球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例：全班有40名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令A(yù)=40個(gè)同學(xué)生日皆不相同，則有(可以認(rèn)為有365個(gè)盒子，40個(gè)球)故 例4（取數(shù)問(wèn)題） 從0，1，,9共十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的不放回的接連取四個(gè)數(shù)字，并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)；（2）四個(gè)數(shù)排成一

12、個(gè)四位數(shù)；（3）四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù)；解：令A(yù)=四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)，B=四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)，C=四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù) ， ，例5（分組問(wèn)題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個(gè)人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里有4張A牌的概率各為多少？解：令A(yù)=有人手里有13張黑桃，B=有人手里有4張A牌于是 ，故 不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì)：1P（A）0 2 P（）=13 若A1，A2，An兩兩互不相容，則 2、概率的統(tǒng)計(jì)定義 頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A出現(xiàn)了nA次，則稱(chēng)：為事件A的頻率。頻率具有一定的穩(wěn)定性。示例見(jiàn)下例表 試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)n正面（A）出現(xiàn)次數(shù)nA

13、正面（A）出現(xiàn)的頻率 德摩爾根2048106105180浦豐4040214805069皮爾遜12000601905016皮爾遜240001201205005維尼300001499404998定義2：在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù)n次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A的頻率fn(A)越來(lái)越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱(chēng)常數(shù)p為事件A的概率，即P（A）=p不難證明頻率有以下基本性質(zhì)：1 2 3 若A1，A2，兩兩互不相容，則 3、概率的公理化定義 （數(shù)學(xué)定義）定義3：設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為，對(duì)其中每個(gè)事件A定義一個(gè)實(shí)數(shù)P（A），如果它滿足下列三條公理：1 P（A） 0（非負(fù)性）2 P（）=1（規(guī)范性

14、）3 若A1，A2，An兩兩互不相容，則 （可列可加性，簡(jiǎn)稱(chēng)可加性） 則稱(chēng)P（A）為A的概率 4、幾何定義定義4：假設(shè)是Rn(n=1,2,3)中任何一個(gè)可度量的區(qū)域，從中隨機(jī)地選擇一點(diǎn)，即中任何一點(diǎn)都有同樣的機(jī)會(huì)被選到，則相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就是，假設(shè)事件A是中任何一個(gè)可度量的子集，則P(A)=(A)/ ()2概率的性質(zhì) 性質(zhì)1：若A B, 則P(B-A)=P(B)-P(A) 差的概率等于概率之差證： 因?yàn)椋篈 B 所以：B=A(B-A)且A(B-A)=,由概率可加性 得P（B）=PA（B-A）=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性質(zhì)2：若A B， 則P（A）P（

15、B） 概率的單調(diào)性證：由性質(zhì)1及概率的非負(fù)性得 0P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）P（B） 性質(zhì)3：P（A）1 證明：由于A ，由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P（A）1 性質(zhì)4：對(duì)任意事件A，P（ ）=1-P（A） 證明：在性質(zhì)1中令B=便有P（ ）=P（-A）=P（）-P（A）=1-P（A）性質(zhì)5：P（）=0證：在性質(zhì)4中，令A(yù)=，便有P（）=P（ ）=1-P（）=1-1=0性質(zhì)6 （加法公式）對(duì)任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）證：由于AB=A（B-AB）且A（B-AB）=（見(jiàn)圖）由概率的可加性及性質(zhì)1便得 P（AB）=PA（B-AB）=P（A）+P（B

16、-AB） =P（A）+P（B）-P（AB）推廣: P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例6 設(shè)10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)是次品，今從中任取3個(gè)，試求取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品的概率。解：令C=取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品，則=取出產(chǎn)品中皆為正品，于是由性質(zhì)4得例7，甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時(shí)下雨的概率為0.15，問(wèn)在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。解：令A(yù)=甲城下雨，B=乙城下雨，按題意所要求的是P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6例8設(shè)A,B,C為三個(gè)事件

17、，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 于是所求的概率為 三 條件概率1條件概率的概念及計(jì)算 在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為事件A的條件概率，記為P（A/B）。條件概率P（A/B）與無(wú)條件概率P（A）通常是不相等的。例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職工人員結(jié)構(gòu)如下：人數(shù)男女總和非熟練工人401050其他職工210240450總和250250500現(xiàn)從該廠中任選一職工，令A(yù)= 選出的職工為非熟練工人，B= 選出的職工為女職工顯

18、然，；而 ，定義1 設(shè)A、B為兩事件，如果P（B）0，則稱(chēng)為在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率。同樣,如果P（A）0，則稱(chēng)為在事件A發(fā)生條件下，事件B的條件概率。條件概率的計(jì)算通常有兩種辦法：(1)由條件概率的含義計(jì)算（通常適用于古典概型），(2)由條件概率的定義計(jì)算。例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無(wú)放回地取二次晶管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí)，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？ 解： 令 A=第一次取的是好的晶體管，B=第二次取的是好的晶體管按條件概率的含義立即可得： 按條件概率的定義需先計(jì)算：；于是 例3：某種集成電路使用到200

19、0小時(shí)還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時(shí)還能正常工作的概率為0.87 .有一塊集成電路已工作了2000小時(shí),向它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大? 解：令 A=集成電路能正常工作到2000小時(shí)，B=集成電路能正常工作到3000小時(shí)已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87按題意所要求的概率為：2關(guān)于條件概率的三個(gè)重要公式1.乘法公式定理1: ，例4:已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級(jí)的概率.解: 令 A= 任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品, B= 任取一件產(chǎn)品為合格品，

20、顯然 ，即有AB=A 故P（AB）=P（A）。于是, 所要求的概率便為例5:為了防止意外,在礦內(nèi)安裝兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)a和b,每個(gè)報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),系統(tǒng)a有效的概率為0.92,系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下,系統(tǒng)b有效的概率為0.85，試求：(1)當(dāng)發(fā)生意外時(shí),兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下,系統(tǒng)a有效的概率.解: 令 A=系統(tǒng)a有效 B=系統(tǒng)b 有效已知 , , 對(duì)問(wèn)題(1) ,所要求的概率為 ，其中 (見(jiàn)圖)= = 于是 對(duì)問(wèn)題(2),所要求的概率為：= 推廣：如果證:由于 所以上面等式右邊的諸條件概率均存在,且由乘法公式可得= = （依此類(lèi)推）=

21、 例6：10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,三個(gè)人參加抽簽(無(wú)放回)甲先,乙次,丙最后,試問(wèn)(1) 甲、乙、丙均抽得難簽的概率為多少? (2) 甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少?解: 令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽得難簽的事件，對(duì)問(wèn)題(1),所求的概率為：對(duì)問(wèn)題(2), 甲抽得難簽的概率為：乙抽得難簽的概率為丙抽得難簽的概率為 其中 于是 2.全概率公式完備事件組:如果一組事件 在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè),即 則稱(chēng)此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，以下事件組均為完備事件組： 1，2， 3，4，5，6； 1，2，3，4，5 ， 6； ，（A為試驗(yàn)中任意一事件） 定理2： 設(shè)

22、為一完備事件組，且 ，則對(duì)于任意事件A有 證：由于 且對(duì)于任意 ，于是由概率的可加性及乘法公式便得：例7，某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如下：根據(jù)以往資料可知，中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4 ，中國(guó)勝日本的概率為0.9，而日本勝美國(guó)的概率為0.5，求中國(guó)得冠軍的概率。解：令H= 日本勝美國(guó), =美國(guó)勝日本, A= 中國(guó)得冠軍由全概率公式便得所求的概率為例8， 盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)，從盒中任取3個(gè)使用，用后放會(huì)盒中，第二次比賽時(shí)，再取3個(gè)使用，求第二次取出都是新球的概率解： 令 H =第一次比賽時(shí)取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球i=0，1，2，3，A = 第二次比賽取出的3個(gè)球均

23、為新球于是 , , , 而 , , , 由全概率公式便可得所求的概率=0.1463 貝葉斯公式 定理3： 設(shè) H ,H ,.H 為一完備事件組，且 又設(shè)A為任意事件，且 P(A) 0，則有證：由乘法公式和全概率公式即可得到先驗(yàn)概率例9：某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，問(wèn)他是一個(gè)癌癥患者的概率是多少？解： 令 H=做實(shí)驗(yàn)的人為癌癥患者，=做實(shí)驗(yàn)的人不為癌癥患者，A=實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽(yáng)性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陰性，由貝葉斯公式可求得所要求的概率：例

24、10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時(shí)，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X，問(wèn)原發(fā)信息也是X的概率為多少?解：設(shè)H=原發(fā)信息為X由題意可知 由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為 例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中 的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占 ，已知甲，乙兩廠的次品率為2%，丙廠的次品率為4%，現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1） 求所取得產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2） 求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3） 已知所取得產(chǎn)品是次品，問(wèn)他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解：令 分別表示所取得

25、的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A=所取得的產(chǎn)品為次品顯然 ， ， ， 對(duì)問(wèn)題（1），由乘法公式可得所要求的概率：對(duì)問(wèn)題（2），由全概率公式可得所要求的概率 對(duì)問(wèn)題（3），由貝葉斯公式可得所要求的概率 四 獨(dú)立性1事件的獨(dú)立性 如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即 則稱(chēng)事件A對(duì)事件B獨(dú)立。如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即 ， 則稱(chēng)事件B對(duì)事件A獨(dú)立。不難證明，當(dāng) 時(shí)，上述兩個(gè)式子是等價(jià)的。事實(shí)上，如果 ，則有反之，如果 ，則有即 同樣可證 總之 ，可見(jiàn)事件獨(dú)立性是相互的。定義1 設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果 ，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立。例1,袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；

26、（2）無(wú)放回的取兩次球，每次取一球，令 A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球 問(wèn)A，B是否獨(dú)立？解：（1）有放回取球情況，則有2*3可見(jiàn)， ，可見(jiàn)A，B獨(dú)立。（2）無(wú)放回取球情況，則有可見(jiàn)， ，故A，B不獨(dú)立。（實(shí)際上就是抓鬮模型）例2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)，（見(jiàn)圖）每個(gè)元件的可靠性(即元件正常工作的概率)為r(0r1).假定兩元件工作彼此獨(dú)立,求兩系統(tǒng)的可靠性.解: 令 A= 元件a 正常工作 , B= 元件b 正常工作 ,且A,B獨(dú)立。C1= 系統(tǒng)I正常工作 , C2=系統(tǒng)II正常工作于是系統(tǒng)I的可靠性為系統(tǒng)II的可靠性為 顯然 ，系統(tǒng)可靠性大于系統(tǒng)的可靠性。

27、定義：設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，如果 P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 則稱(chēng)A，B，C為相互獨(dú)立的。定義2：設(shè)A1，A2，An為n個(gè)事件，如果對(duì)任意正整數(shù) 及上述事件中的任意P則稱(chēng)這n個(gè)事件A1，A2，An是相互獨(dú)立的。下面幾個(gè)結(jié)論是常用的 ：其它三個(gè)必成立。證：設(shè)A，B成立，即 ，于是有 故 獨(dú)立。利用這個(gè)結(jié)果便可證明其它結(jié)論，即（2）如果相互獨(dú)立，則(3) 如果相互獨(dú)立，則 證： 例3：三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為 求密碼能被譯出的概率解：令A(yù)i第 個(gè)人能譯出密碼，I=1,2,3

28、 ；A=密碼能被譯出，所要求的概率為例4：設(shè)每支步槍擊中飛機(jī)的概率為 ，(1)現(xiàn)有250支步槍同時(shí)射擊，求飛機(jī)被擊中的概率;(2)若要以 概率擊中飛機(jī)，問(wèn)需多少支步槍同時(shí)射擊？解：令A(yù)i=第i支步槍擊中飛機(jī) 1,2,n；A=飛機(jī)被擊中對(duì)問(wèn)題（1），n=250,所要求的概率為對(duì)問(wèn)題（2），n為所需的步數(shù)，按題意,即 , 即 于是得 2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不受其它次試驗(yàn)結(jié)果的影響，此種試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。 稱(chēng)此試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn)n重貝努里試驗(yàn) 將貝努里試驗(yàn)獨(dú)立重得n次所構(gòu)成n次獨(dú)立重得試驗(yàn)稱(chēng)為n重貝努里試驗(yàn)。例如，（1）

29、將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)10重貝努里試驗(yàn)（2）在裝有8個(gè)正品，2個(gè)次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個(gè)，觀察取得次品的次數(shù)5重貝努里試驗(yàn)（3）向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n次，每次擊中目標(biāo)的概率為P，觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)n重貝努里試驗(yàn)等等一個(gè)重要的結(jié)果：在n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，假定每次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p（0p500 測(cè)得燈泡壽命不超過(guò)（小時(shí)）。 不具明顯數(shù)量性質(zhì)的試驗(yàn)也可以定義隨機(jī)變量表示試驗(yàn)中每個(gè)事件。例4將一枚硬幣上拋一次，觀察正，反面出現(xiàn)的情況。 試驗(yàn)的樣本空間，正面，反面。 可定義隨機(jī)變量表示上拋次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，即 于是，出現(xiàn)正面。 用隨機(jī)變量表示事件常見(jiàn)形式有 等等（這里

30、X為隨機(jī)變量，1，2等為實(shí)數(shù)）2分布函數(shù) 定義 設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù) F（）=PX 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 例1 機(jī)房?jī)?nèi)有兩臺(tái)設(shè)備，令X表示某時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，并知PX=0=0.5， PX=1=0.3，PX=2=0.2，求X的分布函數(shù)F（）。 解：由于X的可能取值為0，1，2故應(yīng)分情況討論： （1） 當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)（）=PX=0 （2） 當(dāng)01時(shí)，F(xiàn)（）=PX=PX=0=0.5 （3） 當(dāng)12時(shí)，F(xiàn)（）=PX=PX=0+PX=1=0.5+0.3=0.8 （4） 當(dāng)2時(shí)，F(xiàn)（）=PX=PX=0+PX=1+PX=2=0.5+0.3+0.2=1 總之， 例2 向一半徑為2米的圓形

31、靶子射擊，假設(shè)擊中靶上任何一同心圓的概率為該同心圓的面積成正比，且每次射擊必中靶。令X表示彈著點(diǎn)到靶心距離，求X的分布函數(shù)F（）。 解： 當(dāng)2時(shí)，F(xiàn)（）=PX=1 性質(zhì) 1。F（）是單調(diào)不減的，即對(duì)任意12，有 F（1）F（2）； 2。0F（）1且F（-）=0，F(xiàn)（+）=1； 3。F（）為右連續(xù)的，即對(duì)任意，有F（+0）= F（）。 可以證明（略）以上三條性質(zhì)是分布函數(shù)所具有的三條基本共同特性。 利用分布函數(shù)可求隨機(jī)變量落在某些區(qū)間上的概率，如 等等。 例3在前面打靶的例子中，已知X表示彈著點(diǎn)到靶心距離，并求得其分布函數(shù)為 于是便可以利用此分布函數(shù)，求出擊中靶上環(huán)形區(qū)域（見(jiàn)圖）的概率 隨機(jī)變量

32、分類(lèi)： 二 離散型隨機(jī)變量及其分布律1離散型隨機(jī)變量及其分布律的概念 定義：如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。 X12np設(shè)X的所有可能取值為1，2，n，則稱(chēng)下列一組概率 PX=i=i，i=1,2,，n, 為X的分布律。分布律也常常寫(xiě)成表格形式性質(zhì)： 1。pi0,一切I； 2。 例1 設(shè)袋中裝著分別標(biāo)有-1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個(gè)球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所標(biāo)的數(shù)字，求X的分布律。 X-123p1/61/21/3 解： X的可能取值為-1，2，3，且容易求得 故X的分布律為 例：相同條件下，獨(dú)立的向目標(biāo)射擊4次，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率

33、為0.8，求擊中目標(biāo)次數(shù)X的分布律 解： X的可能取值為0，1，2，3，4利用二項(xiàng)概率公式便可求得 第 74 頁(yè)kaiziliuX01234p0.00160.02560.15360.40960.4096X的分布律為例2 社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券，每券一元，中獎(jiǎng)率為p，某人每次買(mǎi)1張獎(jiǎng)券，如果沒(méi)有中獎(jiǎng)便繼續(xù)買(mǎi)一張，直到中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券次數(shù)X的分布律。如果中獎(jiǎng)率為1%，問(wèn)他至少應(yīng)買(mǎi)多少?gòu)埅?jiǎng)券才能以不少于99%的概率中獎(jiǎng)。解：（1） 令A(yù)i=第i次購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)，i=1,2,X的分布律為X123ipp(1-p)p(1-p)2p（1-p）i-1p（2）設(shè)n為所需購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券數(shù)，按題意PXn99%即

34、 即 例4 某產(chǎn)品40件，其中有次品3件，現(xiàn)從中任取3件，（1）求取出的3件產(chǎn)品中所含次品數(shù)X的分布律；（2）求取出產(chǎn)品中至少有一件次品的概率；（3）求出X的分布函數(shù)F（x），并作其圖形。解：（1）X的可能取值為0，1，2，3，且有 于是X的分布律為X0123P0.78650.20220.01120.0001（2）任取3件產(chǎn)品中至少含有一件次品的概率為PX1=PX=1+PX=2+PX=3=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或 PX1=1PX11PX=0=10.7865=0.2135（3）由分布函數(shù)定義不難求得X的分布函數(shù)為 離散型隨機(jī)變量其分布函數(shù)的圖形有如下特點(diǎn)：(1)階

35、梯形；（2）僅在其可能取值處有跳躍；（3）其躍度為此隨機(jī)變量在該處取值的概率。一般，若X的分布律為PX=i =pi ,i=1,2,，則X落在區(qū)間I內(nèi)的概率便為 從而，X的分布函數(shù)與分布律的關(guān)系便為 X01pqp2幾個(gè)重要分布 1.兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中0p1,q=1-p則稱(chēng)X服從參數(shù)為p的(01)兩點(diǎn)分布,簡(jiǎn)稱(chēng)為兩點(diǎn)分布,記為XB(1,p) 實(shí)際背景:在貝努里實(shí)驗(yàn)中,設(shè)事件A的概率為p(0p1) 如果所定義的隨機(jī)變量X表示A發(fā)生的次數(shù)，即X01q=1-ppqp顯然X的分布律為 即 XB(1,p)例5 .一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，若令X表示抽得廢品的數(shù)目，即

36、X01p95%5% 則XB(1,5%)即X的分布律為2.二項(xiàng)分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為其中0p1, q=1p,則稱(chēng)X服從參數(shù)為（n,p）的二項(xiàng)分布，記為XB（n,p）實(shí)際背景：由第一章，獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)一段中可知，在n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，如果每次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p(0p1) ,則在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中A恰好出現(xiàn)k(n)次的概率為于是，在此n 重貝努里實(shí)驗(yàn)中，如果定義隨機(jī)變量X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則有 即XB(n,p)例6 某工廠每天用水量保持正常的概率為 ，求最近6天內(nèi)用水量正常天數(shù)X的分布律，并求用水量正常天數(shù)不少于5天的概率。解：由二項(xiàng)分布實(shí)際背景可知XB（6， ），于是 即X的分布律為

37、X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780用水量正常天數(shù)不少于5天的概率為例7 一批產(chǎn)品的廢品率為0.03，進(jìn)行20次獨(dú)立重復(fù)抽樣，求出現(xiàn)廢品的頻率為0.1的概率。解：令X表示20次獨(dú)立重復(fù)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù). XB（20，0.03）（注意：不能用X表示頻率，若X表示頻率，則它就不服從二項(xiàng)分布）所求的概率為泊松定理 如果 , 則有近似公式：設(shè)n充分大, p足夠小(一般n10,p0.1)時(shí), 有 例8:利用近似公式計(jì)算前例中的概率.解:例9:有20臺(tái)同類(lèi)設(shè)備由一人負(fù)責(zé)維修,各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01,且各臺(tái)設(shè)備工作是獨(dú)立的,試求設(shè)

38、備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率.若由3人共同維修80臺(tái)設(shè)備情況又如何?解: (1) 1人維修20臺(tái)設(shè)備.令X表示某時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù). XB(20,0.01)于是,發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為(2)3人維修80臺(tái)設(shè)備假設(shè)X表示某時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，XB（80，0.01）于是，發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為3.泊松分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X() 或者XP()實(shí)際背景：滿足下列條件的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流（一串重復(fù)出現(xiàn)的事件）稱(chēng)為泊松流。 （1）在時(shí)間 內(nèi)流過(guò)質(zhì)點(diǎn)數(shù)的概率僅與 有關(guān)，與t無(wú)關(guān)； (2)不相交的時(shí)間間隔內(nèi)流過(guò)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)彼此獨(dú)立； (3)在充分短

39、的一瞬間只能流過(guò)一個(gè)或沒(méi)有質(zhì)點(diǎn)流過(guò)，要流過(guò)2個(gè)或2個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)幾乎是不可能的?？梢宰C明泊松流在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)質(zhì)點(diǎn)數(shù)便服從泊松分布。 例如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)； 單位時(shí)間內(nèi)走進(jìn)商店的顧客數(shù)等等；均可認(rèn)為它們服從泊松分布。 例10：設(shè) 且已知PX=1=PX=2，求PX=4 解：由于 ，即X的分布律為 于是有 由條件 PX=1=PX=2 可得方程 即 即 解得 =2，0（棄去） 所以 于是 例11：設(shè)電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布。（1）求在一分鐘內(nèi)接到超7次呼喚的概率；（2）若一分鐘內(nèi)一次呼喚需要占用一條線路。求該交換臺(tái)至少要設(shè)置多少條線路才能以不低于90%的概率使用戶得到及時(shí)服務(wù)。 解：（1） ，其分布律為 于是，在一分鐘內(nèi)接到超過(guò)7次呼喚的概率為 （2）設(shè)所需設(shè)備的線路為K條，按題意應(yīng)有 PXK90% 即 PXK=1-PXK=1-PXK+10.9 即 PXK+10.1 查表得 PX6=0.0839 而PX5=0.1847 ,故應(yīng)取 K+1=6，即 K=5 所以，至少要設(shè)置5條線路才能符合要求。三 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念 所謂連續(xù)型隨機(jī)變量是指此隨機(jī)變量的可能取值至少