理論力學(xué)5—點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)：運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)（軌跡、運(yùn)動(dòng)方程、速度、加研究物體運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)（軌跡、運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度等）的科學(xué)。速度等）的科學(xué)。物體在不平衡力系作用下物體在不平衡力系作用下運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)受力情況受力情況初始狀態(tài)初始狀態(tài)物體慣性物體慣性由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對的。將觀察者所在的物體稱為參考參考體體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考坐標(biāo)系參考坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)間概念要明確：時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)瞬時(shí)和和時(shí)

2、間間隔時(shí)間間隔。運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)點(diǎn)和和剛體剛體。首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。5 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即：本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即：矢徑法矢徑法、直角直角坐標(biāo)法坐標(biāo)法和和自然法自然法。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)和和曲線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓

3、時(shí)稱為。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)。 表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程方程。 本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。以及它們之間的關(guān)系。1.1.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程( ) trr選取參考系上某確定點(diǎn)選取參考系上某確定點(diǎn)O O為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)原點(diǎn)，自點(diǎn)O O向動(dòng)點(diǎn)向動(dòng)點(diǎn)M M作矢量作矢量r r，稱為，稱為點(diǎn)點(diǎn)M M相對原點(diǎn)相對原點(diǎn)O O的位置矢量，簡稱矢的位置矢量，簡稱矢徑。徑。5.1 矢量法當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn) M M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑

4、r r隨時(shí)間而變隨時(shí)間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即即2. 2. 速度速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時(shí)間動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。5.1 矢量法動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r0limttt ddrrv 速度速度矢徑矢端曲線切線矢徑矢端曲線切線3. 3. 加速度加速度220ddlimddtttt vvra點(diǎn)的速度矢對時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是點(diǎn)的

5、速度矢對時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。矢量，它表征了速度大小和方向的變化。5.1 矢量法 有時(shí)為了方便，在字母上方加有時(shí)為了方便，在字母上方加“. .”表示該量對時(shí)間的一階表示該量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加導(dǎo)數(shù)，加“.”表示該量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。表示該量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 avr點(diǎn)的加速度等于它的速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑點(diǎn)的加速度等于它的速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 如在空間任意取一點(diǎn)如在空間任意取一點(diǎn)O O，把，把動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M在連續(xù)不同瞬時(shí)的速度矢在連續(xù)不同瞬時(shí)的速度矢v v1 1, ,v v2 2

6、，v v3 3, ,等都平行地移到點(diǎn)等都平行地移到點(diǎn)O O，連接各矢量的端點(diǎn)，連接各矢量的端點(diǎn)M M1 1，M M2 2，M M3 3，就構(gòu)成了矢量，就構(gòu)成了矢量v v端點(diǎn)的端點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線速度矢端曲線，如圖所示。如圖所示。 5.1 矢量法加速度的方向確定加速度的方向確定動(dòng)點(diǎn)的加速度矢動(dòng)點(diǎn)的加速度矢a a的方向與速的方向與速度矢端曲線在相應(yīng)點(diǎn)度矢端曲線在相應(yīng)點(diǎn)M M的切線的切線相平行。相平行。 速度矢端曲線速度矢端曲線OM1M2M3v1v2v3a1a2a3這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。123( )( )( )xf tyf tzf txyzrijk如以矢

7、徑r的起點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則矢徑r可表示為：5.2 直角坐標(biāo)法MrOkijyyxxzzxyzxyzvvvvrijkijk速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的一階速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。速度速度5.2 直角坐標(biāo)法若已知速度的投影，則速度的大小為若已知速度的投影，則速度的大小為222zyxv其方向余弦為其方向余弦為cos( , ), cos( , ), cos( , )xyzvvvv iv jv kddxxvtddyyvtddzzvt,xyzxxyyzzaaaavxavyavzaijk 加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間加

8、速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。的二階導(dǎo)數(shù)。加速度加速度5.2 直角坐標(biāo)法若已知加速度的投影，則加速度的大小為若已知加速度的投影，則加速度的大小為222222zyxaaaazyx 其方向余弦為其方向余弦為cos( , ), cos( , ), cos( , )xyzaaaa ia ja k求：求： M 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程； 軌跡；軌跡； 速度；速度； 加速度。加速度。 已知：橢圓規(guī)的曲柄已知：橢圓規(guī)的曲柄OC 可繞定軸可繞定軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)C 與規(guī)與規(guī)尺尺AB 的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，而規(guī)尺的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B 兩端分別在相互兩端分別在

9、相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)，垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)，taMClBCACOC, 例例 5-15-1 點(diǎn)點(diǎn)M作曲線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系作曲線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系Oxy如圖所示。如圖所示。運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去消去t, 得軌跡得軌跡1)(2222alyalx）解：解：速度速度talxvxsin talyvycos)( 22() sincos( , )2cos 2xvlatv ivlaalt 22() coscos( ,)2cos 2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt加速度加速度talxva

10、xxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos 2laalt22() coscos(,)2cos 2xalata ialaalt 22() sincos(,)2cos 2yalatajalaalt 已知：已知：正弦機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄正弦機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OM長為長為r，繞，繞O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，它與水平線間的夾角為它與水平線間的夾角為其中其中 為為t = 0時(shí)的夾角，時(shí)的夾角， 為一常數(shù)。動(dòng)桿上為一常數(shù)。動(dòng)桿上A，B兩點(diǎn)間距離為兩點(diǎn)間距離為b。,t例例5-25-2求：點(diǎn)求：點(diǎn)A和和B的運(yùn)動(dòng)方程及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及點(diǎn)B B的速度和加

11、速度。的速度和加速度。 A，B點(diǎn)都作直線運(yùn)動(dòng)，取點(diǎn)都作直線運(yùn)動(dòng)，取Ox軸如圖所示。軸如圖所示。 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxBB點(diǎn)的速度和加速度點(diǎn)的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx 周期運(yùn)動(dòng)周期運(yùn)動(dòng) ()x tTx t頻率頻率Tf1解：解：已知：如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時(shí)，它的活塞在套筒內(nèi)已知：如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時(shí)，它的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)活塞的加速度作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)活塞的加速度 ，（，（ 為活塞的為活塞的速度，速度， 為比例常數(shù)為比例常數(shù)) )，初速度為，初速度為 。求活塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。求活塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。a

12、kv v0vk例例5-35-3活塞作直線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)軸活塞作直線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)軸Ox如圖如圖所示所示ddvakvt 由00ddvtvvktv 得00ln,ektvktvvv 0dedktxvvt由000dedxtktxxvt得001 ektvxxk解：解：例例5-45-4一人高一人高 h h2 2，在路燈下以勻速，在路燈下以勻速v v1 1行走，燈距地面的高為行走，燈距地面的高為h h1 1，求，求人影的頂端人影的頂端M M沿地面移動(dòng)的速度。沿地面移動(dòng)的速度。解解: :取坐標(biāo)系取坐標(biāo)系x x如圖所示，由幾何關(guān)系得如圖所示，由幾何關(guān)系得: :122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對上式對t

13、 t求一階導(dǎo)數(shù)，得求一階導(dǎo)數(shù)，得 M M 點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為: :.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xMx2Mx)(tfs 這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。5.3 自然法1 1 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M M的軌跡為如圖所示的曲線。的軌跡為如圖所示的曲線。在軌跡上任選一點(diǎn)在軌跡上任選一點(diǎn)O O為參考點(diǎn)，并設(shè)為參考點(diǎn)，并設(shè)O O的某一側(cè)為正向。的某一側(cè)為正向。則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)M M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上的位置可以這樣確定：動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M在軌跡上的位置由弧長在軌跡上的位置由弧長s s確定，視弧長確定，視弧長s s為代數(shù)量，稱它為為代數(shù)量

14、，稱它為動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M在軌跡上的弧坐標(biāo)。在軌跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M M運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，s s隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即即 5.3 自然法在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)M M 和和M M1 1。2 2 自然軸系自然軸系 其指向與弧坐標(biāo)正向一致。其指向與弧坐標(biāo)正向一致。令令M M1 1無限趨近點(diǎn)無限趨近點(diǎn)M M，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)面稱為曲線在點(diǎn)M M的的密切面密切面。將將 平移到點(diǎn)平移到點(diǎn)M M。1這兩點(diǎn)這兩點(diǎn)切線切線的單位矢的單

15、位矢量分別為量分別為和和1 1。則則 和和 決定一平面。決定一平面。15.3 自然法過點(diǎn)過點(diǎn)M M且垂直于切線及主法線的直且垂直于切線及主法線的直線稱線稱副法線副法線，其單位矢量為，其單位矢量為b b，指，指向與向與、n n構(gòu)成右手系。構(gòu)成右手系。過點(diǎn)過點(diǎn)M M并與切線垂直的平面稱為并與切線垂直的平面稱為法平面法平面。法平面與密切面的交線稱法平面與密切面的交線稱主法線主法線。令主法線的單位矢量為令主法線的單位矢量為n n，指向曲，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。線內(nèi)凹一側(cè)。5.3 自然法 即以點(diǎn)即以點(diǎn)M M為原點(diǎn)，以切為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱標(biāo)軸組成的正

16、交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)為曲線在點(diǎn)M M的自然坐標(biāo)的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為系，這三個(gè)軸稱為自然軸自然軸系系。且三個(gè)單位矢量滿足。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即右手法則，即bn密切面法面切線主法線副法線Mnb 5.3 自然法自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值稱為曲線在數(shù)的絕對值稱為曲線在M M點(diǎn)的點(diǎn)的曲曲率率。曲率的倒數(shù)稱為。曲率的倒數(shù)稱為M M點(diǎn)的曲率點(diǎn)的曲率半徑。半徑。曲率曲率01dlimdsSS MMs 5.3 自然法根據(jù)曲率的定義，有根據(jù)曲率的定義，有5.3 自然法2sin200d1limlimdsssss nn由圖可見由

17、圖可見00,0,=1ts 當(dāng)時(shí)，與 垂直，并有，可得 00ss 注意到時(shí)，點(diǎn)沿切線 的正方向運(yùn)動(dòng)，指向軌跡內(nèi)凹一側(cè)；時(shí)，指向曲線外凸一側(cè)。因此有3 3 點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度 5.3 自然法在曲線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度是矢量。它的在曲線運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)的速度是矢量。它的大小等于弧坐標(biāo)對于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，大小等于弧坐標(biāo)對于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，它的方向沿軌跡的切線，并指向運(yùn)動(dòng)的它的方向沿軌跡的切線，并指向運(yùn)動(dòng)的一方。一方。ddddddddrrssvvtstt4 4 點(diǎn)的切向加速度和法向加速度點(diǎn)的切向加速度和法向加速度 5.3 自然法dddd()ddddvvvttttva由于由于ddddddddddssvttsstn所以

18、所以ddvat2d=dnnvvaata aann5.3 自然法分矢量分矢量a an n的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度法向加速度，它，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。表明速度方向隨時(shí)間的變化率。2ddvvtan上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量a a是由兩個(gè)分矢量組成：是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量分矢量a at t的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度切向加速度，它，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率。表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率。全加速度為全加速度為a a和和a an n的矢量和的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：全

19、加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：22naaa大小：大?。悍较颍悍较颍?.3 自然法naaan|tanaa20012ssv ta tddacvat 了解上述關(guān)系后，容易得到曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例如所了解上述關(guān)系后，容易得到曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例如所謂曲線勻速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)點(diǎn)速度的代數(shù)值保持不變。謂曲線勻速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)點(diǎn)速度的代數(shù)值保持不變。0ssvt 如果動(dòng)點(diǎn)的切向加速度的代數(shù)值保持不變，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)如果動(dòng)點(diǎn)的切向加速度的代數(shù)值保持不變，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為稱為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)勻變速曲線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在來求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。現(xiàn)在來求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 5.3 自然法例例5-55-5 列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18

20、km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若鐵軌曲線形狀如圖所示。在M1、M2點(diǎn)的曲率半徑分別為1=600m, 2=800m 。求列車從M1到M2所需的時(shí)間和經(jīng)過M1和M2處的加速度。M1M2V1V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv求列車經(jīng)過M1和M2時(shí)的法向加速度為：221110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列車經(jīng)過M1時(shí)的全加速度為：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .5naa列車經(jīng)過M2時(shí)