考研講義數(shù)三經(jīng)濟部分

1、 第十三章 微積分在經(jīng)濟學中的經(jīng)濟應用 (數(shù)三）考試要求1. 掌握導數(shù)的經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念）。2. 了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。3. 掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法。4. 會應用一階差分方程、極限、級數(shù)等知識求解簡單的經(jīng)濟應用問題。一、.極限及級數(shù)在經(jīng)濟學中的應用(一)復利： 設某銀行年利率為r，初始存款為元， （1）一年支付一次利息（稱為年復利），則t年后在銀行的存款余額為; （2）若一年支付n次，則t年后在銀行的存款余額為; （3）由于，所以當每年支付次數(shù)趨于無窮時，年后得到的存款余額為， 稱為t年后按連續(xù)復利計算得到的存款余額。 (二)將來值與現(xiàn)值： 上述結論

2、中，稱是的將來值，而是的現(xiàn)值。現(xiàn)值與將來值的關系為： 或 例 1 現(xiàn)購買一棟別墅價值300萬元, 若首付50萬元, 以后分期付款, 每年付款數(shù)目相同, 10年付清, 年利率 為6%, 按連續(xù)復利計算, 問每年應付款多少？ 例2（08）設銀行存款的年利率為，并依年復利計算，某基金會希望通過存款A萬元，實現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，第n年提取（10+9n）萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問A至少應為多少萬元？ 、二. 經(jīng)濟學中的常用函數(shù)需求函數(shù)：, 通常是的減函數(shù)；供給函數(shù)：, 通常是的增函數(shù)；成本函數(shù)：, 其中為固定成本, 為可變成本；收益函數(shù)：;利潤函數(shù)：.例 1 某廠家生產(chǎn)的一

3、種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售, 售價分別為和, 銷售量分別為和, 需求函數(shù)分別為, , 總成本函數(shù)為, 試問：廠家如何確定兩個市場的售價, 能使其獲得的總利潤最大？最大的總利潤為多少？例 2（99） 設生產(chǎn)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素, 和分別為兩種要素的投入量, 為產(chǎn)出量；若生產(chǎn)函數(shù)為, 其中為正常數(shù), 且, 假設兩種要素的價格分別為和試問：當產(chǎn)出量為12時, 兩要素各投入多少可以使得投入總費用最??？解 需要在產(chǎn)出量的條件下, 求總費用的最小值, 為此作拉格朗日函數(shù). 由(1)和(2), 得；因駐點唯一, 且實際問題存在最小值, 故當時, 投入總費用最小. 三. 利用導數(shù)求解經(jīng)濟應用問題（1） 、邊

4、際量： 當某經(jīng)濟量的自變量增加一個單位時經(jīng)濟量的改變量稱為該經(jīng)濟量的邊際量, 如邊際成本、 邊際收益、邊際利潤等, 由于, 且對于大數(shù)而言, 一個單位可以看成是微小的, 習慣 上將視為的邊際量. 1、 定義 ： 設或，則稱或為關于的邊際函數(shù)。 2、經(jīng)濟學含義：表示自變量增加一個單位時經(jīng)濟量的改變量。(2） 、彈性函數(shù)： 1、定義：設某經(jīng)濟量，稱為 的彈性函數(shù)。 2、經(jīng)濟學含義：當自變量增加1%時, 經(jīng)濟量增加（0時）或減?。〞r）。 3、需求彈性：由于一般情況下需求函數(shù)是的減函數(shù), 因此定義需求對價格的 彈性 （恒正，表示價格增加時需求減小）例1 設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為, 而需求函數(shù)為, 其中為產(chǎn)

5、量(假定等于需求量), 為價格, 試求(1)邊際成本； (2)邊際收益；(3)邊際利潤；（4）收益的價格彈性 ；例2設某商品的需求函數(shù)為（1）求需求彈性函數(shù)及P=6時的需求彈性，并給出經(jīng)濟解釋。（2）當P取什么值時，總收益最大？最大總收益是多例3（15）為了實現(xiàn)利潤最大化，廠商需要對某種商品確定其定價模型。設Q為需求量，P為價格，MC為邊際成本，（1）證明定價模型 (2)若成本函 例4(04)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性( 0)； (II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而

6、使收益增加.例5(12)某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品，投入的固定成本為10000(萬元)，設該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為(件)和(件)，且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為(萬元/件)與(萬元/件).(I)求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù).(萬元).(II)當總產(chǎn)量為50件時，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時可以使總成本最?。壳笞钚〉某杀? (III)求總產(chǎn)量為50件時且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意 義。例6（09） 設某產(chǎn)品的需求量函數(shù)為, 其對價格的彈性, 則當需求量為 10000件時, 價格增加1元, 會使產(chǎn)品收益增加 元. 例 7 已知某商品的需求量對價格的彈性, 而市場對

7、該產(chǎn)品的最大需求量為1 (萬件), 求需求量函數(shù). 例8 設生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10, 當產(chǎn)量為時的邊際成本為, 邊際收益為. 試求(1) 總利潤函數(shù)；(2) 使總利潤最大的產(chǎn)量. 例9 設產(chǎn)品的需求函數(shù)為，收益函數(shù)，其中為產(chǎn)品價格，為需求量（產(chǎn)品的產(chǎn)量），是單調減少函數(shù)。如果當價格為對應產(chǎn)量為時，邊際收益，收益對價格的邊際效應 。需求對價格的彈性為，求。四、差分方程及其在經(jīng)濟學中的應用（一）、差分與差分方程的概念及性質定義：若記為，則稱差為函數(shù)的一階差分，記為； 含有 或的 等式叫一階差分方程。定理：線性差分方程的性質：1、 若為線性齊次差分方程的解，則通解；2、若為線性非齊次差分方程的一個特解，為對應的 線性齊次差分方程的通解，則為的通解。3、若為的特解，為的特解， 則 為的特解。4、若均為的解，則 為的解；仍為 的解。（二）一階線性常系數(shù)差分方程的解法1、一階線性常系數(shù)齊次差分方程 的解法：特征方程：, 特征值:, 通解:.2、 一階線性常系數(shù)非齊次差分方程的解法:方程的通解為，其中為原非齊次方程的特解。當時，設特解形式為, 其中.，可用待定系數(shù)法求之：（三）、典型例題例1 (01,I) 某公司每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎上再追加2百萬元，若以表示第t年的工資總額(單位：百萬元), 則滿足的差分方程是