大學(xué)物理-第二章2-3 動量與動量定理

1、12-3動量守恒定律動量守恒定律22-3 動量守恒定律動量守恒定律一、動量和動量定理一、動量和動量定理二、質(zhì)點(diǎn)系動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理二、質(zhì)點(diǎn)系動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理三、動量守恒定律三、動量守恒定律四、碰撞四、碰撞3一、動量和動量定理一、動量和動量定理由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得dd()ddFmammttvv 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 與它的速度與它的速度 的乘積的乘積 定義為動定義為動量量(momentum)，單位：，單位：kgms-1 (千克千克米米 / 秒秒)mvmv即即pmv（描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)，是矢量）（描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)，是矢量）tpFdd所以所以（力是使物體動量改變的原因）（力是使物

2、體動量改變的原因）由上式得由上式得ptFdd 積分得積分得000ddppptFPPt 力力 對時間的積累，稱為力對時間的積累，稱為力 的的沖量沖量(implus)，即即4FFtttFI0d所以所以00Ippmmvv 此式表示，此式表示，在運(yùn)動過程中，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在運(yùn)動過程中，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在一段時間內(nèi)的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動量的增量在一段時間內(nèi)的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動量的增量。這個結(jié)。這個結(jié)論稱為論稱為動量定理動量定理。 為恒力時為恒力時F)(=0ttFI- 為變力，且作用時間很短時，可用平均值來代替為變力，且作用時間很短時，可用平均值來代替F)(=0ttFI-00dttFtFtt5注意：動量是狀態(tài)量，

3、沖量為過程量。注意：動量是狀態(tài)量，沖量為過程量。 動量定理可寫成動量定理可寫成分量式，即分量式，即000 xxxyyyzzzImmImmImmvvvvvv 此式表示，沖量在某個方向的分量等于該方向上此式表示，沖量在某個方向的分量等于該方向上質(zhì)點(diǎn)動量分量的增量，沖量在任一方向的分量只能質(zhì)點(diǎn)動量分量的增量，沖量在任一方向的分量只能改變自己方向的動量分量，而不能改變與它相垂直改變自己方向的動量分量，而不能改變與它相垂直的其他方向的動量分量。的其他方向的動量分量。6學(xué)習(xí)這個定理應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：學(xué)習(xí)這個定理應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1) 定理反映了外力沖量與質(zhì)點(diǎn)動量增量的數(shù)值關(guān)系，定理反映了外力沖量與質(zhì)點(diǎn)動量

4、增量的數(shù)值關(guān)系，也表達(dá)了方向關(guān)系，即外力沖量的方向與動量增量的方也表達(dá)了方向關(guān)系，即外力沖量的方向與動量增量的方向一致，是確定變力沖量方向的基本方法。向一致，是確定變力沖量方向的基本方法。(3)動量定理把一個狀態(tài)量動量定理把一個狀態(tài)量(動量動量)的變化與一個過程量的變化與一個過程量(沖沖量量)聯(lián)系在一起。注意與動能定理的區(qū)別。聯(lián)系在一起。注意與動能定理的區(qū)別。(2)雖由牛頓第二定律得，但物理內(nèi)容不同。牛頓第二定雖由牛頓第二定律得，但物理內(nèi)容不同。牛頓第二定律反映在力的瞬時作用下質(zhì)點(diǎn)動量隨時間變化的規(guī)律，律反映在力的瞬時作用下質(zhì)點(diǎn)動量隨時間變化的規(guī)律，而動量定理卻反映在力的持續(xù)作用下動量增量的規(guī)

5、律。而動量定理卻反映在力的持續(xù)作用下動量增量的規(guī)律。 7 (6) 沖量是力對時間的積累，其產(chǎn)生的效應(yīng)是物體動量沖量是力對時間的積累，其產(chǎn)生的效應(yīng)是物體動量的改變。的改變。(7)功是力對空間的積累，其產(chǎn)生的效應(yīng)是物體動能的改功是力對空間的積累，其產(chǎn)生的效應(yīng)是物體動能的改變。變。 (4)質(zhì)點(diǎn)的動量和動能是兩個相近易混淆的物理概念。質(zhì)點(diǎn)的動量和動能是兩個相近易混淆的物理概念。(5)力作用結(jié)果：力作用于物體可能不對物體作功，動能力作用結(jié)果：力作用于物體可能不對物體作功，動能可能不變，但是必定產(chǎn)生沖量，動量必定改變。可能不變，但是必定產(chǎn)生沖量，動量必定改變。8Oy例例2-14 質(zhì)量為質(zhì)量為m=3.0 1

6、03kg的重錘從高度為的重錘從高度為h=1.5m處自由下落打在工件上，經(jīng)處自由下落打在工件上，經(jīng) t=1.0 10 2s 時間速度變時間速度變?yōu)榱?。若忽略重錘自身的重量，求重錘對工件的平為零。若忽略重錘自身的重量，求重錘對工件的平均沖力。均沖力。 解解 取重錘為研究對象，取重錘為研究對象，y 軸軸 豎直向上。重錘與工件接觸時，豎直向上。重錘與工件接觸時，動量大小為動量大小為 Fgmh根據(jù)動量定理得根據(jù)動量定理得ghm 2210dtFtmmvv9即即)2(0ghmtF解得解得31/22623.0 10(2 9.8 1.5)1.0 101.63 10mghFtNN根據(jù)牛頓第三定律，重錘對工件的平均

7、沖力大小根據(jù)牛頓第三定律，重錘對工件的平均沖力大小61.63 10 NFF 方向豎直向下方向豎直向下OyFgmh10二、質(zhì)點(diǎn)系動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理二、質(zhì)點(diǎn)系動量定理和質(zhì)心運(yùn)動定理1、質(zhì)點(diǎn)系動量定理、質(zhì)點(diǎn)系動量定理一個由一個由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，對于各個質(zhì)點(diǎn)有個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，對于各個質(zhì)點(diǎn)有111111ddniiiFFmtv222212ddniiiFFmtv1ddnnninniinFFmtv質(zhì)點(diǎn)系以外的質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系以外的質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)系點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)第一個質(zhì)點(diǎn)上內(nèi)第一個質(zhì)點(diǎn)上的力的合力的力的合力質(zhì)點(diǎn)系以內(nèi)的別質(zhì)點(diǎn)系以內(nèi)的別的質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)第一個質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)第一個質(zhì)點(diǎn)上的力的合力

8、點(diǎn)上的力的合力11將以上將以上n 個方程兩邊分別相加得個方程兩邊分別相加得由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，根據(jù)牛頓第三定律得由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，根據(jù)牛頓第三定律得所以所以兩邊同乘以兩邊同乘以dt,積分得積分得1,11d()dnnniijiiii jij iFFmtv,10nijijjiF （微分形式）（微分形式）11d()dnniiiiiFmtv（積分形式）（積分形式）00111dnnntiiiiitiiiFtmmvv12 上式表明，上式表明，在一段時間內(nèi)，作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外在一段時間內(nèi)，作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)系動量的增量力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)系動量的增量。這個結(jié)論稱為。這個結(jié)論稱為質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系動量定理點(diǎn)系

9、動量定理。其分量式其分量式000000.tixiixii xttiyiiyii yttiziizii ztFtmmFtmmFtmmvvvvvvddd 此式表明，此式表明，合外力在某一方向的沖量等于在該方合外力在某一方向的沖量等于在該方向上質(zhì)點(diǎn)系動量的增量向上質(zhì)點(diǎn)系動量的增量。132 2、質(zhì)心、質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置為位置為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的直質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的直角坐標(biāo)分量式角坐標(biāo)分量式mzmzmymymxmxniiiniiiniii1C1C1C,若質(zhì)量是連續(xù)分若質(zhì)量是連續(xù)分布，質(zhì)心分量式布，質(zhì)心分量式mmzzmmyymmxxdd,dd,ddCCCmrmmrmmmmrmrmrmrniiiniini

10、iinnn111212211C 實(shí)際上是與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)質(zhì)量分布有關(guān)的一個代表點(diǎn)，實(shí)際上是與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)質(zhì)量分布有關(guān)的一個代表點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。14xOldd注意注意: (1)質(zhì)心的坐標(biāo)值與坐標(biāo)系的選取有關(guān)；質(zhì)心的坐標(biāo)值與坐標(biāo)系的選取有關(guān)； (2)質(zhì)量分布均勻、形狀對稱的實(shí)物，質(zhì)心位質(zhì)量分布均勻、形狀對稱的實(shí)物，質(zhì)心位 于其幾何中心處；于其幾何中心處； (3)不太大的實(shí)物，質(zhì)心與重心相重合。不太大的實(shí)物，質(zhì)心與重心相重合。例例1 1 求半徑為求半徑為R、頂角為、頂角為2的均勻圓弧的質(zhì)心。的均勻圓弧的質(zhì)心。 解解 選擇如圖所示的坐標(biāo)系，

11、圓弧關(guān)于選擇如圖所示的坐標(biāo)系，圓弧關(guān)于x 軸對稱軸對稱設(shè)圓弧的線密度為設(shè)圓弧的線密度為 ，取質(zhì)量元取質(zhì)量元dm = R d 坐標(biāo)為坐標(biāo)為x=R cos 15則圓弧質(zhì)心坐標(biāo)為則圓弧質(zhì)心坐標(biāo)為2Cddcos dsindddx mx RRRxmRR 3、質(zhì)心運(yùn)動定理、質(zhì)心運(yùn)動定理由質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式得由質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式得1Cni iimrrmCC11dd=ddnniiiiiirrmmmmttvvC1d()dniiimamtv11()ddnniiiiiFmtvC1niiFma16 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動與這樣一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動具有相質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動與這樣一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動具有相同的規(guī)律，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等

12、于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，作同的規(guī)律，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和。用于該質(zhì)點(diǎn)的力等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和。稱為質(zhì)心運(yùn)動定律稱為質(zhì)心運(yùn)動定律。 不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用在物不管物體的質(zhì)量如何分布，也不管外力作用在物體的什么位置上，質(zhì)心的運(yùn)動就象是物體的全部質(zhì)體的什么位置上，質(zhì)心的運(yùn)動就象是物體的全部質(zhì)量都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的量都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動一樣。一個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動一樣。在引入質(zhì)心的概念之后，對在引入質(zhì)心的概念之后，對解決比較復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動問題會很便利。解決比較復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動問題會

13、很便利。17三、三、 動量守恒定律動量守恒定律如果如果01niiF即即1()0niiimvtdd則則 恒矢量恒矢量 1niiimv 在外力的矢量和為零的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的總動量在外力的矢量和為零的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的總動量不隨時間變化不隨時間變化動量守恒定律。動量守恒定律。其分量式其分量式 恒量恒量 (當(dāng)當(dāng) 時時) 恒量恒量 (當(dāng)當(dāng) 時時) 恒量恒量 (當(dāng)當(dāng) 時時) 1niiximvFixin101niiyimvFiyin101niizimvFizin0118 注意：注意：(1) 系統(tǒng)動量守恒，但每個質(zhì)點(diǎn)的動量可能變化；系統(tǒng)動量守恒，但每個質(zhì)點(diǎn)的動量可能變化；(2) 在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間

14、極短的過在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過 程中，往往可忽略外力，程中，往往可忽略外力，近似動量守恒；近似動量守恒；(3) 動量守恒可在某一方向上成立；動量守恒可在某一方向上成立；(4) 定律中的速度應(yīng)是對同一慣性系的速度，動量定律中的速度應(yīng)是對同一慣性系的速度，動量 和應(yīng)是同一時刻的動量之和；和應(yīng)是同一時刻的動量之和；(5) 動量守恒定律在微觀高速范圍仍適用；動量守恒定律在微觀高速范圍仍適用；(6) 動量守恒定律只適用于慣性系。動量守恒定律只適用于慣性系。19例例2-16 如圖所示如圖所示, 大炮在發(fā)射時炮身會發(fā)生反沖現(xiàn)大炮在發(fā)射時炮身會發(fā)生反沖現(xiàn)象。設(shè)炮身的仰角為象。設(shè)炮身的仰角為,

15、 炮彈和炮身的質(zhì)量分別為炮彈和炮身的質(zhì)量分別為m和和M, 炮彈在離開炮口時的速率為炮彈在離開炮口時的速率為v, 若忽略炮身反沖時若忽略炮身反沖時與地面的摩擦力忽略與地面的摩擦力忽略, 求炮身的反沖速率。求炮身的反沖速率。 解解 設(shè)設(shè)x軸沿水平向右軸沿水平向右，根據(jù)動量守恒定律得根據(jù)動量守恒定律得cos0Mm -uv所以炮身的反沖速率為所以炮身的反沖速率為 cosmMvu uv20四、四、 碰碰 撞撞1、碰撞現(xiàn)象、碰撞現(xiàn)象 碰撞分兩類碰撞分兩類: 機(jī)械能不變的稱為機(jī)械能不變的稱為完全彈性碰撞完全彈性碰撞；若；若兩個物體碰撞之后結(jié)合為一體稱為兩個物體碰撞之后結(jié)合為一體稱為完全非彈性碰撞完全非彈性碰

16、撞；機(jī)械能改變介于二者之間的稱為機(jī)械能改變介于二者之間的稱為非完全彈性碰撞非完全彈性碰撞。2、完全彈性碰撞、完全彈性碰撞兩小球質(zhì)量分別為兩小球質(zhì)量分別為m1和和m2, 碰前速度碰前速度 和和 , 碰后速度碰后速度 和和 。1v2v1u2u根據(jù)動量守恒定律得根據(jù)動量守恒定律得11221 122mmmum uvv 碰撞前后的速度都處于兩球的連心線上的碰撞稱碰撞前后的速度都處于兩球的連心線上的碰撞稱為為正碰正碰或或?qū)π呐鲎?。對心碰撞?1根據(jù)能量守恒定律得根據(jù)能量守恒定律得222211221 12211112222mmmum uvv若碰撞為正碰若碰撞為正碰, ,則有則有11221 122mmmum

17、uvv解得解得若若21= mm則有則有1221,uuvv（兩物體速度交換）（兩物體速度交換）12211212122()()mmmummmmvv-12121212122()()mmmummmmvv-若若2120;vmm，且11221,0.()uuu-vv則有1220;vmm，且若若1121,2uuvv則有223、完全非彈性碰撞、完全非彈性碰撞根據(jù)動量守恒定律得根據(jù)動量守恒定律得112212()mmmm uvv所以所以112212mmummvv例例1 如圖所示的裝置稱為沖擊擺如圖所示的裝置稱為沖擊擺, 可用它來測定子彈可用它來測定子彈的速度。質(zhì)量為的速度。質(zhì)量為m0的木塊被懸掛在長度為的木塊被懸掛在長度為l的細(xì)繩下的細(xì)繩下端端, 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈沿水平方向以速率的子彈沿水平方向以速率v射中木塊射中木塊, 并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺動并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺動, 當(dāng)?shù)疆?dāng)?shù)竭_(dá)最高位置時達(dá)最高位置時, 木塊的水平位移為木塊的水平位移為s。試確定子彈的。試確定子彈的速度。速度。 230mlvs解解 根據(jù)動量守恒定律得