高考數學大一輪復習 第六章 數列 6.3 等比數列及其前n項和優(yōu)質課件 文 新人教A版

1、16 6. .3 3等比數列及其前等比數列及其前n n項和項和 2知識梳理雙基自測21自測點評1.等比數列 (1)等比數列的定義一般地,如果一個數列從第項起,每一項與它的前一項的比等于,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的,公比通常用字母表示.數學2 同一個常數 公比 q(q0) 3知識梳理雙基自測21自測點評(2)等比中項如果a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項a,G,b成等比數列.(3)等比數列的通項公式an=;可推廣為an=.(4)等比數列的前n項和公式G2=ab a1qn-1 amqn-m 4知識梳理雙基自測自測點評212.等比數列及其

2、前n項和的性質(1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),則akal=;若m+n=2k,則 (2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數列,公比為.(3)若an,bn(項數相同)是等比數列,則aman qm 5知識梳理雙基自測自測點評21當q1,則a3=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉11知識梳理雙基自測自測點評1.等差數列的首項和公差可以為零,且等差中項唯一;而等比數列的首項和公比均不為零,等比中項可以有兩個值.2.在等比數列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判斷an為等比數列,還要驗證a10;若aman=apaq,則m+n=p+q不一定成立

3、,因為常數列也是等比數列,但若m+n=p+q,則有3.在運用等比數列的前n項和公式時,如果不能確定q與1的關系,必須分q=1和q1兩種情況討論.12考點1考點2考點3考點4例1(1)設an是由正數組成的等比數列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于()(2)(2016銀川一中一模)在等比數列an中,若a1= ,a4=3,則該數列前五項的積為()A.3 B.3C.1 D.1(3)在等比數列an中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,則n=.思考解決等比數列基本運算問題的常見思想方法有哪些? 答案 答案關閉 (1)B(2)D(3)6 13考點1考點2考點3考點414考點

4、1考點2考點3考點4(3)a3+a6=q(a2+a5),q=a2+a5=18,a1q+a1q4=18.a1=32.an=a1qn-1=1,解得n=6.15考點1考點2考點3考點4解題心得解決等比數列有關問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因為等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當某一參數為公比進行求和時,就要對參數是否為1進行分類求和.(3)整體思想:應用等比數列前n項和公式時,常把qn或 當成整體進行求解.16考點1考點2考點3考點4對點訓練

5、對點訓練1(1)(2016陜西漢中市質檢二)已知an為等比數列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差數列,則a3+a5等于()A.189 B.72C.60 D.33(2)已知an是等差數列,公差d不為零,前n項和是Sn,若a3,a4,a8成等比數列,則()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0 答案 答案關閉(1)C(2)B 17考點1考點2考點3考點4解析: (1)4a1,2a2,a3成等差數列,4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,q2-4q+4=0.q=2.a3+a5=a1(q2+q4)=3(4+16)=60.(2)設an的首項為a1,公差為d

6、,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比數列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.18考點1考點2考點3考點4例2已知數列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數列,并求其通項公式;思考判斷或證明一個數列是等比數列有哪些方法?19考點1考點2考點3考點420考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數列an是等比數列常用的方法(2)等比中項法,證明 =an-1an+1;(3)通項公式法,若數列通項公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數,nN*),則an是等比數列.2.若判斷一個數列不是等比

7、數列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可.21考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練2在數列an中,Sn為數列an的前n項和,且Sn=1+kan(k0,且k1).(1)求an;22考點1考點2考點3考點423考點1考點2考點3考點4考向一等比數列項的性質的應用例3(1)(2016山西晉城高三期末)在由正數組成的等比數列an中,若a3a4a5=3,則sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值為()(2)在正項等比數列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=.思考經常用等比數列的哪些性質簡化解題過程? 答案 答案關閉 (1)B(2)1

8、4 24考點1考點2考點3考點425考點1考點2考點3考點4考向二等比數列前n項和的性質的應用例4設等比數列an的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本題應用什么性質求解比較簡便? 答案解析解析關閉S2=3,S4=15,由等比數列前n項和的性質,得S2,S4-S2,S6-S4成等比數列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C. 答案解析關閉C 26考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的有關問題時,為簡化解題過程常常利用等比數列項的如下性質:(1)通項公式的推廣:an=

9、amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應用公比不為-1的等比數列前n項和的性質:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列比較簡便.27考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練3(1)(2016安徽“江南十?！甭?lián)考)已知在各項均為正數的等比數列an中,a5a6=4,則數列l(wèi)og2an的前10項和為()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比數列an的首項a1=-1,其前n項和為Sn,若 ,則公比q=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉28考點1考點2考點3考點

10、4例5(2016天津,文18)已知an是等比數列,前n項和為Sn(nN*),且(1)求an的通項公式;(2)若對任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數列(-1) 的前2n項和.思考解決等差數列、等比數列的綜合問題的基本思路是怎樣的?29考點1考點2考點3考點430考點1考點2考點3考點4解題心得等差數列和等比數列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數、轉化等數學思想方法,合理調用相關知識,就不難解決這類問題.31考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練4已知等差數列an滿足:a1=2,且a1,

11、a2,a5成等比數列.(1)求數列an的通項公式;(2)記Sn為數列an的前n項和,是否存在正整數n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.解 (1)設數列an的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當d=0時,an=2;當d=4時,an=2+(n-1)4=4n-2,從而得數列an的通項公式為an=2或an=4n-2.32考點1考點2考點3考點4(2)當an=2時,Sn=2n.顯然2n60n+800成立.當an=4n-2時,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成

12、立,n的最小值為41.綜上,當an=2時,不存在滿足題意的n;當an=4n-2時,存在滿足題意的n,其最小值為41.33考點1考點2考點3考點41.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題,數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.2.判定等比數列的方法(1)定義法: (q是不為零的常數,nN*)an是等比數列.(2)通項公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數,nN*)an是等比數列.(3)等比中項法: =anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比數列.34考點1考點2考點3考點43.求解等比數列問題常用的數學思想

13、(1)方程思想:如求等比數列中的基本量;(2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調性時對a1與q分類討論.1.在等比數列中,易忽視每一項與公比都不為0.2.求等比數列的前n項和時,易忽略q=1這一特殊情形.35審題答題指導如何理解條件和轉化條件典例在等差數列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數列an的通項公式;(2)對任意mN*,將數列an中落入區(qū)間(9m,92m)內的個數記為bm,求數列bm的前m項和Sm.審題要點(1)題干中已知條件有三個:“數列an是等差數列”和兩個等式;(2)第(2)問中所含條件可理解為:數列an的各項在所給區(qū)間的項數為bm;(3)第(2)問中條件的轉化方法:文字語言轉化為符號語言,即求滿足9man92m的n的范圍.36