宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法02-微分方程及差分方程

1、微 分 方 程 與 差 分 方 程微分方程與差分方程簡介本章簡單地介紹微分方程、差分方程的一些基本概念和穩(wěn)定性概念。2.1 微分方程的基本概念微分方程的定義及其階在許多實際和理論問題中，需要尋找變量之間的函數(shù)關(guān)系。一般來說，變量之間的函數(shù)關(guān)系很難直接求出，然而，根據(jù)以知條件，往往可以得到一個自變量、未知函數(shù)與它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式。因此，希望利用以知的函數(shù)與它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式，去求出這個函數(shù)本身。為此，給出下列描述性的定義：定義 含有未知函數(shù)和未知函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)的等式稱為微分方程。在該等式中，若未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)，就稱該微分方程是常微分方程。若未知函數(shù)是多元函數(shù)，且該等式中所含的導(dǎo)數(shù)是偏

2、導(dǎo)數(shù)，則稱該微分方程是偏微分方程。本章僅介紹常微分方程。在下面，“微分方程”一詞，均是指常微分方程。微分方程的一般形式是其中，是自變量，是的函數(shù)，是對的各階導(dǎo)數(shù)。微分方程的解、通解、特解和初始條件若函數(shù)（可以是顯函數(shù)，也可以是隱函數(shù)）滿足該微分方程，即將，代入到微分方程，能使等式成為恒等式，則稱這個函數(shù)是這個微分方程的解。例 假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率是。求滿足這一條件的所有曲線。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有這是一個一階微分方程。兩邊同時積分，有所以，該微分方程的解是由于一個函數(shù)對應(yīng)平面上的一條曲線，故也常常稱微分方程的解是該微分方程的積分曲線。上例的積分曲線如圖2.1所示。從圖中可以看到，該微分

3、方程有無窮多條積分曲線，并且，所有的積分曲線都可以通過其中的某一條積分曲線沿縱軸平行移動而得到。一般來說，若一個微分方程有解，則它有無窮多個解，且這些解的圖象互相平行。從上例可以看出微分方程有無窮多個解的原因。從本質(zhì)上講，求一個微分方程的解，就是要設(shè)法進(jìn)行積分；階微分方程就要進(jìn)行次積分（當(dāng)然，根據(jù)微分方程的不同形式，在進(jìn)行具體求解時，可能不需要直接作積分運(yùn)算）。積分一次就會出現(xiàn)一個常數(shù)。因此，階微分方程的一般解應(yīng)含有個任意常數(shù)，故而微分方程有無窮多解。為此，我們給出下列定義：定義 若一個階微分方程的解含有個獨(dú)立的任意常數(shù)，就稱這個解是該微分方程的通解。這樣，階微分方程通解的一般形式是在這里，以

4、例子的方式，直觀地解釋“獨(dú)立的”一詞的含義。例如，函數(shù)含有兩個獨(dú)立的任意常數(shù)。在函數(shù)中，雖然形式上有兩個常數(shù)，然而，該函數(shù)可以合并為。因此，該函數(shù)只含有一個獨(dú)立的任意常數(shù)。又如，等價于，所以，該隱函數(shù)僅含有兩個獨(dú)立任意常數(shù)。類似的，函數(shù)也只含有一個獨(dú)立的任意常數(shù)。一般來說，不能通過合并同類項、變量代換等變換將其合并的常數(shù)才是獨(dú)立的。在微分方程的通解中，若指定其中的任意常數(shù)為一組固定的數(shù)值，則所得到的解稱為該微分方程的一個特解。例如，就是在上例中，令的特解。在許多問題中，通常需要去求微分方程的一個滿足某種條件的特解。對于不同的條件，求對應(yīng)特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根據(jù)所

5、給的條件，去設(shè)法確定通解中的常數(shù)的適當(dāng)值。對于一個階微分方程，求其某個特解的最常見的條件是給出在處，未知函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值以及直到階的導(dǎo)數(shù)值。這種條件稱為微分方程的初始條件，記為其中，是已知常數(shù)。給定初始條件，求對應(yīng)特解的問題稱為微分方程的初值問題。求解初值問題的常見方法是：1) 求出微分方程的通解；2) 求出通解的直到階的導(dǎo)數(shù)；3) 代入初始條件，得到含有個常數(shù)的個方程；解這組方程，得到的一組指定值；4) 代入通解，得到滿足初始條件的特解。2.2 幾類常見微分方程的解法可分離變量的微分方程下列形式的一階微分方程稱為可分離變量的微分方程也就是說，若一階微分方程可以按合并為兩項，兩個微分的系數(shù)都

6、可以分解為兩個因子的乘積，并且，每個因子要么只包含變量，要么只包含變量，則這種微分方程就是可分離變量的微分方程。在該微分方程的兩邊同時除以，可將它轉(zhuǎn)化為下列形式：這種形式的微分方程稱為變量已分離的微分方程。其特點(diǎn)是變量的微分的系數(shù)只與有關(guān)，變量的微分的系數(shù)只與有關(guān)。這類微分方程可以通過直接積分得到其通解。事實上，在變量已分離的微分方程的兩邊同時積分，有不難驗證，由這個方程確定的隱函數(shù)是原微分方程的通解。例： 求微分方程的通解。解：該微分方程可以變形為所以，原微分方程是一個可分離變量的微分方程。兩邊同時積分，得其中，。于是，該微分方程的通解為一階線性微分方程下列形式的微分方程稱為一階非齊次線性微

7、分方程：稱微分方程為對應(yīng)的齊次線性微分方程。下面分兩步求出一階非齊次線性微分方程的通解公式。1) 求對應(yīng)齊次線性微分方程的通解；2) 在對應(yīng)齊次線性微分方程的通解的基礎(chǔ)上，用所謂的“常數(shù)變易法求出非齊次微分方程的通解。齊次線性微分方程是可分離變量微分方程。分離變量，有兩邊同時積分，所以，齊次線性微分方程的通解為 “常數(shù)變易法”是通過對應(yīng)齊次方程的通解，求非齊次方程解的一種常用方法。它不僅用于一階線性微分方程的求解，還可以用于高階線性微分方程的求解。其方法是假設(shè)非齊次微分方程的通解也具有上述的形式，只是視其中的常數(shù)是自變量的函數(shù)。即假設(shè)是一階非齊次線性微分方程的通解。然后將其代入原微分方程，確定

8、函數(shù)，從而求出它的通解。根據(jù)假設(shè)，有代入方程，得整理得于是，這樣，原微分方程的通解公式為由此可以看出，一階線性非齊次微分方程的通解由兩項組成。一項是，它是對應(yīng)齊次微分方程的通解；另一項是。不難驗證，它是非齊次線性微分方程的一個特解。在解一階非齊次線性微分方程時，可以直接套用公式（2.2.8），也可以利用公式的推導(dǎo)過程來求解。例： 求微分方程的通解。解：顯然，該微分方程不是關(guān)于的線性微分方程。然而，若將看成因變量，看成自變量。則該微分方程變形為整理后得到這是一個關(guān)于的線性微分方程。運(yùn)用公式（2.2.8）解之。， ， 代入公式通解，有 所以，該微分方程的通解為2.3 二階常系數(shù)線性微分方程下列形式

9、的微分方程稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程：而稱微分方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。下面首先介紹齊次方程解的性質(zhì)，然后再借助這些性質(zhì)去構(gòu)造它的通解的結(jié)構(gòu)。然后利用齊次方程的通解去構(gòu)造非齊次方程的解。容易證明，定理 設(shè)是二階常系數(shù)齊次微分方程的解，是任意常數(shù)。則也是它的解；該定理常常表述為常系數(shù)齊次線性微分方程解的線性組合仍然是它的解。根據(jù)該定理及微分方程通解的定義，容易得到定理 設(shè)，是常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的特解，則它們的線性組合它的通解。其中，是任意常數(shù)。本定理常稱為常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。因此，求常系數(shù)線性齊次微分方程的通解的關(guān)鍵是求它的兩個線性無關(guān)的特解。通過

10、觀察，不難看出這種微分方程解應(yīng)具有的函數(shù)類型。事實上，從常系數(shù)齊次線性微分方程左邊的表達(dá)式可知，若函數(shù)是該微分方程的解，則與它的一、二階導(dǎo)數(shù)的某個線性組合應(yīng)等于零。因此，與它的一、二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是同類型的函數(shù)。由導(dǎo)數(shù)基本公式可知，指數(shù)型函數(shù)具有這種性質(zhì)。因此，可以按下列方法尋找它的特解：假設(shè)它具有指數(shù)型函數(shù)的解，代回原微分方程，用待定系數(shù)法確定的值。確定了的值，就求出了原方程的特解。設(shè)是常系數(shù)齊次線性微分方程的解。將其代入，有 注意，對任意的，。所以，欲使是方程的解，則必須是一元二次方程的根。由于上述步驟步步可逆。因此，我們得到了定理 是常系數(shù)齊次線性微分方程的解的必要充分條件是是一元二次方程的

11、根。為此，引入下列定義:定義 稱上述代數(shù)方程是常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程，其根稱為常系數(shù)齊次線性微分方程的特征根或特征值。這樣，求常系數(shù)線性微分方程的特解以轉(zhuǎn)化為求它的特征方程的根。由于一元二次方程的根可能會是有兩個不等的實根、有兩個相等的實重根、有一對互為共軛復(fù)根。因此，常系數(shù)齊次線性微分方程的通解也有下列三種形式：1) 有兩個不等的實特征根：此時，是其通解；2) 有兩個相等的實重特征：由于兩個重特征根給出的對應(yīng)指數(shù)函數(shù)是同一個函數(shù)。因此，需要去再找一個與線性無關(guān)的特解。此時容易驗證，也是它的的一個特解。因此，該微分方程的通解是；3) 有兩個共軛復(fù)特征根：設(shè)。雖然，是它的解，且它們線性

12、無關(guān)，但是，這兩個函數(shù)中含有復(fù)數(shù)，而在高等數(shù)學(xué)中，一般都僅在實數(shù)范圍內(nèi)討論。因此，希望將這兩個函數(shù)轉(zhuǎn)化為僅含實數(shù)的函數(shù)。為此，根據(jù)歐拉公式，令則是常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個解的線性組合，由解的結(jié)構(gòu)定理，它們也是原微分方程的特解。顯然，線性無關(guān)。所以當(dāng)常系數(shù)齊次線性微分方程有一對共軛復(fù)特征根時，它的通解為總結(jié)上述討論，得到下列定理：定理 設(shè)常系數(shù)齊次線性微分方程的特征根是；為任意常數(shù)。1) 若且，則該方程的通解是；2) 若且，則該方程的通解是；3) 若，則該方程的通解是。例： 求微分方程滿足初始條件，的特解。解：該微分方程的特征方程是它的特征根是它們是重特征根。所以，該微分方程的通解是 將初始

13、條件代入通解表達(dá)式，有得。所以，所求特解為例： 求微分方程的通解。解：該微分方程的特征方程是它的特征根是所以，它的通解為上面對二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解過程的討論可以推廣到階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解。為此，首先推廣函數(shù)線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念。定義 設(shè)是一組函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)，使得它們的線性組合稱這組函數(shù)線性相關(guān)；若對任意，除外，都不恒等于零，稱這組函數(shù)線性無關(guān)。一組函數(shù)線性無關(guān)意味著該組函數(shù)的線性組合中的任意常數(shù)都是獨(dú)立的。定義 下列形式的微分方程稱為階常系數(shù)齊次線性微分方程：稱代數(shù)方程為微分方程的特征方程，其根為該微分方程的特征根。容易證明，解的結(jié)構(gòu)定理對階常系數(shù)齊次線性微

14、分方程依然成立，并可擴(kuò)充為下列定理：定理 設(shè)是常系數(shù)齊次線性微分方程的個線性無關(guān)的特解，則它們的線性組合是該方程的通解。其中，是任意常數(shù)。同樣，不難證明：定理 形如的函數(shù)是階常系數(shù)齊次線性微分方程的解的必要充分條件為是它的特征根。根據(jù)階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征根的實根與復(fù)根、單根與重根的不同，它的個線性無關(guān)的特解與特征根的對應(yīng)關(guān)系如下：1) 單實根 對應(yīng)一個特解 ；2) 重實根 對應(yīng)個特解 3) 一對單復(fù)根 對應(yīng)一對特解 和4) 重復(fù)根 對應(yīng)對特解 和其中，。這樣，可以用上面介紹的步驟求出階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解。例 求微分方程的通解。解：該微分方程的特征方程是 它的五個特征根是于是

15、，該微分方程的五個線性無關(guān)的特解為； ； ；所以，該5階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解和與它對應(yīng)的齊次方程的通解的聯(lián)系非常密切。下面介紹此類微分方程解的性質(zhì)。這些性質(zhì)可以用來構(gòu)造它的通解。定理 設(shè)是常系數(shù)線性非齊次微分方程的解，是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解。則1) 是常系數(shù)線性非齊次微分方程的解；2) 是常系數(shù)線性齊次微分方程。根據(jù)上述定理，可以很容易得到常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解表達(dá)式。定理 設(shè)是常系數(shù)線性非齊次微分方程的一個特解，是對應(yīng)齊次方程的通解。則是常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解。本定理常稱為常系數(shù)線性非

16、齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。本定理給出了求常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解的基本步驟：1) 求常系數(shù)線性非齊次微分方程所對應(yīng)的齊次微分方程的通解；2) 求出常系數(shù)線性非齊次微分方程的一個特解；3) 將它們加起來即得常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解。常系數(shù)線性齊次微分方程的通解求法上一節(jié)已經(jīng)介紹。因此，現(xiàn)在求常系數(shù)線性非齊次微分方程的解的關(guān)鍵是求它的一個特解。求常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解時，下列定理很有用。定理 設(shè)分別是下列非齊次方程的通解：則是下列常系數(shù)線性非齊次微分方程通解：求常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解沒有一般方法，通常需要根據(jù)非齊次項的不同類型，采用不同的方法。下面針對幾類常見類型的非齊

17、次項，介紹對應(yīng)特解的求法。其中，始終表示次多項式。型注意到常系數(shù)線性非齊次微分方程的左邊是未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的線性組合；以及指數(shù)函數(shù)與多項式之積的各階導(dǎo)數(shù)仍然是指數(shù)函數(shù)與多項式之積。因此，可以認(rèn)為它有指數(shù)函數(shù)與多項式之積這種函數(shù)類型的特解。為此，用待定系數(shù)法的方法，假設(shè)它有一個形如的特解，代入原微分方程，確定的各項系數(shù)，從而求出它的一個特解，具體作法是：設(shè)是常系數(shù)線性非齊次微分方程的一個特解，其中，是待定多項式。求導(dǎo)數(shù)得代入原方程，有 消去，并加以整理，得到注意到是以知多項式，故可利用該恒等式來決定的系數(shù)。用待定系數(shù)法確定的關(guān)鍵是確定的次數(shù)。因為是次多項式，故（2.3.6）左邊的代數(shù)和應(yīng)是次多

18、項式。注意到多項式求一次導(dǎo)數(shù)，其次數(shù)要降低一次，即，的次數(shù)依次減一。因此，根據(jù)該恒等式中、和的系數(shù)，依的不同取值，的次數(shù)有下列三種可能：1) 不是對應(yīng)齊次方程的特征根。此時，故可設(shè)，一個次多項式；2) 是對應(yīng)齊次方程的單特征根，此時，但是，。此時，的最高次項含于中，即應(yīng)是次多項式。為了方便，設(shè)；3) 是對應(yīng)齊次方程的重特征根，此時，并且。此時，的最高次項含于中，即應(yīng)是次多項式。為了方便，設(shè)。綜上所述，可以設(shè)常系數(shù)線性非齊次微分方程有一個形如的特解。其中，根據(jù)不是特征方程的特征根、是特征方程的單特征根、是特征方程的重特征根，依次取0，1，2。最后，設(shè)代入原方程，用待定系數(shù)法確定的值。即可求出常系

19、數(shù)線性非齊次微分方程的一個特解。例： 求微分方程的一個特解。解：該方程是非齊次項為的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。其中，是零次多項式。對應(yīng)齊次方程是它的特征方程是特征根是，。是該方程的單特征根。因此，設(shè)設(shè)待解方程有一個下列形式的特解：對求導(dǎo)數(shù)，得代入待解方程，有 消去并加以整理，得， 所以，求出原方程的一個特解例： 求微分方程的通解。解：該方程是非齊次項為的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。其中，。對應(yīng)的齊次方程是它的特征方程是特征根是，。所以，它的齊次方程的通解為 因為不是該方程的特征根。因此，設(shè)原方程有一個下列形式的特解： 對求導(dǎo)數(shù)，得 代入原微分方程，有 比較對應(yīng)項的系數(shù)，有 所以，原微分方

20、程有一個特解這樣，原微分方程的通解為2.4 常系數(shù)齊次線性微分方程組一階常系數(shù)齊次線性微分方程組及其矩陣表示前面討論的是由一個微分方程去求解一個未知函數(shù)。本節(jié)介紹由幾個微分方程聯(lián)立起來共同求解幾個具有同一個自變量的未知函數(shù)的問題。聯(lián)立的微分方程稱為微分方程組。在微分方程組內(nèi)所含的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程組的階數(shù)。其一般形式為從理論上說，通過變量變換，可以把高階微分方程組轉(zhuǎn)化為一階微分方程組，將一階導(dǎo)數(shù)解出來，則得到一階微分方程組的一般形式：為了書寫簡單起見，引入向量記號：，則上述微分方程可以寫成特別地，如果上式中的函數(shù)都是一次函數(shù)，且不包含自變量，則稱該微分方程組為常系數(shù)線性微分方

21、程組。個未知函數(shù)的一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：其中，都是的未知函數(shù)。為了書寫和求解的方便，利用線性代數(shù)的知識，引入一階常系數(shù)線性微分方程組的矩陣表示。令； ； 稱為未知函數(shù)向量，簡稱為函數(shù)向量；稱為導(dǎo)數(shù)向量；稱為系數(shù)矩陣。據(jù)此，一階常系數(shù)線性微分方程組可以用矩陣表示為例： 寫出下列微分方程組的矩陣表示。解：令， ， 則于是，原微分方程組的矩陣形式是即例： 求微分方程組的矩陣形式。解：令， ， 則 則原微分方程組的矩陣形式是請注意，該微分方程組的系數(shù)矩陣是一個對角矩陣。根據(jù)導(dǎo)數(shù)向量的定義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，不難證明導(dǎo)數(shù)向量的下列運(yùn)算性質(zhì)：事實上，令則因此，該矩陣等式等價于下列線性方

22、程組分別在這個方程的兩邊對求導(dǎo)數(shù)，有于是，根據(jù)導(dǎo)數(shù)向量的定義和矩陣乘法的定義，等式成立。高階常系數(shù)齊次線性微分方程（組）與一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的關(guān)系常系數(shù)齊次線性微分方程組所含的最高階數(shù)如果大于一，則稱它是高階常系數(shù)齊次線性微分方程組。例如，微分方程組就是一個三階常系數(shù)齊次線性微分方程組。高階常系數(shù)齊次線性微分方程組可以通過引入新的未知函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為一階常系數(shù)齊次線性微分方程組?，F(xiàn)在以上面的例子說明轉(zhuǎn)化方法。在上述方程中，令， ， 于是， 代入方程，有這是一個一階常系數(shù)齊次線性微分方程。它的標(biāo)準(zhǔn)形式是特別的，階常系數(shù)齊次線性微分方程可以轉(zhuǎn)化為元一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。事實上，令，

23、 ，這里令是為了記號統(tǒng)一。將這些定義式代入原方程，就得到一個元一階常系數(shù)齊次線性微分方程組：該微分方程組的系數(shù)矩陣是這是在線性代數(shù)中著重討論的一個矩陣。反之，也可以在常系數(shù)齊次線性微分方程組中消去其它未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（這通常要提高微分方程的階數(shù)），使常系數(shù)齊次線性微分方程組轉(zhuǎn)化為高階常系數(shù)齊次線性微分方程。事實上，從上例中的微分方程組的第二個方程中，解出的導(dǎo)數(shù)，有于是，再對它的第一個方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，有將和的表達(dá)式代入上式并整理，有這是一個關(guān)于的階常系數(shù)齊次線性微分方程。求出的通解后，根據(jù)的表達(dá)式可以求出通解。高階常系數(shù)齊次線性微分方程組和一階常系數(shù)齊次線性微分方程組可以互相轉(zhuǎn)化給討論常系數(shù)齊次

24、線性微分方程（組）帶來很大的好處，只需要討論一種形式的微分方程（組）的解法，就可以得到另一種形式的微分方程（組）的解法。通常是將高階常系數(shù)齊次線性微分方程（組）轉(zhuǎn)化為一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。這主要是因為一階常系數(shù)齊次線性微分方程組可以利用線性代數(shù)的知識進(jìn)行討論。有關(guān)的線性代數(shù)預(yù)備知識在給出一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的求解方法之前，先簡單概述一下所需的線性代數(shù)的知識。所介紹的有關(guān)定理的證明請參考有關(guān)線性代數(shù)教科書。定義 設(shè)是階方陣。若存在常數(shù)和非零向量，使得則稱是方陣的特征根或特征值，稱非零向量是對應(yīng)于的，方陣的特征向量。定理 階方陣的特征根是次代數(shù)方程的根。代數(shù)方程（2.4.8）稱為階

25、方陣的特征方程。它是一個關(guān)于的次多項式方程。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，計算重根，它共有個根。因此，階方陣有個特征根。定理 設(shè)是方陣的特征根，則對應(yīng)于的特征向量是齊次線性方程組的解。定義 設(shè)，都是階方陣。若存在可逆方陣，使得則稱，相似。從求解一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的角度來說，最關(guān)心的是方陣能否與一個對角方陣相似。下面介紹的幾個定理描述了特征根、特征向量與方陣和對角陣相似的關(guān)系；方陣與對角陣相似的條件。定理 若方陣與對角方陣相似，則的主對角線上的元素是方陣的特征根，可逆方陣的列向量是與相應(yīng)特征根對應(yīng)的，的特征向量。定理 階方陣的不同特征根所對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的。下面的定理給出了方陣能與對角方陣相似

26、的條件。定理 階方陣與對角方陣相似的必要充分條件是有個線性無關(guān)的特征向量。推論 若階方陣有個單特征根，則方陣一定與對角方陣相似。一階常系數(shù)線性微分方程組的求解首先解前面給出的最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。注意，最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的系數(shù)矩陣是一個對角矩陣。因此，該微分方程組中的每個方程都只含有一個未知函數(shù)。對每個方程單獨(dú)求解就可以得到整個方程組的解。注意到它的每個方程都是可分離變量方程容易求得該方程的通解是所以，原微分方程組的通解為 注意，如果有某些是復(fù)數(shù)，可以利用歐拉公式將這些解轉(zhuǎn)化為只含實數(shù)和實變量的函數(shù)。對于一般的一階常系數(shù)齊次線性微分方程組，可以通過變量代換，將其轉(zhuǎn)化為

27、最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的形式，從而求出其解。設(shè)有一階常系數(shù)齊次線性微分方程組設(shè)它的系數(shù)矩陣能與對角方陣相似。于是，存在可逆方陣，使得令。有。將其代入原微分方程組，得到這是一個關(guān)于向量的最簡一階常系數(shù)齊次線性微分方程組。設(shè)該方程組的通解是 記則一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解是將的通解表達(dá)式代入上式，得到原方程組的通解是 其中，是任意常數(shù)；，是原微分方程組的特征根；是對應(yīng)于的特征向量。2.5 差分及差分方程時間序列假設(shè)有時間的函數(shù)，在一系列離散時刻點(diǎn)上，觀察到它的相應(yīng)函數(shù)值，則稱這些觀察值為一個時間序列。不失一般，我們對時間序列按觀察時間的先后順序重新編號，可以將時間序列簡記為，。因

28、此，時間序列也可以看成是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)。若時間序列除了受的影響外，還受到某個隨機(jī)因素的影響，則稱該時間序列為隨機(jī)型時間序列；否則，就稱為確定型時間序列。習(xí)慣上，隨機(jī)型時間序列簡稱為時間序列；而確定型時間序列簡稱為序列、數(shù)列等。差分的概念定義 設(shè)有時間序列，稱為該時間序列的一階差分。定理 設(shè)有時間序列,，為常數(shù)，則1)2) ；3) ；4) 。注意到時間序列的一階差分仍然是時間序列，它的差分仍然是一個時間序列?？梢詫@個差分再進(jìn)行差分運(yùn)算，即有稱這個差分為原時間序列的二階差分，記為。類似的，可以定義時間序列的三階差分、四階差分等等：，二階以上的差分都稱為高階差分。高階差分可以用原時間序列表

29、示。例如， 一般來說，有定理 設(shè)有時間序列,則其中，是在個元素中取個元素的組合數(shù)。證明：用歸納法證明。當(dāng)時，如上所述，上式成立。假設(shè)對自然數(shù)，上式成立。則對，有 根據(jù)組合數(shù)公式，及， 有 從上式可以看出，時間序列的一階差分可以用的兩個相鄰的值表示；二階差分可以用的三個相鄰的值表示；階差分可以用的個相鄰的值表示。差分方程的一般概念因為差分對于離散變量相當(dāng)于導(dǎo)數(shù)對于連續(xù)變量。那么，與微分方程相對應(yīng)的概念就是所謂的差分方程。因此，此處的許多概念與微分方程中相應(yīng)概念類似。定義 含有未知時間序列差分的等式稱為差分方程。它的一般形式是由于的高階差分可以用的的相鄰值表示，這樣，可以得到差分方程的另一種形式的

30、定義：定義 含有未知時間序列的相鄰值的等式稱為差分方程。它的一般形式是在實際應(yīng)用中，這種定義形式的差分方程更為常見。定義 差分方程所含的未知時間序列的差分的最高階數(shù)，或者方程所含的的相鄰值的最大個數(shù)稱為該差分方程的階數(shù)。例： （菲波拉契（Fibonacci）問題）設(shè)幼兔一個月后成長為成兔。成兔一個月后開始生幼兔，每月生一對幼兔。假設(shè)兔子不死，問開始有一對兔子時，過個月后，共有多少兔子。解：設(shè)第月的兔子數(shù)是。其中，成兔數(shù)是，幼兔數(shù)是，即到第月，成兔生了對幼兔，原有幼兔成長為成兔。所以， ， 于是， 這樣，每個月的兔子數(shù)滿足方程這是一個二階差分方程。若有一個時間序列代入到差分方程，使之成為恒等式，

31、則稱該時間序列是這個差分方程的解。與微分方程類似，差分方程的解通常不止一個。因此，有如下定義：定義 設(shè)有階差分方程若有時間序列，使得則稱是這個差分方程的解；若這個解含有個獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱它是該差分方程的通解；否則稱為特解。與微分方程類似，為了確定通解中任意常數(shù)的具體值，需要知道一些附加條件。對于階差分方程，常見確定任意常數(shù)的條件是其中，是已知常數(shù)。這種形式的確定常數(shù)的條件稱為初始條件。求滿足給定初始條件的差分方程解的問題稱為差分方程的初值問題。在理論經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，通常假設(shè)所研究的經(jīng)濟(jì)變量是連續(xù)變量，以便于利用微積分和微分方程等數(shù)學(xué)工具來進(jìn)行研究。然而，在實際經(jīng)濟(jì)活動中，不可能對經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行

32、連續(xù)觀察，各種經(jīng)濟(jì)變量的觀察值只能是該經(jīng)濟(jì)變量在一定時期（周、月、年）的取值。也就是說，大多數(shù)實際可觀察的經(jīng)濟(jì)變量都可以認(rèn)為是離散變量。因此，對一個實際經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行實證研究時，經(jīng)常用差分近似微分，用差分方程代替微分方程來建立該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。此時，變量的下標(biāo)表示時間，帶下標(biāo)的變量表示這些變量在時刻的取值。對于一般的差分方程，求其通解非常困難，沒有一般方法。下面幾節(jié)僅介紹在經(jīng)濟(jì)和管理科學(xué)研究中最常見的幾類差分方程。常系數(shù)線性齊次差分方程的解階常系數(shù)系數(shù)線性齊次差分方程的一般形式如下：本節(jié)首先介紹此類差分方程解的基本性質(zhì)，然后，根據(jù)這些性質(zhì)，給出求此類差分方程通解的方法，最后，用例題說明這些方

33、法。定理 設(shè)是方程的解，是任意常數(shù)，則也是它的解。證明：由條件知，有將代入方程，有 與常系數(shù)線性齊次微分方程類似，由此可以立即得到常系數(shù)線性齊次差分方程通解結(jié)構(gòu)：定理 設(shè)是的個線性無關(guān)的解，則它的通解可以表示為其中，是任意常數(shù)。從本定理可以看到，求階常系數(shù)線性齊次差分方程通解的關(guān)鍵是求它的個獨(dú)立特解。下面先看一個一階常系數(shù)線性齊次差分方程求解的例子，從中可以得到求一般階常系數(shù)線性齊次差分方程特解的啟發(fā)。例： 求下列一階常系數(shù)線性齊次差分方程滿足初始條件的特解。解：將方程變形為由于，于是，從這些式子可以看出的一些變化規(guī)律，進(jìn)而猜測該方程可能有下列型式的解：現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法來證明這個時間序列確實是

34、該方程所求的特解。當(dāng)時，如上所述，滿足該方程。設(shè)在時，滿足該方程。則當(dāng)時，有并且，滿足初始條件。所以，是該方程所求的特解。本例題的求解過程給出了求解一般差分方程的一個方法。即先將差分方程變型為這種形式的差分方程也稱為遞推公式。依次計算前幾個的值。根據(jù)這前幾個的取值規(guī)律，猜測差分方程解的形式。最后，用數(shù)學(xué)歸納法去證明猜測的正確性。該例題的結(jié)果實際上也給出了所求差分方程的通解。事實上，在初始條件中，若將其認(rèn)為是任意常數(shù)，而不是指定常數(shù)，則解中含有一個任意常數(shù)。故而它是通解。另外，用本例題中的方法不難得到，一般的一階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解是其滿足初始條件的特解是受本例題的啟發(fā)，可以得到求階常系

35、數(shù)線性齊次差分方程特解的方法：即假設(shè)方程有形如的特解。然后,將上式代入差分方程，利用待定系數(shù)法確定常數(shù)，即可求出其解?，F(xiàn)在，將時間序列代入原差分方程，有因為不恒等于0。于是，是原方程解當(dāng)且僅當(dāng)是下列方程的根：因此，求階常系數(shù)線性齊次差分方程通解的關(guān)鍵是設(shè)法根據(jù)上述代數(shù)方程的根，去構(gòu)造它的個獨(dú)立的解。在具體討論階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解之前，為了敘述方便，先引入下列與微分方程類似的定義：定義 稱上述代數(shù)方程是階常系數(shù)線性齊次差分方程的特征方程。它的根稱為階常系數(shù)線性齊次差分方程的特征根。階常系數(shù)線性齊次差分方程的特征方程是次代數(shù)方程，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個根。下面不加證明的給出如何根據(jù)這些根的不同

36、情況，來構(gòu)造階常系數(shù)線性齊次差分方程的個獨(dú)立特解。1) 設(shè)是階常系數(shù)線性齊次差分方程的單特征根。則該差分方程有一個特解是2) 設(shè)是階常系數(shù)線性齊次差分方程的重實特征根。容易驗證， 是該差分方程的個獨(dú)立的特解；3) 設(shè)是特征方程的單復(fù)特征根。此時，的共軛復(fù)數(shù)也是特征方程的單復(fù)特征根。當(dāng)然，和是階常系數(shù)線性齊次差分方程獨(dú)立的特解。然而，它們包含有復(fù)數(shù)。為此，可以利用歐拉公式，求出只含實數(shù)的解。令 ， 則根據(jù)歐拉公式，復(fù)特征根和可以改寫為指數(shù)式， 于是，階常系數(shù)線性齊次差分方程的解和可以改寫為令根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，也是其解，且它們不含復(fù)數(shù)；4) 設(shè)是特征方程的重復(fù)特征根。同樣，的共軛復(fù)數(shù)是特征方程的重

37、復(fù)特征根。容易驗證， 是階常系數(shù)線性齊次差分方程不含復(fù)數(shù)的個獨(dú)立特解。最后，不難看出，互異特征根對應(yīng)的特解一定是獨(dú)立的。這樣，可以得到求階常系數(shù)線性齊次差分方程通解的方法：1) 求階常系數(shù)線性齊次差分方程的特征根；2) 針對它的每個互異特征根，依照這些根是單實根、重實根、單復(fù)根和重復(fù)根，按上述討論，構(gòu)造對應(yīng)的特解，共可構(gòu)造個獨(dú)立的解；3) 構(gòu)造這些特解的任意線性組合，得到階常系數(shù)線性齊次差分方程的通解：其中，是任意常數(shù)。例 求差分方程的通解。解：該差分方程的特征方程是因此，特征根是該差分方程對應(yīng)于的解是對于和，注意到，于是，該差分方程對應(yīng)于和的解是， 這樣，該差分方程的通解是例 求差分方程的通

38、解。解：該差分方程的特征方程是特征根是是三重根。因此，該差分方程的通解是非齊次方程解的結(jié)構(gòu)下列形式的差分方程稱為階常系數(shù)線性非齊次差分方程：其中，是已知的時間序列。稱階常系數(shù)線性齊次差分方程是非齊次差分方程對應(yīng)的齊次差分方程。通常，對應(yīng)齊次差分方程的特征方程和特征根也稱為非齊次差分方程的特征方程和特征根。下面討論非齊次差分方程與對應(yīng)齊次差分方程的解之間的關(guān)系，從中可以得到求非齊次差分方程通解的方法。定理 設(shè)是非齊次差分方程的解，是對應(yīng)齊次差分方程的解。則是非齊次差分方程的解。證明：根據(jù)條件，有將代入非齊次差分方程，有 定理 設(shè)，是非齊次差分方程的解，則是對應(yīng)齊次差分方程的解。證明：根據(jù)條件，有

39、將代入對應(yīng)齊次差分方程，有 根據(jù)上述兩個定理，讀者可以自己證明：定理 設(shè)是非齊次差分方程的一個特解，是對應(yīng)差分齊次方程的解。則是非齊次差分方程的通解。定理常稱為常系數(shù)線性非齊次差分方程解的結(jié)構(gòu)定理。根據(jù)上述定理，常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解由它的一個特解加上對應(yīng)齊次方程的通解組成。因此，解常系數(shù)線性非齊次差分方程的通解通常分兩部分。一部分是求對應(yīng)齊次差分方程的通解；另一部分是求它自己的一個特解。上節(jié)已介紹了常系數(shù)線性齊次差分方程通解的解法。非齊次差分方程特解的求法與常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解的求法類似。2.6 微分方程的穩(wěn)定性理論簡介微分方程一般都是反映了實際系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，它的每個（特

40、）解都反映了實際系統(tǒng)的一種運(yùn)動軌跡。然而，沒有求解微分方程的一般方法。因此，我們退而求次，希望直接利用，來研究其解的某些性質(zhì)。我們通常最關(guān)心下列三個問題：1、 微分方程是否有平衡解，即是否存在常數(shù)向量，使是該微分方程的解；2、 設(shè)是的一個特解，當(dāng)初始條件發(fā)生了微小變化時，是否也只發(fā)生微小的變化。此即微分方程穩(wěn)定性問題；3、 當(dāng)時，的性狀？是否所有的解是否都趨于平衡解？如果不趨于平衡解，是否能趨于周期解？這三個問題構(gòu)成了所謂的微分方程的定性理論。平衡解問題很容易解決。事實上，若，則。因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，是該方程的平衡解。 下面介紹微分方程穩(wěn)定性理論初步。主要是介紹穩(wěn)定性定義與判據(jù)。定義：設(shè)微分方程

41、有初始條件為的特解。若對任意的，存在，使得對所有其初始條件滿足不等式的解及對所有的，有，則稱是穩(wěn)定的。若是穩(wěn)定的，且有則稱是漸進(jìn)穩(wěn)定的。令，并帶入原方程，則新方程顯然有平凡解。因此原方程的特解的穩(wěn)定性等價于新方程在平衡解的穩(wěn)定性。顯然，穩(wěn)定解是平衡解，但是，平衡解不一定是穩(wěn)定解。定義：設(shè)函數(shù)滿足下列條件：i. ，有（）ii.則稱是正定（負(fù)定）函數(shù)。對于正（負(fù)）定函數(shù)，若，使得，則稱是半正（負(fù)）定。上面定義的函數(shù)類也稱為李雅普諾夫函數(shù)。定義：設(shè)有函數(shù)，若存在正定函數(shù)，使得對任意的，有（），則稱是正（負(fù)）定的。類似的，可以定義半正（負(fù)）定函數(shù)。定義：設(shè)是正定函數(shù)，若存在正定函數(shù)，使得，則稱是無窮小上界正定函數(shù)。微分方程穩(wěn)定性基本判據(jù)（李雅普諾夫第一定理）設(shè)有微分方程，且f連續(xù)，則該方程的平凡解是穩(wěn)定的必要充分條件是存在正（負(fù)）定函數(shù)，使得下列表達(dá)式是負(fù)（正）定的。漸進(jìn)穩(wěn)定性基本判據(jù)（李雅普諾夫第二定理）若存在無窮小上界