復(fù)變函數(shù)積分

1、第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分基本要求：基本要求：1、掌握積分概念和性質(zhì)。、掌握積分概念和性質(zhì)。 2、理解柯西定理（閉路積分）。、理解柯西定理（閉路積分）。 3、熟練應(yīng)用柯西積分公式解題。、熟練應(yīng)用柯西積分公式解題。重點：重點：柯西定理、柯西公式柯西定理、柯西公式。 2一、積分的定義一、積分的定義1.有向曲線有向曲線: 設(shè)設(shè)C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲曲線線, , 若選定若選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向的兩個可能方向中的一個作為正方向( (或正向或正向), ), 則稱則稱C為為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到

2、B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負向, , . C記為記為簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義:當(dāng)曲線上的點當(dāng)曲線上的點P順此方向前進時順此方向前進時, , 鄰近鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方點的左方. . xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負方向與之相反的方向就是曲線的負方向. .1 復(fù)變函數(shù)積分的概念復(fù)變函數(shù)積分的概念32.積分的定義積分的定義:011 ( ) , , , , kknwf zDCDABCnAzzzzzB設(shè)定義在區(qū)域內(nèi)為內(nèi)由到 的一條光滑有向曲線 把曲線任意分成 個弧段 分點為在每個弧段oxyA

3、B1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1,(1,2, ) ,kkkzzkn上任意取一點作和式1111 () ()(), nnnkkkkkkkkkkSfzzfzzzz其中.1max.kk ns 1 , kkkszz 記的長度( 0 n當(dāng)無限增加且時: , , ( ) , knCSf zC如果不論對的分法及的取法如何有唯一極限 那么稱這極限值為函數(shù)沿曲線的積分 記為1( )lim()nkkCnkf z dzfzD4關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明: .d)( , )1( CzzfC記為記為那么沿此閉曲線的積分那么沿此閉曲線的積分是閉曲線是閉曲線如果如果 . ),( )( , )2(定積分的定義定

4、積分的定義實變函數(shù)實變函數(shù)這個積分定義就是一元這個積分定義就是一元而而軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間是是如果如果xuzfbxaxC 5二、積分存在的條件及其計算法二、積分存在的條件及其計算法(1) ( )CCCf z dzudxvdyivdxudy通過兩個二元線積分求：(2) ( ), ( )( )( )CCzz ttf z dzf z tz t dt 若曲線 可表示為參數(shù)方程：1. 存在條件：存在條件：( )dCf zz若若f(z)為連續(xù)函數(shù)且為連續(xù)函數(shù)且C是光滑曲線，是光滑曲線， 則積分則積分 一定存在。（證明一定存在。（證明略）略）2. 積分計算：積分計算：1212(3) ( )( )( )( )

5、nnCCCCCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz為分段光滑曲線：6( ) ddd f zuivzxi y，代入分式，可得( )Cf z dz.CCudxvdyivdxudyCudxivdxiudyvdy()()Cuiv dxidy計算方法計算方法1的推導(dǎo)：的推導(dǎo)：( )d ( ) ( )Cf zzf z t d z t ( ) ( ).f z t z t dt計算方法計算方法2的推導(dǎo)：的推導(dǎo)：( )( )( ), zz tx ti y t7( )( ) x t y t 如果和是( )()( )xx t atb yy t ( )( )( ). ()zz tx tiy tat

6、b 連續(xù)曲線連續(xù)曲線 兩個連續(xù)的實函數(shù)，則方程組代表一平面曲線，稱為連續(xù)曲線。平面曲線的復(fù)數(shù)表示:曲線的數(shù)學(xué)表達曲線的數(shù)學(xué)表達 34 i復(fù)平面上從原點到點的直線段:( )3 ,01,( )4 ,x ttty tt ( )( )( )(34 )z tx tiy ti t00( )cos,( )sin.x txty tyt過定點00(,)M xy，傾斜角為 的直線參數(shù)方程為： 8222()()xaybr其參數(shù)方程為cos02sinxarttybrt 復(fù)平面上以z0為圓心，半徑為r的圓：00( )cos2( )sinxxryyr 00 ( )( )( )+izxiyzre以(a,b)為圓心，半徑為r

7、的圓：9例例1 3 , 01ztt 3dzdt13099. 2Czdztdt 2 :(0,0)( 3,0)(3,4) C直線段C3: 的方程為3 ,01,0,xtty (0,0)( 3,0) 34 , 01 zitt 4dzidt1114000(34 )41216128 Czdzitidtidttdti3,01,4 ,xtyt (3,0)( 3,4)2349-724: 12822CCCizdzzdzzdzi故解：解： 1 :(0,0)(3,4) C計算 其中積分路徑C分別為如下兩種：直線段 ，和折線段d ,Cz z寫成復(fù)數(shù)形式有：直線段C4: 的方程為寫成復(fù)數(shù)形式有：10例例1 續(xù)續(xù) 直線段直

8、線段 方程為方程為3 , 01,4 ,xttyt 1 , (34 ) , Czi t在在上上d(34 )d , zit120(34 )Czdzi tdt120(34 ) itdt2(34 )72422ii 1 :(0,0)( 3,4) C這兩個積分都與路線這兩個積分都與路線C 無關(guān)無關(guān)（格林定理）（格林定理） 34 ,: Ci所以不論是怎樣從原點連接到點的曲線都有2(34 )d2Ciz zdddd CCx xy yiy xx y ()() CCzdzxiy dxidy因為111(1) 0 011(2) 0 01011CzdzCiCC計算：從原點到點（）：（ ， ） （， ）直線段；：（ ， ）

9、 （， ） （， ）xyoi 11iy=x例例2 12例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圓圓周周為為其其中中計計算算積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie 20d)sin(cos4 ii. 0 13例例4 解解. , , ,d)(1 010為為整整數(shù)數(shù)徑徑的的正正向向圓圓周周為為半半為為中中心心為為以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri14zxyor0z , 0 時時當(dāng)

10、當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當(dāng)當(dāng) n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所所以以 . 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān)：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān). . Cnzzzd)(110,d20 inneri15例例5 解解2 Re( )d , : (1) 1 ; (2) 1 ; (3) 1 1 .CzzCiyxixi 計算其中為從原點到點的直線段拋物線上從原點到點的弧段從原點沿軸到點再到的折線(1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為( )(01),

11、z ttitt Re( ),d(1)d ,ztzit于是101Re( )d(1)d(1);2Czztitixyoi 11iy=x(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為2( )(01),z ttitt Re( ),d(12 )d ,ztztit于是10Re( )d(12 )dCzztitt1230212;2323titi2xy 16xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為( )(01),z ttt 1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為( )1(01),z titt Re( ),ztd

12、zdt于是 Re( )1,zdzidt于是1100Re( )dd1 dCzzt ti t1.2i17三、積分的性質(zhì)三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dzk為常數(shù)(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設(shè)曲線的長度為函數(shù)在上滿足那么估值不等式估值不等式18性質(zhì)性質(zhì)(4)的證明的證明 , 1兩兩點點之之間間的

13、的距距離離與與是是因因為為 kkkzzz , 度度為這兩點之間弧段的長為這兩點之間弧段的長ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 兩端取極限得兩端取極限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因為為 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所所以以證畢證畢19例例6解解. d1 , 43 絕對值的一個上界絕對值的一個上界試求積分試求積分的直線段的直線段為從原點到點為從原點到點設(shè)設(shè) CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為根據(jù)估值不等式知根據(jù)估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC

14、)14(311 , 上上因因為為在在22)14()3(1 tt21=25 t-4 25+9 255,3 Czizd1 從從而而 Csd35325 5 202 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理f (z)不滿足不滿足C-RC-R方程方程, , 在復(fù)平面內(nèi)處在復(fù)平面內(nèi)處處不解析處不解析. .此時積分與路線有關(guān)此時積分與路線有關(guān). . 2(34 )( )2Cizdzf zz處處解析1211CCCzdzzdzzdzi 01d20.czizz002z zrdzizz由以上討論可知由以上討論可知, 積分是否與路線無關(guān)積分是否與路線無關(guān), 或沿閉曲線的積分值或沿閉曲線的積分值為為0的條件，可能決定于被積函數(shù)的

15、解析性及區(qū)域的連通性的條件，可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.上一小節(jié)幾個例子：上一小節(jié)幾個例子：例例1 1 此時積分與路線無關(guān)此時積分與路線無關(guān). . 例例2 2 例例4 4 f (z)在以在以z0為中心的圓周內(nèi)不是處處為中心的圓周內(nèi)不是處處解析的，此時解析的，此時 雖然在除雖然在除z0外的圓內(nèi)處處解外的圓內(nèi)處處解析，但此區(qū)域已不是單連通域析，但此區(qū)域已不是單連通域21積分積分 定積分定積分 二重積分三重積分二重積分三重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分積分域積分域 區(qū)間區(qū)間 平面區(qū)域平面區(qū)域 空間區(qū)域空間區(qū)域 曲線曲線 曲面曲面曲線積分曲線積分第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）第

16、一型曲線積分（對弧長的曲線積分）第二型曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）第二型曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）高數(shù)知識回顧：曲線積分高數(shù)知識回顧：曲線積分在高等數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了下列積分：在高等數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了下列積分：22二重積分二重積分yxzO),(yxfz ),(ii ),(iif i niiiiniifVV11),( DyxfV d),( Dyxyxfdd),(23第一型曲線積分第一型曲線積分iPi 如果如果 L 是閉曲線是閉曲線 , 則記為則記為( ,)dLf x ys設(shè)設(shè) L 是空間可求長曲線段是空間可求長曲線段, f ( x, y ) 為定義在為定義在 L上的函數(shù)，則可定義上的函數(shù)，則可定義

17、 f ( x, y ) 在空間曲線在空間曲線L 上的第一型曲線積分，并記作上的第一型曲線積分，并記作( ,)dLf x ys24第二型曲線積分第二型曲線積分 變力沿曲線作功變力沿曲線作功:設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用),(, ),(),(yxQyxPyxF 沿曲線沿曲線 L 從點從點 A 移動到點移動到點 B ，則力，則力 F ( x, y ) 所作的所作的功由如下曲線積分給出：功由如下曲線積分給出：dy),(d),(yxQxyxPL 或或dy),(d),(yxQxyxPAB 也記為也記為 LLyyxQxyxPd),(d),(或或 ABAByyxQxyxPd),(d),(簡記為

18、簡記為dydQxPL P、Q是連續(xù)函數(shù)25格林格林 (Green)(Green)公式公式定理定理, ),(yxP),(yxQddd dDLQPP xQ yx yxy( 格林公式格林公式 )若函數(shù)若函數(shù)在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上具有連續(xù)一階偏上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有：導(dǎo)數(shù)，則有：其中其中 L 為區(qū)域為區(qū)域 D 的邊界曲線，并取正方向的邊界曲線，并取正方向.CE)(1y )(2y AB)(1x )(2x ab26曲線積分與路線的無關(guān)性定理曲線積分與路線的無關(guān)性定理),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(iii) 沿沿D 中任意按段光滑閉曲線中任意按段光滑閉曲線

19、L , 有有0.LPdxQd y(ii) 對對D 中任一按段光滑曲線中任一按段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(i) 在在 D 內(nèi)內(nèi) 處處成立處處成立PQyxLPdxQdy與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與只與 L 的起點及終點有關(guān)的起點及終點有關(guān). 設(shè)設(shè)D 是單連通域，函數(shù)是單連通域，函數(shù)則以下三個條件等價則以下三個條件等價:27( )B( )Bf zuivfz設(shè)在單連通域 內(nèi)處處解析且在 內(nèi)連續(xù)( )=, ,Bxxyyxyxyfzuivviuu v uuvv由于所以在內(nèi)連續(xù)C-R = =-xyxyuvvu并且滿足方程 ( )dcccf zzudxvdyivdxudy()()0 xyxyDDvud

20、iuvd根據(jù)格林公式：根據(jù)格林公式：28B柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理（柯西積分定理）（柯西積分定理） ( ) , ( ) : ( )d0.cf zBf zBCf zz 如果函數(shù)在內(nèi)處處解析那么函數(shù)沿內(nèi)的任何一條封閉曲線的積分為零單連通域C定理中的定理中的 C 可以不是簡可以不是簡單曲線單曲線.29關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf , 上解析上解析即在閉區(qū)域即在閉區(qū)域CBB , 上上解解析析內(nèi)內(nèi)與與CB ( )d0.cf zz 那么(2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 B 的邊界的邊界, )( 在在函

21、函數(shù)數(shù)zf那那末末上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)域域 , CBB , 內(nèi)解析內(nèi)解析B定理仍成立定理仍成立.例例 , 1 321 內(nèi)內(nèi)解解析析在在函函數(shù)數(shù) zz根據(jù)柯西古薩定理根據(jù)柯西古薩定理, 有有 1. 0d321zzz30( )f z多連通區(qū)域問題：在解析時如何？內(nèi)內(nèi)一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線。是是DC(1),( )0CCDCf z dz 內(nèi)部全屬于相當(dāng)于 內(nèi)部為單連通域；111;( )0CCCCCCDf z dz 在 內(nèi)部做使以為邊界的區(qū)域全屬于3 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理(2),( )0CCDCf z dz 內(nèi)部不全屬于相當(dāng)于 內(nèi)部為多連通域；一般31 ),( 1正向為逆時針方向正向為逆時

22、針方向單閉曲線單閉曲線內(nèi)的任意兩條簡內(nèi)的任意兩條簡為為及及DCC. 11DDCC全全含含于于為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作兩兩段段不不相相交交的的弧弧段段設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域在多連通域D內(nèi)解析內(nèi)解析32DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 顯然曲線顯然曲線 BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符為為了了討討論論方方便便 . 均均為為封封閉閉曲曲線線 , D因為它們的內(nèi)部全含于因為它們的內(nèi)部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB

23、 ,BFABBBFAAABFABFAA 33 AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即1( )d( ).d CCf zzf zz或解析函數(shù)沿閉曲線的積分解析函數(shù)沿閉曲線的積分, , 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值連續(xù)變形而改變它的值. . 閉路變形原理閉路變形原理說明說明: : 在變形過程中曲線不經(jīng)過函在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)數(shù) f(z) 的不解析的點的不解析的點. .( )dAAf z z( )dAAf z z( )dB

24、 Bf z z( )dBBf z z34例例1 121 d .23zzz計算積分221.51 2311 21.511 , 0.521.5zzzrdzzdzzdzrzizxyo|z| 20z r閉路變形原理：閉路變形原理：35DC1C1DAA BB EE FF 1 , : CC如果我們把這兩條簡單閉曲線及看成一條的正方向為復(fù)合閉路 , 按逆時針進行按逆時針進行外面的閉曲線外面的閉曲線 C , 1按順時針進行按順時針進行內(nèi)部的閉曲線內(nèi)部的閉曲線C , , :即沿的正向進行時的內(nèi)部總在的左手邊 那么( )0.f z dz36復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理1212 , , , , , , , , , . (

25、 ) , :nnCDCCCCC CCCDf zD設(shè)為 多連通域內(nèi)的一條簡單閉曲線是在內(nèi)部的簡單閉曲線 它們互不包含也互不相交 并且以為邊界的區(qū)域全含于如果在內(nèi)解析那么DC1C2C3C(2)( )0.f z dz1212 , , , , (: , , , , ).nnC CCCCCCC這里為由組成的復(fù)合閉路其方向是按逆時針進行按順時針進行1(1) ( )d( )d , ; knCkCkf zzf zzCC其中及均取正方向37例例2 2解解 . 1 ,d12 2曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的任任何何正正向向簡簡單單閉閉為為包包含含圓圓周周計計算算積積分分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和內(nèi)內(nèi)有

26、有兩兩個個奇奇點點在在復(fù)復(fù)平平面面因因為為函函數(shù)數(shù)依題意知依題意知, xyo 1 也也包包含含這這兩兩個個奇奇點點， 38, 21CC 和和不相交的正向圓周不相交的正向圓周內(nèi)作兩個互不包含也互內(nèi)作兩個互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只只包包含含奇奇點點 , 1 2 zC 只包含奇點只包含奇點1C2C根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 39例例3 3 . 1 2 ,d 所所組組成成向向圓圓周周和和負負為為正正向向圓圓周周計計算算積積分分 zzzz

27、ezxyo121C2C解解 , 21圍成一個圓環(huán)域圍成一個圓環(huán)域和和CC, 上上處處處處解解析析在在此此圓圓環(huán)環(huán)域域和和其其邊邊界界函函數(shù)數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理根據(jù)閉路復(fù)合定理,. 0d zzez40例例4 411 d , , .()nzanza求為含的任一簡單閉路為整數(shù)解解1 , , : , aza因為在曲線內(nèi)部 故可取很小的正數(shù)使含在內(nèi)部 a 1 111 ,()nza在以為邊界的復(fù)連通域內(nèi)處處解析由復(fù)合閉路定理有由復(fù)合閉路定理有11111()()nndzdzzaza 02 ,izae令可得12211001ddd()()iinnin

28、nieiezzae12,01 0,0.()nindznza故 此結(jié)論非常重要此結(jié)論非常重要, 用起來很用起來很方便方便, 因為因為 不必是圓不必是圓, a也不也不必是圓的圓心必是圓的圓心, 只要只要a在簡單在簡單閉曲線閉曲線 內(nèi)即可內(nèi)即可.41例例5 5. , ,d)(121 00為為自自然然數(shù)數(shù)閉閉曲曲線線的的任任意意正正向向為為含含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此此處處不不妨妨設(shè)設(shè) . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin則則有有42定理一定理一 ( ) , ( )d . Cf zBf zzC如果函數(shù)在單連

29、通域內(nèi)處處解析那么積分與連結(jié)起點及終點的路線無關(guān)由定理一可知由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關(guān)和終點有關(guān), (如下頁圖如下頁圖)4 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分43BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點為終點為如果起點為如果起點為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令內(nèi)變動內(nèi)變動在在讓讓如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 內(nèi)的一個單值函數(shù)內(nèi)的一個單值函數(shù)便可確定便可確定440 ( ) , ( )( ) , ( )( ). zzf zB

30、F zfdBF zf z如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析那么函數(shù)必為內(nèi)的一個解析函數(shù) 并且定理二定理二 此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似定理完全類似.其證明也完全類似。其證明也完全類似。45原函數(shù)原函數(shù): ( ) ( ), ( )( ), ( ) ( ) .zBf zzf zzf zB如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為即那么稱為在區(qū)域內(nèi)的原函數(shù)0 ( )( )d ( ).zzF zff z顯然是的一個原函數(shù)原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系: : . )(一個常數(shù)一個常數(shù)的任何兩個原函數(shù)相差的任何兩個原函數(shù)相差zf證證 ( ) ( ) ( ) ,G zH

31、 zf z設(shè)和是的任何兩個原函數(shù)( )( )( )( )G zH zG zH z那么 ( )( )0f zf z ( )( ).G zH zc于是()c為任意常數(shù) 證畢證畢 ( ) ( ),B( )(). f zBF zF zc c如果在區(qū)域內(nèi)有一個原函數(shù)那么它在 內(nèi)就有無窮多個原函數(shù)： 為任意常數(shù)推論：推論：46不定積分的定義不定積分的定義: ( ) ( ),() ( ) , f zF zc cf z稱的原函數(shù)的一般表達式為任意常數(shù) 為的不定積分 記作定理三定理三 ( ) , ( ) ( ) , f zBG zf z如果函數(shù)在單連通域內(nèi)處處解析為的一個原函數(shù) 那么( (類似于牛頓類似于牛頓-

32、 -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )101001( )d( )() , .zzf zzG zG zzzB為內(nèi)的兩點( )d( ).f zzF zc說明說明: : 有了以上定理有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.47例例1 1解解 . d 10的的值值求求 zzzz , 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因為因為 z ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 48例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02d

33、cos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微積分學(xué)中的使用了微積分學(xué)中的“湊微分湊微分”法法)49例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin解解izzz0cossin . 11 e此方法使用了微積分中此方法使用了微積分中“分部積分法分部積分法”50例例4 4. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的的值值求求內(nèi)內(nèi)的的圓圓弧弧試試沿沿區(qū)區(qū)域域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)函數(shù) zz ,2)1(ln 2 z

34、它它的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 51一、問題的提出一、問題的提出00000( ), . ( ), ( ). . Cf zBzBf zBzzzf zdzCBzzz設(shè) 為一單連通域為 中一點 若在 內(nèi)解析 則在不解析 所以一般不為零( 為 內(nèi)圍繞 的閉曲線)根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變, 5 柯西積分公式柯西積分公式 000, ,( ), ( ), Czzzf zCf zz積分曲線 取作以 為中心 半徑為很小的 的正向圓周由于連續(xù) 在

35、 上的值隨 的縮小逐漸接近于它在 處的值000()( )d d .CCf zf zzzzzzz00000()1: d()d2().CCf zzf zzif zzzzz而52二、柯西積分公式二、柯西積分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點內(nèi)任一點為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡單內(nèi)的任何一條正向簡單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)D 0zC- 柯西積分公式柯西積分公式00( )2( )Cf zdzif zzz或者：或者：53D 0zCK , 0時時當(dāng)當(dāng) zz0( )()

36、 . f zf z, :)( , 00的的內(nèi)內(nèi)部部全全在在的的正正向向圓圓周周半半徑徑為為為為中中心心設(shè)設(shè)以以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0則則 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000證明：（不作要求，僅供參考）證明：（不作要求，僅供參考） , )( 0連連續(xù)續(xù)在在因因為為zzf, 0 則則, 0)( 5400( )()dKf zf zszzd2 .KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 足夠小足夠小, 左端積分的模就左端積分的模就可以任意小可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 左

37、端積分的值與左端積分的值與 R 無關(guān)無關(guān), 所以只有在對所有的所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能積分值為零時才有可能.證畢證畢00( )()dKf zf zzzz0( ) dCf zzzz所以:0000( )()2()d2()Kf zf zif zzzzif z55關(guān)于柯西積分公式的說明關(guān)于柯西積分公式的說明: :(1) 把函數(shù)在把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示值表示. (2) 一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值的平均值.0 ,iCzzR e如果是圓周則20001()()d2if zf zR e

38、56例例1 1解解41sin d2zzziz求積分 , sin)( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因為因為zzf , 4 0內(nèi)內(nèi)位位于于 zz00041sindsin02zzzzziz由柯西積分公式可得由柯西積分公式可得57412d .13zzzz441213zzdzdzzz2122ii 6 i例例2 2412 d .13zzzz求積分解解2)( 1)(zfzf58例例3 3 2.d1 zzzze計算積分計算積分解解 , )( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因為因為zezf , 2 1內(nèi)內(nèi)位位于于 zz由柯西積分公式由柯西積分公式122d1 zzzzeizze.2ie 59定理定理. , )( )

39、, 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的內(nèi)內(nèi)部部全全含含于于線線任任何何一一條條正正向向簡簡單單閉閉曲曲的的內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的解解析析區(qū)區(qū)域域為為在在函函數(shù)數(shù)其其中中導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為階階它它的的的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù)解解析析函函數(shù)數(shù) 6 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式的作用高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), , 而在于通過求導(dǎo)來求積分而在于通過求導(dǎo)來求積分. .60例例1 1解解5cos, d , : 1. (1)CzzCzz計算積分其中為正向圓周 , 1 )1(cos )1(5

40、處處不不解解析析內(nèi)內(nèi)在在函函數(shù)數(shù) zCzz , cos 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根根據(jù)據(jù)公公式式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i 6122 , (1)zeCziz 函數(shù)在內(nèi)的處不解析1C2Cxyo iCi , 1CiC為中心作一個正向圓周為中心作一個正向圓周內(nèi)以內(nèi)以在在 , 2Ci為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周以以 , , )1( 2122圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析在在由由則則函函數(shù)數(shù)CCCzez 22d , : 1. (1)zCezCzrz計算積分 其中為正向圓周例例2

41、2解解621C2Cxyo iCi 根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze122()d () zCezizziizzizei 2)()!12(2,2)1( iei222 d(1)zCezz ,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i63例例3 33421 d .(1)zzzz求積分解解3 z +1 , 函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)解析 , 2 10內(nèi)內(nèi)在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz13

42、1! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根根據(jù)據(jù)公公式式64 , cos 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析函數(shù)函數(shù)zez , 1 00內(nèi)內(nèi)在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例4 421cos d .zzezzz求積分解解65一、調(diào)和函數(shù)的定義一、調(diào)和函數(shù)的定義. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域為區(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實變函數(shù)如果二元實變函數(shù)D

43、yxyxDyx 7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 66二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1. 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系定理：任何在區(qū)域定理：任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù), ,它的實部和它的實部和虛部都是虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證：證： ,)( 內(nèi)內(nèi)的的一一個個解解析析函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)Divuzfw , .uvuvxyyx 222222 , .uvuvxy xyx y 根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定理, , 數(shù)數(shù)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)與與vu22: ,vvy xx y 即即有有2222 0,uuxy所所以以, 0

44、 2222 yvxv同同理理 . 都都是是調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)與與因因此此vu證畢證畢67. , , ,的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為兩個調(diào)和函數(shù)中兩個調(diào)和函數(shù)中的的內(nèi)滿足方程內(nèi)滿足方程在在換句話說換句話說uvxvyuyvxuD 2. 共軛調(diào)和函數(shù)的定義共軛調(diào)和函數(shù)的定義. ),( ),( , ),( 的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在們們把把使使我我內(nèi)內(nèi)給給定定的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)yxuyxvDivuDyxu 區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)和函數(shù). .683. 偏積分法偏

45、積分法 如果已知一個調(diào)和函數(shù)如果已知一個調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而從而構(gòu)成一個解析函數(shù)構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱為這種方法稱為偏積分法偏積分法.解解例例1 . ),( , 3),( 23數(shù)數(shù)和由它們構(gòu)成的解析函和由它們構(gòu)成的解析函其共軛調(diào)和函數(shù)其共軛調(diào)和函數(shù)并求并求為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)證明證明yxvyxyyxu 6,uxyx 22 6 ,uyx 2233,uyxy226 ,uyy2222 0,uuxy于于是是故u(x, y)為調(diào)和函數(shù)。69,6 xyxuyv 因為因為 yxyvd6),(3

46、2xgxy ),(32xgyxv yuxv 又又因因為為,3322xy 2223( )33,yg xyx 由由上上二二式式可可得得: : xxxgd3)( 2故故,3cx ,3),(23cxyxyxv ) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c得一個解析函數(shù)得一個解析函數(shù)).3(32323cxyxiyxyw 這個函數(shù)可以化為這個函數(shù)可以化為).()(3czizfw 練習(xí)：練習(xí)：. , 236),( 3223并求其共軛調(diào)和函數(shù)并求其共軛調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)為為證明證明yxyyxxyxu 答案答案.263),(3322cxyxyyxyxv 70例例2 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fi

47、vuzfyxyxyyeyxvx使使求求一一解解析析函函數(shù)數(shù)和和函函數(shù)數(shù)為為調(diào)調(diào)已已知知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxeux 71 , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于于是是,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函數(shù)為所求解析函數(shù)為.)1()(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(724. 不定積分法不定積分法. , ),( ),( 不定積分法不定積分法求解析函數(shù)的