小學(xué)奧數(shù)-數(shù)論講義-2-拆填數(shù)講義-適合一年級(jí)到四年級(jí)-1

1、拆填數(shù)專題目標(biāo)：1.數(shù)陣圖的三種解法：找突破口，重疊與方程思想。其中前兩種方法是特例，隨意練練，方程思想解數(shù)陣圖是核心。2.豎式拆填法：找突破口與方程思想。3.橫式拆填發(fā)：A類學(xué)生：在B類基礎(chǔ)上，掌握方程思想的解答過程，這類思想解答過程中包括了把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，結(jié)合條件討論式子成立和數(shù)字成立的可能性，對(duì)學(xué)生探索問題，解決問題能力有很大提升。B類學(xué)生：掌握找突破口的方法即可，明確點(diǎn)任何問題，都有其特殊有規(guī)律地方，這個(gè)特殊有規(guī)律地方可能就是思考的突破口。同時(shí)掌握觀察和分類討論的邏輯順序：大小順序，前后順序，不同相同等順序。選突破口的原則：那個(gè)產(chǎn)生的分類討論最少，就選哪個(gè)，哪個(gè)相對(duì)穩(wěn)定就選哪個(gè)。

2、拆填數(shù)本身可能是一個(gè)磨練大腦的坑，題目沒意義，除了練腦子外，似乎找不到價(jià)值。其實(shí)不然，練習(xí)數(shù)陣圖和數(shù)字拆填，尤其是其中的找特殊位置、方程思想和分類討論，是對(duì)分析問題的鍛煉。這個(gè)難度幾乎與大學(xué)接軌，觸摸到數(shù)學(xué)的核心。一、 數(shù)陣圖前身【適合一年級(jí)】數(shù)學(xué)解題的思想，發(fā)現(xiàn)問題，也就是在一群內(nèi)容中，發(fā)現(xiàn)與眾不同的地方，這個(gè)地方就是解決問題的突破口。數(shù)陣圖表現(xiàn)得最為明顯。例 如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加都得34。小結(jié)：如右圖所示。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個(gè)圈中的數(shù)相加都是10。小結(jié)：例 如右圖，把3、4、6、7四個(gè)數(shù)填在四個(gè)空格里，使橫行、

3、豎行三個(gè)數(shù)相加都得14。怎樣填？二、 數(shù)陣模型一【適合二年級(jí)】特點(diǎn)：有重疊。解法：因?yàn)橹丿B，所以解答的關(guān)鍵在重疊。例 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)填入五個(gè)圓圈里，要求分別滿足以下條件：（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。解答提示：獨(dú)立+聯(lián)合，聯(lián)合點(diǎn)是關(guān)鍵，聯(lián)合點(diǎn)共有小結(jié)：例 （圈再多點(diǎn)）如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個(gè)數(shù)填在右圖中的七個(gè)圓圈里，每個(gè)數(shù)只能用一次，使每條線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于12。解答提示：無論圈多少，關(guān)鍵在于公共位置，不在于圈的數(shù)量。小結(jié)：例 （公共的圈多點(diǎn)

4、）如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之和都等于9。解答提示：公共的多了，多了怎么辦，就跟一筐蘋果，3個(gè)人分一樣，大家根據(jù)實(shí)際情況來分，有時(shí)候平分，有時(shí)候看功勞來分，有時(shí)候看實(shí)際需求來分，怎么分誰說的定呢。所以，圈多了，沒關(guān)系，分分就好小結(jié)：例 （環(huán)環(huán)相扣）把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓上四個(gè)小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？ 解答提示：一圈多次（3）重合，重合=一樣，多次一樣=平分 小結(jié)：例 （環(huán)環(huán)相扣，不扣一起）見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個(gè)數(shù)分別填入圓圈里，使每個(gè)正方形的

5、四個(gè)數(shù)相加之和都等于24。 解答提示：只要重合，思路不變、小結(jié)：例 見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個(gè)圓圈中的數(shù)相加之和都等于12。小結(jié)：三、 數(shù)陣進(jìn)階【適合二年級(jí)】解決這類問題3種方法，一類是根據(jù)題目有選擇性的找突破口；第二類是重疊法，針對(duì)超過3個(gè)重疊，方法無效；第三類是用方程的思想分類討論，解決問題。例 重新按圖 910進(jìn)行排列，使每邊三張卡片上的數(shù)的和等于：13，15.例 圖是由八個(gè)小圓圈組成的，每個(gè)小圓圈都有直線與相鄰的小圓圈相接連.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6、7、8八個(gè)數(shù)字分別填在八個(gè)小圓圈內(nèi)，但相鄰的兩個(gè)數(shù)不能填入有直線相連的兩個(gè)小圓圈（例如

6、，你在最上頭的一個(gè)小圓圈中填了5，那么4和6就不能填在第二層三個(gè)小圓圈中了）.例 在圖915，916中，只能用圖中已有的三個(gè)數(shù)填滿其余的空格，并要求每個(gè)數(shù)字必須使用3次，而且每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都必須相等.例 圖921是由四個(gè)三角形組成的，每個(gè)三角形上都有三個(gè)小圓圈.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)填在九個(gè)小圓圈中，讓每個(gè)三角形上的三個(gè)數(shù)之和都是15.圖922是由四個(gè)扁而長的圓圈組成的，在交點(diǎn)處有8個(gè)小圓圈.請(qǐng)你把1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)分別填在8個(gè)小圓圈中.要求每個(gè)扁長圓圈上的四個(gè)數(shù)字的和都等于18.四.封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復(fù)合型數(shù)陣圖居

7、然是解方程！【適合四年】例 （封閉型數(shù)陣圖）將18這八個(gè)自然數(shù)分別填入下圖中的八個(gè)內(nèi)，使四邊形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于14，且數(shù)字1出現(xiàn)在四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)上.應(yīng)如何填？解答提示：跟數(shù)的拆分一樣，設(shè)定未知數(shù)，用未知數(shù)列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個(gè)空，再拓展。解答小結(jié)：用方程思想，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，解決數(shù)學(xué)式子解決問題。核心：對(duì)數(shù)字討論。例 （輻射型數(shù)陣圖）請(qǐng)你把17這七個(gè)自然數(shù)，分別填在下圖（1）的圓圈內(nèi)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)的和都相等.應(yīng)怎樣填？解答提示：跟數(shù)的拆分一樣，設(shè)定未知數(shù)，用未知數(shù)列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個(gè)空，再拓展。只是討論選擇

8、的點(diǎn)不同。解答小結(jié)：例 （復(fù)合型數(shù)陣圖）如下圖（1）所示，在每個(gè)小圓圈內(nèi)填上一個(gè)數(shù)，使得每一條直線上的三個(gè)數(shù)的和都等于大圓圈上三個(gè)數(shù)的和.解答提示：跟數(shù)的拆分一樣，設(shè)定未知數(shù)，用未知數(shù)列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個(gè)空，再拓展。只是討論選擇的點(diǎn)不同。解答小結(jié)：例 （復(fù)合型數(shù)陣圖）將116分別填入下圖（1）中圓圈內(nèi)，要求每個(gè)扇形上四個(gè)數(shù)之和及中間正方形的四個(gè)數(shù)之和都為34，圖中已填好八個(gè)數(shù)，請(qǐng)將其余的數(shù)填完.解答提示：跟數(shù)的拆分一樣，設(shè)定未知數(shù)，用未知數(shù)列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個(gè)空，再拓展。只是討論選擇的點(diǎn)不同。解答小結(jié)：五、 有趣的數(shù)陣圖（練）【適

9、合四年級(jí)】解決這類問題3種方法，一類是根據(jù)題目有選擇性的找突破口；第二類是重疊法，針對(duì)超過3個(gè)重疊，方法無效；第三類是用方程的思想分類討論，解決問題。本章節(jié)內(nèi)容：以練習(xí)鞏固為主。例 下面圖形包括六個(gè)加法算式，要在圓圈里填上不同的自然數(shù)，使六個(gè)算式都成立，那么最右邊圓圈中的數(shù)最少是幾？例 在下圖中的各題中，將從1開始的連續(xù)自然數(shù)填入各題的圓圈中，要使每邊上的數(shù)字之和都相等，中心處各有幾種填法？（每小題請(qǐng)給出一個(gè)解）例 在下左圖的七個(gè)圓圈內(nèi)各填上一個(gè)數(shù)，要求每條線上的三個(gè)數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已填好兩個(gè)數(shù)，求x是多少？例 將17這七個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的7個(gè)小圓圈中，使三個(gè)大圓圓

10、周上及內(nèi)部的四個(gè)數(shù)之和都等于定數(shù)S，并指出這個(gè)定數(shù)S的取值范圍，最小是多少，最大是多少？并對(duì)S最小值填出數(shù)陣.例 把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入右圖的八個(gè)圓圈中，使圈中用箭頭連接起來的每條路上的四個(gè)數(shù)之和都相等.例 在一個(gè)立方體各個(gè)頂點(diǎn)上分別填入19這九個(gè)數(shù)中的八個(gè)數(shù)，使得每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)所填數(shù)字之和彼此相等，并且這個(gè)和數(shù)不能被那個(gè)沒有被標(biāo)上的數(shù)字整除. 試求：沒有被標(biāo)上的數(shù)字是多少？并給出一種填數(shù)的方法.例 將18這八個(gè)數(shù)標(biāo)在立方體的八個(gè)頂點(diǎn)上，使得每個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字之和都相等.例 在下左圖中，將19這九個(gè)數(shù)，填人圓圈內(nèi)，使每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和都相等.例 在有大小六個(gè)正方形的方框下左

11、圖中的圓圈內(nèi)，填入19這九個(gè)自然數(shù)，使每一個(gè)正方形角上四個(gè)數(shù)字之和相等.例 將19這九個(gè)數(shù)字分別填入右圖中的九個(gè)圓圈中，使各條邊上的四個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和相等.例 在右圖的空白的區(qū)域內(nèi)分別填上1、2、4、6四個(gè)數(shù)，使每個(gè)圓中的四個(gè)數(shù)的和都是15.例 將16六個(gè)自然數(shù)字分別填入下圖的圓圈內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于定數(shù)S，指出這個(gè)定數(shù)S的取值范圍.并對(duì)S=11時(shí)給出一種填法.例 將110這十個(gè)自然數(shù)分別填入下左圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使五邊形每條邊上的三數(shù)之和都相等，并使值盡可能大.例 將18填入上右圖中圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓周上的五個(gè)數(shù)之和為21.七、 幻方【適合四年級(jí)】解決這類問題3種方法，一類是

12、根據(jù)題目有選擇性的找突破口；第二類是重疊法，針對(duì)超過3個(gè)重疊，方法無效；第三類是用方程的思想分類討論，解決問題例 將19這九個(gè)數(shù)，填入下左圖中的方格中，使每行、每列、兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和都相等.例 在右圖中的A、B、C、D處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使右圖成為一個(gè)三階幻方.例 將右圖中的數(shù)重新排列，使得橫行、豎行、對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等.例 將1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字，分別填入33陣列中的九個(gè)方格，使第二行組成的三位數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的2倍，第三行組成的三位數(shù)是第一行組成的三位數(shù)的3倍.八、加減法拆組【適合一年級(jí)】剛接觸加減法拆分，主要還是以觀察數(shù)的特征為主，從特殊點(diǎn)位置來

13、解答問題。例 給你1、2、3、4、16、17、18、19這八個(gè)數(shù)，要求：把它們分成四組，使每組的兩個(gè)數(shù)相加之和相等。再用這八個(gè)數(shù)組成如下的兩個(gè)算式。+-=+-=解答提示：對(duì)這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！不斷嘗試，嘗試的順序無非就是：大小順序，加減順序等等。解題小結(jié)：例 在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個(gè)“+”號(hào)，使它們的和等于100，試試看。1 2 3 4 5 6 7=100解答提示：對(duì)這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！不斷嘗試，嘗試的順序無非就是：大小順序，加減順序等等。解題小結(jié)：例 用1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)字組成五個(gè)數(shù)，使組成的兩個(gè)兩

14、位數(shù)與三個(gè)一位數(shù)相加之和正好等于100，你能夠辦得到嗎？解答提示：初級(jí)的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級(jí)顯然沒學(xué)，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數(shù)。解答小結(jié)：人設(shè)計(jì)出來的，一定有漏洞，越特殊的地方，越是漏洞的地方。九、豎式加減法【適合三年級(jí)】建議：在解答豎式加減法問題時(shí)，以觀察特點(diǎn)為主，解方程為輔，但是解方程的思路建議在此處就給學(xué)生講講，為后面的難度豎式加減準(zhǔn)備。例 （基本問題）在下面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.解答提示：初級(jí)的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級(jí)顯然沒學(xué)，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特

15、殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數(shù)。練 在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。解答提示：初級(jí)的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級(jí)顯然沒學(xué)，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數(shù)。例 （有條件拆填）用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)字組成下面的加法算式，每個(gè)數(shù)字只許用一次，現(xiàn)已寫出三個(gè)數(shù)字，請(qǐng)把這個(gè)算式補(bǔ)齊.解答提示：初級(jí)的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級(jí)顯然沒學(xué)，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數(shù)。有條件的豎式加減，需要在判定的時(shí)候，對(duì)附件條件判斷討論。例 （減

16、法問題）在下面算式的空格內(nèi)填上合適的數(shù)字，使算式成立。練 在下面的加法算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.例 （加減混合）在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.十、乘除法拆填數(shù)【適合三年級(jí)】解法同加減法拆填數(shù)，略例 （乘法）在右面算式的方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立例 （除法）在右面算式的方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使算式成立十一、數(shù)字迷的拆填數(shù)（有條件的拆填數(shù)）解答乘法有條件的拆填數(shù)問題兩種思想方法：一是觀察發(fā)現(xiàn)特征，二是方程思想。兩類思想代表的思路和境界不同，對(duì)于A類學(xué)生兩類都必須掌握，B類學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)特征即可。B類學(xué)生解答此類問題，會(huì)比較困難。除法的拆填數(shù)：目前來看，發(fā)現(xiàn)特征是最簡單的，方程思想相對(duì)復(fù)雜些，逆向方程解答也是可以的。右面算式中每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字.當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)算式成立？例 例 例 例 例 練：十二、填橫式【適合四年級(jí)】找突破口：大小順序，前后順序，難以順序，特殊一般順序等，原則：那個(gè)分類討論情況最少選哪個(gè)。方程思想：也不是所有題都容易解。例 將19這九個(gè)數(shù)字分別填入下面算式的九個(gè)中，使每個(gè)算式都成立.解答提示：乘法是突破口，原因加減太多要思考，乘法