數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-反常積分若干計(jì)算方法

1、本科畢業(yè)論文 學(xué)號(hào): 反常積分的若干計(jì)算方法學(xué)院名稱(chēng): 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專(zhuān)業(yè)名稱(chēng): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)班別: 2009級(jí)應(yīng)數(shù)二班 姓 名: 指導(dǎo)教師: 2013年5月河南師范大學(xué)本科畢業(yè)論文反常積分的若干計(jì)算方法摘 要 反常積分的應(yīng)用非常廣泛,反常積分包括兩類(lèi):無(wú)窮積分和瑕積分.反常積分的定義是計(jì)算反常積分的基礎(chǔ),定積分的計(jì)算方法一般也可以用到反常積分的計(jì)算中:如換元積分法,分部積分法.文中還介紹了反常積分的其他計(jì)算方法:應(yīng)用復(fù)變函數(shù)中留數(shù)定理的方法可以較簡(jiǎn)便地計(jì)算一些類(lèi)型的廣義積分;還可以用二重積分理論,Lagrange中值定理,Euler公式,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,正態(tài)分布函數(shù)和函數(shù)以及概率

2、論方面的知識(shí)來(lái)計(jì)算某些特定類(lèi)型和相對(duì)復(fù)雜的反常積分. 反常積分的類(lèi)型復(fù)雜多樣,求解方法也靈活多變,在計(jì)算反常積分時(shí),合理的利用上述一種或幾種方法,問(wèn)題也就迎刃而解,并且解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.關(guān)鍵詞 反常積分;計(jì)算方法;換元積分法;分部積分法.Several calculation methods of improper integralAbstract Improper integral has extensive applications. This paper presents the concept of the improper integral. Improper integral in

3、cludes two kinds: infinite integral and flaw points. The definition of improper integral is a foundation of calculating improper integral. The calculation methods of the definite integral general can also be used to improper integral calculation: such as integration by substitution, integration by p

4、arts. By using residue theory , we can work out some kinds of generalized integral easily. This paper also introduces the other calculation methods: double integral theory, the symmetry, etc. If we can use these methods, the calculation of improper integral can be answered and these methods make ans

5、wer process simple.Keywords improper integral; calculation method; integration by substitution; integration by parts. 前 言反常積分是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要概念,實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)遇到反常積分的計(jì)算題. 大家都比較熟悉定積分的計(jì)算方法:換元法,分部積分法等.反常積分的應(yīng)用也較廣泛,因此有必要研究反常積分的計(jì)算方法.其實(shí)定積分的計(jì)算方法一般也可用到反常積分計(jì)算中:如換元積分法,分部積分法.當(dāng)然反常積分還有很多計(jì)算方法:如留數(shù)定理,二重積分理論, 函數(shù)等.合理地使用這些方法,反常積分的計(jì)

6、算也就迎刃而解了,并且解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.近年來(lái),國(guó)內(nèi)許多專(zhuān)家對(duì)反常積分的計(jì)算方面進(jìn)行了研究.朱水源2010年在無(wú)窮積分的斂散性的判別和計(jì)算1一文中分析了無(wú)窮積分的斂散性,并給出了無(wú)窮積分的計(jì)算方法. 趙士銀2012年在用分部積分法計(jì)算反常積分2一文中研究了用分部積分法計(jì)算反常積分的相關(guān)問(wèn)題. 王碧桂2011年在用參數(shù)展開(kāi)法計(jì)算一類(lèi)反常積分3一文中從參數(shù)展開(kāi)出發(fā),給出了用參數(shù)展開(kāi)計(jì)算一類(lèi)反常積分的方法. 孫正杰2010年一類(lèi)反常積分的另解及推廣4一文中給出了用歐拉公式計(jì)算一類(lèi)反常積分的方法. 楊繼明2008在一類(lèi)反常積分的計(jì)算問(wèn)題5一文中針對(duì)反常積分中比較復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題,結(jié)合復(fù)變函數(shù)的相關(guān)知識(shí),

7、提出來(lái)一種用留數(shù)定理計(jì)算反常積分的方法.該算法有效地解決了一類(lèi)復(fù)雜反常積分計(jì)算問(wèn)題.本文給出的計(jì)算方法并沒(méi)有超出課程教學(xué)大綱,只是從不同知識(shí)點(diǎn)、不同角度去理解問(wèn)題, 通過(guò)分析研究,結(jié)合所學(xué)內(nèi)容,巧妙地解決了問(wèn)題.有的方法采用函數(shù)論中的函數(shù)6的性質(zhì),有的方法利用了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)7,有的方法利用了數(shù)學(xué)分析中不同章節(jié)的內(nèi)容.1 反常積分的定義和性質(zhì)1.1 無(wú)窮積分的定義和性質(zhì)定義 1 設(shè)函數(shù)定義在無(wú)窮區(qū)間上,且在任何有限區(qū)間上可積.如果存在極限 = （1-1）則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分）,記作 （1-2）并稱(chēng)收斂.如果極限(1-1)不存在,為方便起見(jiàn),

8、亦稱(chēng)發(fā)散.定理1.1 無(wú)窮積分收斂的充要條件是:任給便有.性質(zhì) 1 若都收斂,為任意常數(shù),則也收斂,且 . （1-3）性質(zhì)2 若在任何有限區(qū)間上可積,則同斂散,且有 . （1-4）性質(zhì) 3 若在任何有限區(qū)間上可積,且有收斂,則亦必收斂,并有 . （1-5）1.2 瑕積分的定義與性質(zhì)定義 2 設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上,在點(diǎn)的任一右領(lǐng)域內(nèi)無(wú)界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限 , （1-6）則稱(chēng)此極限為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分,記作 , （1-7）并稱(chēng)反常積分收斂.如果極限（1-6）不存在,這時(shí)也說(shuō)反常積分發(fā)散.在定義2中,被積函數(shù)在點(diǎn)近旁是無(wú)界的,這時(shí)點(diǎn)稱(chēng)為的瑕點(diǎn),而無(wú)界函數(shù)反常積分又稱(chēng)為瑕積

9、分.定理1.2 瑕積分收斂的充要條件是:任給便有.性質(zhì) 4 若都收斂, 為任意常數(shù),則也收斂,且 . （1-8）性質(zhì) 5 如果a與b均為f(x)的瑕點(diǎn),對(duì)積分 如存在, 使均收斂,則稱(chēng)收斂, 且 . （1-9）與無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分一樣,讀者可以證明,瑕積分的收斂性及值與c的取法無(wú)關(guān)性質(zhì) 6 若收斂,則亦必收斂,并有 . （1-10）2 反常積分的計(jì)算方法2.1 利用定義計(jì)算反常積分對(duì)反常積分,若對(duì)任意的存在,稱(chēng)反常積分收斂且稱(chēng)上述極限值為反常積分的值,即.故可看出,反常積分由定義計(jì)算可分兩步:第一步求定積分:;第二步取極限:.例1 計(jì)算反常積分.分析 用反常積分的定義來(lái)解題,分兩步來(lái)計(jì)算:解

10、 第一步:; 第二步:.所以=.計(jì)算較簡(jiǎn)單的反常積分時(shí),先考慮用反常積分的定義求解.2.2 利用換元積分法計(jì)算反常積分由于反常積分是通過(guò)變限定積分的極限來(lái)定義的,有關(guān)定積分的換元法也可引用到反常積分中,換元積分法是定積分計(jì)算的最基本方法之一,在反常積分中也是如此. 下面通過(guò)具體的例題介紹.例2 計(jì)算瑕積分的值.分析 分母是 ,如果分子也出現(xiàn) ,就能用 計(jì)算, 那就需要先把變?yōu)?,再進(jìn)行計(jì)算.解 .注意 本題用的是第一換元積分法+（為常數(shù)）. 關(guān)鍵在于把被積表達(dá)式湊成的形式,以便選取,化為易于積分的,最后把新引入的變量還原為起始變量.2.3 利用分部積分法計(jì)算反常積分分部積分法與換元積分法一樣,

11、也是計(jì)算反常積分最基本的方法.分部積分公式:.用這種方法計(jì)算反常積分關(guān)鍵要合理選擇,才能簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算.例3 計(jì)算（是非負(fù)整數(shù)）.解 分為 和 兩種情況討論.時(shí),;時(shí),用分部積分法計(jì)算.,.例4 計(jì)算.分析 本題用分部積分法做很簡(jiǎn)單.解法一 .注意 ,當(dāng)然這個(gè)題還可用換元積分法.結(jié)合上題結(jié)論做.解法二 令,則,（利用例2.3的結(jié)論）.注意 本題可用分部和換元積分法兩種方法計(jì)算,第一種簡(jiǎn)便,做題過(guò)程中用一種方法做完后要想想還有無(wú)其他方法,還要比較哪種簡(jiǎn)便,這樣就可以事半功倍.2.4 利用留數(shù)定理計(jì)算反常積分用數(shù)學(xué)分析中計(jì)算反常積分的方法計(jì)算一些反常積分如 ,是麻煩的,而且沒(méi)有統(tǒng)一處理的方法,但是

12、利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算,往往就比較簡(jiǎn)單.定義 3 設(shè)函數(shù)以有限點(diǎn)為孤立奇點(diǎn),即在點(diǎn)的某去心鄰域 內(nèi)解析,則稱(chēng)積分 為在點(diǎn)的留數(shù),記為.定理 2.1 在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi),除 外解析,在閉域上除外連續(xù),則（“大范圍”積分）. （2-1）應(yīng)用留數(shù)基本定理計(jì)算某些類(lèi)型實(shí)函數(shù)的積分,大致思想是:為了求實(shí)函數(shù)在實(shí)數(shù)軸上或?qū)崝?shù)軸上的某一段上的積分,我們?cè)谧鴺?biāo)平面上適當(dāng)添加某一曲線使其與構(gòu)成一簡(jiǎn)單閉曲線.其內(nèi)部為,選取適當(dāng)函數(shù),然后在 上對(duì)應(yīng)用留數(shù)定理,這樣就把實(shí)軸上的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算在內(nèi)奇點(diǎn)的留數(shù)與那部分添加曲線上的積分,將問(wèn)題大大簡(jiǎn)化了.下面通過(guò)舉例來(lái)介紹如何用留數(shù)定理計(jì)算某些類(lèi)型的反常積分值.例5

13、計(jì)算型積分.解 設(shè)有理分式,其中與為互質(zhì)多項(xiàng)式,且符合條件:（1）;（2）在實(shí)軸上,則有 . （2-2）注意 （1）有理分式中分母比分子的次數(shù)至少高兩次,（2）在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn),（3）為在上半平面內(nèi)的極點(diǎn).例6 計(jì)算反常積分.分析 被積函數(shù)是偶函數(shù),已有=,符合定理2.1的條件,可運(yùn)用定理2.1計(jì)算.解 有四個(gè)一階極點(diǎn):,在上半平面內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn):,.,同理:,=.被積函數(shù)是偶函數(shù),故:=.例7 計(jì)算型積分.解 設(shè)其中及是互質(zhì)多項(xiàng)式,且符合條件:(1)的次數(shù)比的次數(shù)高,(2)在實(shí)軸上 ,(3),則有 , （2-3）特別是將（2-3）分開(kāi)實(shí)虛部,就可以得到形如及的積分.由數(shù)學(xué)分析的結(jié)論知可知,上面

14、兩個(gè)反常積分都存在,其值就等于柯西主值.注意 （1）分母比分子的次數(shù)至少高一次,(2)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn),（3）為在上半平面內(nèi)的極點(diǎn).例8 計(jì)算反常積分.分析 被積函數(shù)是偶函數(shù),滿(mǎn)足上述的條件.解 被積函數(shù)是偶函數(shù),故:,=.注意 掌握簡(jiǎn)單留數(shù)的求法,熟悉定理2.1的內(nèi)容,能簡(jiǎn)便地計(jì)算一些反常積分.2.5 利用二重積分理論計(jì)算反常積分利用二重積分計(jì)算反常積分時(shí),應(yīng)分兩步:第一步:把反常積分巧妙地化為一個(gè)二重積分;第二步:計(jì)算二重積分,從而計(jì)算出反常積分的值.例9 計(jì)算反常積分.分析 直接計(jì)算反常積分 很困難,先把它化為一個(gè)二重積分,再計(jì)算二重積分,從而計(jì)算出反常積分的的值.解 ,而:=,其中,故:

15、=.下面用換元法計(jì)算二重積分:,上式=,.注意 本題是典型的一道利用二重積分理論計(jì)算反常積分的題,先把反常積分巧妙地化為一個(gè)二重積分再利用換元法計(jì)算二重積分,從而計(jì)算出反常積分的的值.2.6 利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算反常積分定理 2.2 奇函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且對(duì)任意取定的實(shí)數(shù),反常積分 和 都收斂,則反常積分 .定理 2.3 偶函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),反常積分和 都收斂,則:. （2-4）例10 計(jì)算反常積分.分析 被積函數(shù)是個(gè)奇函數(shù),滿(mǎn)足定理2.2的條件,運(yùn)用定理2.2可以計(jì)算.解 為奇函數(shù),且滿(mǎn)足定理2.2的條件要求,.合理地使用這種方法,這類(lèi)反常積分的計(jì)算也就迎刃而解了,并且解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.2.

16、7 利用函數(shù)計(jì)算反常積分2.7.1 利用函數(shù)計(jì)算反常積分利用函數(shù)也是一種重要的計(jì)算反常積分的方法,先介紹 函數(shù):;.注意 利用公式計(jì)算,首先要熟悉公式,記憶公式,其次在解題中要掌握如何運(yùn)用公式.例11 計(jì)算反常積分.分析 被積函數(shù)是個(gè)偶函數(shù),但是 并不符合函數(shù)形式,那就需要變形,看能否化成函數(shù)的形式.解 被積函數(shù)是個(gè)偶函數(shù), =, 令 ,則:上式=,.注意 如果被積函數(shù)符合 函數(shù)形式,那就直接運(yùn)用公式;如果形式相近,但又不符合函數(shù)形式,那就需要變形,看變形后能否運(yùn)用 函數(shù),關(guān)鍵是變形.2.7.2 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)來(lái)計(jì)算反常積分標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為. 根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)又函數(shù)是實(shí)

17、數(shù)域上的偶函數(shù), 從而有再作變量替換,令 于是,進(jìn)而有:合理地使用這種方法,這類(lèi)反常積分的計(jì)算也就迎刃而解了,并且解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.2.8 利用重要極限來(lái)計(jì)算反常積分因?yàn)樗?從而,.令,得.其中.運(yùn)用分部積分法6, 得.于是根據(jù)遞推關(guān)系,.根據(jù)瓦里斯公式(Wallis公式, 1655年) 可知.進(jìn)而有=.合理地使用這種方法,這類(lèi)反常積分的計(jì)算也就迎刃而解了,并且解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.2.9 利用Lagrange中值定理來(lái)計(jì)算反常積分定理2.4 若滿(mǎn)足:(i) 在上連續(xù);(ii) 在內(nèi)可導(dǎo);(iii) 在內(nèi)恒不為0;(iv) ;則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.設(shè)函數(shù),易知, 當(dāng)時(shí), , 而的極限就是所求

18、. 并且當(dāng)時(shí),通過(guò)變量替換,有于是, . 根據(jù)定理2.4, 當(dāng)時(shí),.取,易得.即.在這個(gè)恒等式兩邊取極限, 便得到.再由的非負(fù)性并利用定積分的保號(hào)性質(zhì), 就能得到.合理地使用這種方法,這類(lèi)反常積分的計(jì)算也就迎刃而解了,并且解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.2.10 利用Euler公式計(jì)算反常積分引理 2.1 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有.引理 2.2 .結(jié)論 1 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),=0; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),=. 結(jié)論 2 .結(jié)論 3 當(dāng)時(shí),=0; 當(dāng)時(shí),=; 當(dāng)時(shí),=.2.11 利用概率論的知識(shí)計(jì)算反常積分定義 4 =.定理 2.4 .定理 2.5 .定理 2.6 .例12 計(jì)算的反常積分.解 因?yàn)?所以 . (2-5

19、)設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量,則它的概率密度為.所以 （2-5） 式可以寫(xiě)為: 9 . (2-6)設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量為的函數(shù),且,由定義4及定理2.4-2.6 得.因?yàn)樗?又由,得.所以(2-6)式變?yōu)? （2-7）即 . （2-8） 以上我們利用連續(xù)性隨機(jī)變量的正態(tài)分布特點(diǎn),將一內(nèi)反常積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算一個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)得到了這內(nèi)反常積分的計(jì)算公式（2-8）, 使得計(jì)算該類(lèi)積分的難題得以解決.2.12 利用Laplace變換求反常積分設(shè)當(dāng)時(shí)有定義而且積分（是一個(gè)復(fù)參量）在的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可以寫(xiě)為,稱(chēng)為的變換,記為,稱(chēng)為的象函數(shù),稱(chēng)為象原函數(shù).例13 計(jì)算的

20、積分.解 （1）當(dāng)時(shí), 其中. 由象函數(shù)的積分性質(zhì):,取即可.（2）為非負(fù)整數(shù)時(shí), 有.由象函數(shù)的微分性質(zhì):.由積分性質(zhì):.因是平面右半部的解析函數(shù), 具有任意階導(dǎo)數(shù), 故亦在右半面解析, 從而在右半面解析,依終值定理:.由于反常積分的計(jì)算方法靈活多樣,除了歸納總結(jié)出的下述12種方法外,還有很多計(jì)算反常積分的方法,需要進(jìn)一步去探索,歸納總結(jié). 因此在計(jì)算反常積分時(shí),首先要熟悉各種計(jì)算方法的原理及相應(yīng)知識(shí)點(diǎn).其次,要有良好的分析方法與解題習(xí)慣,學(xué)會(huì)分析思考,也要學(xué)會(huì)積累歸納總結(jié)某一類(lèi)型題的解法,從而提高解題能力和速度.結(jié)束語(yǔ)計(jì)算較簡(jiǎn)單的反常積分時(shí),先考慮用反常積分的定義求解;由于無(wú)窮積分是通過(guò)變

21、限定積分的極限來(lái)定義的,因此有關(guān)定積分的換元積分法和分部積分法一般都可引用到無(wú)窮積分中來(lái);應(yīng)用復(fù)變函數(shù)中留數(shù)定理的方法可以較簡(jiǎn)便地計(jì)算一些類(lèi)型的廣義積分;還可用二重積分理論,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,正態(tài)分布函數(shù)與函數(shù)計(jì)算反常積分,有時(shí)計(jì)算一個(gè)反常積分要同時(shí)用到幾種方法,我們要找到最佳方法.本文主要通過(guò)理論與舉例相結(jié)合的方式對(duì)反常積分的求解問(wèn)題進(jìn)行了研究. 反常積分的類(lèi)型復(fù)雜多樣,求解方法靈活多變,我們這里總結(jié)出來(lái)的求解的方法不一定全面所以,要想解決教學(xué)和科研上遇到的反常積分的求解問(wèn)題,必須不斷地進(jìn)行探索,因此本文僅起到拋磚引玉的作用. 隨著科學(xué)的發(fā)展,以及人們不竭的求知精神,后繼者必將探索出更多更好的解法.參考文獻(xiàn)1 朱水源.無(wú)窮積分的斂散性的判別和計(jì)算J.數(shù)學(xué)通報(bào),2010,6(7):12-16.2 趙士銀.用分部積分法計(jì)算反常積分J.長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào),2012,10(8):2-8.3 王碧桂.用參數(shù)展開(kāi)法計(jì)算一類(lèi)反常積分J.湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,2(5):2-8.4 孫正杰.一類(lèi)反常積分的另解及推廣J.浙江工商大學(xué)學(xué)報(bào),2010,5(7):8-13.5 楊繼明.一類(lèi)反常積分的計(jì)算問(wèn)題J.湖南工程學(xué)院