機(jī)械振動(dòng)與波動(dòng)

1、1小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎2同年同年7 7月在大風(fēng)中月在大風(fēng)中因產(chǎn)生共振而斷塌因產(chǎn)生共振而斷塌 我國(guó)四川綦江彩虹橋的斷裂：我國(guó)四川綦江彩虹橋的斷裂： 武警跑步（引起共振）武警跑步（引起共振）19401940年華盛頓的塔科曼年華盛頓的塔科曼大橋建成大橋建成 3我國(guó)古代對(duì)我國(guó)古代對(duì)“共振共振”的認(rèn)識(shí)：的認(rèn)識(shí)： 蜀人有銅盤，早、晚鳴如人扣，蜀人有銅盤，早、晚鳴如人扣，公元五世紀(jì)公元五世紀(jì)天中記天中記記載記載問(wèn)張華。問(wèn)張華。張華曰：此盤與宮中鐘張華曰：此盤與宮中鐘相諧相諧，故聲故聲相應(yīng)，相應(yīng)，可改變其薄厚?？筛淖兤浔『?。4振動(dòng)依機(jī)理不同區(qū)分為機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)，振動(dòng)依機(jī)

2、理不同區(qū)分為機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)，但描述和研究方法相同。但描述和研究方法相同。廣義而言：指任一物理量廣義而言：指任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) ) 在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。 狹義的振動(dòng)：狹義的振動(dòng)：指物體在其平衡位置附近的指物體在其平衡位置附近的 周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)形式。振動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)形式。本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：振動(dòng)方程振動(dòng)方程5振動(dòng)振動(dòng)類型類型共振共振( (簡(jiǎn)諧振動(dòng)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)） 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由無(wú)阻尼自由

3、諧振動(dòng)諧振動(dòng)66 6.1 .1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述O- A+AxmFkxkaxm 1.1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（Simple Harmonic Motion）：一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程質(zhì)點(diǎn)在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）作用下引起的質(zhì)點(diǎn)在彈性力（或準(zhǔn)彈性力）作用下引起的振動(dòng)振動(dòng)以彈簧振子為例以彈簧振子為例 2.2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程：簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程：7kaxm 簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程：簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程：簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程余弦形式簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程余弦形式O- A+Axm2km令：令：222ddxxt cos()xAtdsin()dxvAtt 222dcos()dxaAtt 此外：此外：82km因?yàn)?，所以?k

4、mcos()cos ()cos()AtAtTAtT2T2T，即 結(jié)合結(jié)合 來(lái)闡明簡(jiǎn)諧振動(dòng)各來(lái)闡明簡(jiǎn)諧振動(dòng)各特征量的物理意義特征量的物理意義cos()xAt 1. 振幅：振幅：A 2. 周期、頻率、角頻率周期、頻率、角頻率 T v 3. 相位、初相位、相位差相位、初相位、相位差 t22112121()()()()ttt由余弦函數(shù)的周期為由余弦函數(shù)的周期為2得得12T2vv ，而T2m/k1/2vk m二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量9cos( )xAtdsin( )dxAtt v222dcos( )dxaAtt 討論：討論：xA0Av0A00At0232A02a2A02A02A10比較兩

5、個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào)比較兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的步調(diào):212(0,1,2)kk 當(dāng)相位差當(dāng)相位差振動(dòng)同步振動(dòng)同步或振動(dòng)同相或振動(dòng)同相當(dāng)相位差為其它值時(shí)，當(dāng)相位差為其它值時(shí)，當(dāng)相位差當(dāng)相位差2121(0,1,2)kk （）振動(dòng)反步調(diào)振動(dòng)反步調(diào) 或振動(dòng)反相或振動(dòng)反相210說(shuō)明第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)相位說(shuō)明第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)相位xt（b） =(2k+1)OA2A1txOA1A2（a） =2k11簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述方法cos()xAt解析式解析式曲線法曲線法 xt旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法i()iettxAAe iAA e復(fù)振幅復(fù)振幅12解析式解析式cos(

6、)xAtdcos( )d2xAttv222dcos( )dxaAttv 比比 x 超前超前 ,()()22v xtt對(duì)應(yīng)的時(shí)間差對(duì)應(yīng)的時(shí)間差 ,24v xTt A 與與 x 反相反相 ,()()a xtt ,2a xTt 對(duì)應(yīng)的時(shí)間差對(duì)應(yīng)的時(shí)間差 13xot 0- = /2 A-A = 0omx0 = AxA(伸長(zhǎng)量伸長(zhǎng)量)om0 x0 AxAomx0 = 0 xAxt曲線曲線a,v,xotvax14km0t例：已知振動(dòng)系統(tǒng)的例：已知振動(dòng)系統(tǒng)的 和和 及初始條件（及初始條件（ 時(shí)時(shí)振子的坐標(biāo)振子的坐標(biāo) 和速度和速度 ），試確定該簡(jiǎn)諧振動(dòng)。），試確定該簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 0 x0v聯(lián)立可得聯(lián)立可得: :

7、將初始條件代入方程將初始條件代入方程: :解：由解：由振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)的 和和 ，可確定，可確定mkcos()xAtsin()vAt 即即0cosxA0sinvA 22002vAx00arctan()vx三、振幅和初相的確定三、振幅和初相的確定( (即方程的建立即方程的建立) )15 物體沿物體沿x軸作諧振動(dòng)，振幅為軸作諧振動(dòng)，振幅為20cm，周期為，周期為4秒，秒，t=0時(shí)物體的位移為時(shí)物體的位移為10cm，且向，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求軸正方向運(yùn)動(dòng)，求:（1）初相初相;（2）t=0.5秒時(shí)秒時(shí)，物體的坐標(biāo)、速度和加速度；（物體的坐標(biāo)、速度和加速度；（3）物體在平衡位置處物體在平衡位置處，且

8、向且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)的初相，并寫出運(yùn)動(dòng)方程。的初相，并寫出運(yùn)動(dòng)方程。例例 題題 1 1解解: : 由振動(dòng)方程由振動(dòng)方程cos()xAt（1）由題意）由題意120,422()42Acm TssT020cos10 xcm0010,0,xcm v由運(yùn)動(dòng)方程得t=0時(shí)，時(shí)，1cos216所以所以3 00,3v 因?yàn)橹荒苋∫虼宋矬w的運(yùn)動(dòng)方程為因此物體的運(yùn)動(dòng)方程為20cos()()23xtcm(2) t=0.5s時(shí)，物體的坐標(biāo)、速度和加速度分別為時(shí)，物體的坐標(biāo)、速度和加速度分別為20cos()2320cos(0.5)19.3()23xtcm20sin(-)22320

9、sin(0.5-)8.13(/ )223tcm s v222() cos( )22() cos(0.5)47.6/22aAtAcm s 17(3)當(dāng)物體在平衡位置處，且向當(dāng)物體在平衡位置處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)000,0,0.txv即當(dāng)時(shí)cos()xAt由0020cosx有所以所以322或00,2v因?yàn)橹荒苋∫虼宋矬w的運(yùn)動(dòng)方程為因此物體的運(yùn)動(dòng)方程為20cos()()22xtcm18 單擺是不可伸長(zhǎng)的輕繩單擺是不可伸長(zhǎng)的輕繩 (擺線擺線) 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l , 一端固定一端固定, 另一端懸掛一質(zhì)量為另一端懸掛一質(zhì)量為m的小球的小球 (擺球擺球) 所組成的系統(tǒng)所組成

10、的系統(tǒng), 如圖所示如圖所示. 當(dāng)擺線與豎直方向成當(dāng)擺線與豎直方向成 時(shí)時(shí), 忽略空忽略空氣阻力氣阻力, 求單擺振動(dòng)的周期求單擺振動(dòng)的周期.例例 題題 2 2解解:擺球受重力擺球受重力mgmg和張力和張力T,T,所受合力所受合力沿圓弧切線方向分力即重力在這一沿圓弧切線方向分力即重力在這一方向的分力為方向的分力為 , , 取逆時(shí)針取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)榻俏灰频恼较蚍较驗(yàn)榻俏灰频恼较? , 則此力應(yīng)則此力應(yīng)寫成寫成(5 )o角lTFPmoAsinmgsinfmg (5 ),sin,o在角位移 很小時(shí) 一般認(rèn)為所以fmg 1922dmlmgdt 由牛頓第二定律可得由牛頓第二定律可得220dgdtl或或gl

11、此方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程形式相同此方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程形式相同. 所以所以,在在角位移很小的情況下角位移很小的情況下, 單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).單單擺振動(dòng)的角頻率和周期分別為擺振動(dòng)的角頻率和周期分別為22gTl20AOBt=0P0 xCcos()xAt1.1.取水平取水平x軸軸, ,由原點(diǎn)由原點(diǎn)O引出引出長(zhǎng)度等于長(zhǎng)度等于 的的矢量矢量 AA 2.2.設(shè)想矢量設(shè)想矢量 以勻角速度以勻角速度 繞原點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則矢，則矢量的端點(diǎn)量的端點(diǎn)P在在x x軸上的投影點(diǎn)軸上的投影點(diǎn)N將在將在BC范圍內(nèi)來(lái)回運(yùn)動(dòng)。范圍內(nèi)來(lái)回運(yùn)動(dòng)。 A ；初始時(shí)刻，初始時(shí)刻， 與與x軸夾

12、角為軸夾角為 A3. 3. 時(shí)刻時(shí)刻 與與x軸的夾角變?yōu)檩S的夾角變?yōu)?，端點(diǎn)，端點(diǎn)P在在x軸上的軸上的投影投影為為()tAtNPtt+xN點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度sin()vAt 21OB xC0,0 xv0,0 xv0,0 xv0,0 xv根據(jù)初始條件利用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷初相位根據(jù)初始條件利用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷初相位P0OB xC0 xA22初始條件初始條件所在象限所在象限初相位初相位0000 xxxx，v0，v0，v0第一第一象限象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限(0 )2()2()2()2，0討論：討論：軸上：軸上：1xAA2（ ），v=0，a=-20 xA（ ），v=-，a=0 x

13、AA 2（3），v=0，a=0 xA（4），v=，a=002223例例1. 1. 質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，初位置在質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，初位置在(-A/2)(-A/2)處正朝處正朝- -x方向方向運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期2s，求：初相和回到平衡位置的最，求：初相和回到平衡位置的最短時(shí)間？短時(shí)間？解：解：用旋轉(zhuǎn)矢量法用旋轉(zhuǎn)矢量法？2/A定出初相定出初相23回到平衡位置，振幅回到平衡位置，振幅矢量至少再轉(zhuǎn)過(guò)矢量至少再轉(zhuǎn)過(guò)65 所需時(shí)間所需時(shí)間 ：s6522652 Tt矢量圖示法用于計(jì)算，其特點(diǎn)是：直觀、簡(jiǎn)便。矢量圖示法用于計(jì)算，其特點(diǎn)是：直觀、簡(jiǎn)便。o o24例例 題題 2 2 已知物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，試根據(jù)

14、圖線已知物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，試根據(jù)圖線寫出其振動(dòng)方程寫出其振動(dòng)方程. st mx04. 002. 0002. 004. 02方法一方法一:解解: 設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為cosxAt0.04Am由圖知由圖知000,02Atxv 又由圖知又由圖知2433所以或0sin0vA 23則得252 ,02Ats xv由圖知2cos(2)232sin(2)03AAvA 所以252333或222325233取2得20.04cos()23xt由此得振動(dòng)方程26方法二方法二(旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法):解解:yxaabbov0,tax 時(shí) 質(zhì)點(diǎn)位于 點(diǎn)向 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)初相的確定：初相的確定：,a則對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位

15、于 位置23所以初相位2,tsbx時(shí) 質(zhì)點(diǎn)位于 點(diǎn)向 軸正方向運(yùn)動(dòng)角頻率的確定：角頻率的確定：,則對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位于b 位置可見矢量旋轉(zhuǎn)2t得20.04cos()23xt由此得振動(dòng)方程27例例 題題 3 3已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，寫出其振動(dòng)方程已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖線，寫出其振動(dòng)方程.)(stx)(m1 . 01 . 0o135790.1 ,8Am Ts解解:由圖知由圖知1214sT設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為cosxAt由圖知由圖知t=1s時(shí)時(shí), x=A,1cos()4AA1cos()1410414 0.1cos()44xt本題不好用旋轉(zhuǎn)矢量法，因?yàn)槌跏嫉奈恢貌荒茏x出本題不好用旋轉(zhuǎn)矢量法，因?yàn)槌跏嫉奈恢貌?/p>

16、能讀出28293031323334cos(5/6)vt得0.2sin(5/6)xt沿著沿著x軸振動(dòng)。求軸振動(dòng)。求：（：（1）t=0時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小；（時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大??；（2）作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)的質(zhì)點(diǎn)的位置。作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)的質(zhì)點(diǎn)的位置。解解: :1 5sin2.56FmaNN x0.2m此時(shí) ，即質(zhì)點(diǎn)在位移最大處受到的力最大。0.2sin(5/6)()xtSI 質(zhì)量為質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)，按方程的質(zhì)點(diǎn)，按方程由振動(dòng)方程由振動(dòng)方程5sin(5/6)at （1）t=0時(shí)，時(shí)，sin(5)16t （2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，a最大最大maxmax5FmaN例例 題題 5

17、 535可以看出：簡(jiǎn)諧振動(dòng)總的能量是不變的，并且可以看出：簡(jiǎn)諧振動(dòng)總的能量是不變的，并且與振幅和頻率的平方成正比。與振幅和頻率的平方成正比。作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振子對(duì)應(yīng)的能量為作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振子對(duì)應(yīng)的能量為212PEkxsin()vAt 2221122kPEEEmAkAcos()xAt221cos ()2kAt22221cos ()2kmAtm212kEmv2221sin ()2mAt6 6.2 .2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量36討論討論:(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)總能量是一常量，根源在于振動(dòng)過(guò)程中簡(jiǎn)諧振動(dòng)總能量是一常量，根源在于振動(dòng)過(guò)程中只有保守力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒；只有保守力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒；(2)

18、振幅振幅A不僅給出了諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)范圍不僅給出了諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)范圍, 而且反映而且反映了振動(dòng)系統(tǒng)的能量大小了振動(dòng)系統(tǒng)的能量大小, 即反映了振動(dòng)的強(qiáng)度；即反映了振動(dòng)的強(qiáng)度；(3)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能大小時(shí)刻改變并且在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能大小時(shí)刻改變并且在振動(dòng)過(guò)程中相互轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是守恒的，且總振動(dòng)過(guò)程中相互轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是守恒的，且總能量與振幅能量與振幅(A)平方成正比（如圖）平方成正比（如圖）toEkEpEpkEEE37諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)勢(shì)能和動(dòng)能各自的平均值勢(shì)能和動(dòng)能各自的平均值20112TPEkx dtT222011sin ()2TmAtdtT22011cos

19、()2TkAtdtT214kA20112TkEmv dtT214kA諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢(shì)能和諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢(shì)能和平均動(dòng)能相等。平均動(dòng)能相等。質(zhì)量為質(zhì)量為0.1kg的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率 10Hz，38sin()vAt cos()xAt在在t=0時(shí)刻，位移時(shí)刻，位移 0.1m，速度，速度 =2ms-1-1。求：（。求：（1）位移表）位移表達(dá)式；（達(dá)式；（2）加速度表達(dá)式；（）加速度表達(dá)式；（3）振動(dòng)的總能量。）振動(dòng)的總能量。解解: :0.1cosA4A =0.141m， 0.141cos(20)( )4xtm22cos()558cos(20)()4aAttm

20、 s 2212EmA代數(shù)據(jù)得代數(shù)據(jù)得2210sinA 0 x0v(2)2210.1 (20 )(0.141)3.94(J)2例例 題題 1 139例例 題題 2 2 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧，系一質(zhì)量為的輕彈簧，系一質(zhì)量為 的物的物體在水平面上作振幅為體在水平面上作振幅為 A 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。有一質(zhì)量的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。有一質(zhì)量為為 的粘土，從高度為的粘土，從高度為 h 處自由下落，正好在處自由下落，正好在（a）物體通過(guò)平衡位置時(shí)（）物體通過(guò)平衡位置時(shí)（b）物體在最大位移）物體在最大位移時(shí)，落在物體之上分別求時(shí)，落在物體之上分別求1m(1)振動(dòng)周期有何變化振動(dòng)周期有何變化;2m(2)振幅有何變化

21、振幅有何變化2mhh1mAox1m40解解:(1):(1)振動(dòng)系統(tǒng)周期由彈簧振子的勁度系數(shù)和振子振動(dòng)系統(tǒng)周期由彈簧振子的勁度系數(shù)和振子質(zhì)量所決定，因此原振動(dòng)周期為質(zhì)量所決定，因此原振動(dòng)周期為當(dāng)粘土落在物體上時(shí)，系統(tǒng)的振子質(zhì)量為當(dāng)粘土落在物體上時(shí)，系統(tǒng)的振子質(zhì)量為 ，所以所以122mmTkk122mmTTk 12mm（2）當(dāng)粘土落到物體上時(shí)，物體和粘土的運(yùn)動(dòng)狀）當(dāng)粘土落到物體上時(shí)，物體和粘土的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可發(fā)生變化，可能引起振幅的變化態(tài)可發(fā)生變化，可能引起振幅的變化,物體和粘土為非彈性碰撞物體和粘土為非彈性碰撞在平衡位置處，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)物體在平衡位置處，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)物體 在平

22、衡位置時(shí)速度為在平衡位置時(shí)速度為 v 。則。則1m41112mvmmv則振動(dòng)系統(tǒng)的最大速度則振動(dòng)系統(tǒng)的最大速度112mvvmm 由此可計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)的振幅，有關(guān)系式由此可計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)的振幅，有關(guān)系式22121122kAmmv2112121()()2mmmvmm211121()2mmvmm2211122mvkA112mAAAmm420000 xAv若當(dāng)粘土落在物體上時(shí)，物體正好在最大位移處，若當(dāng)粘土落在物體上時(shí)，物體正好在最大位移處，由初始條件由初始條件即振幅不變！即振幅不變！2mhh1mAox1m43121122cos()cos()xxxAtAtcos()At221212212cos()AAAA

23、 A11221122sinsinarctancoscosAAAA同方向同頻率的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且頻率不變。同方向同頻率的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且頻率不變。一、同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成12x2x1x12xxxOA1A2AtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinAcoscossinsin AtAt2A44txOA1A2A（a） =2k22221212122AAAA AAA212(0,1,2)kk 當(dāng)相位差當(dāng)相位差振動(dòng)加強(qiáng)，同步振動(dòng)加強(qiáng)，同步即分振動(dòng)同相時(shí)，合振幅即分振動(dòng)同相時(shí)，合振幅討論：討

24、論：當(dāng)相位差為其它值時(shí)，當(dāng)相位差為其它值時(shí)，A2A1AOxt（b） =(2k+1)當(dāng)相位差當(dāng)相位差2121(0,1,2)kk （ ）22221212122AAAA AAA振動(dòng)減弱，反步振動(dòng)減弱，反步即分振動(dòng)反相時(shí)，合振幅即分振動(dòng)反相時(shí)，合振幅1212AAAAA合振幅介于最大值和最小值之間合振幅介于最大值和最小值之間45例例 題題 1 1 兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程分別為10.4cos(3) ,3xtm20.3cos(3)6xtm求（求（1）合振動(dòng)表達(dá)式）合振動(dòng)表達(dá)式3130.5cos(3),?xtxx(2)若另一簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng) 等于多少時(shí)的振幅最大解：本題可

25、用解析法和旋轉(zhuǎn)解：本題可用解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法求出矢量法求出方法一方法一:由圖示旋轉(zhuǎn)矢量圖由圖示旋轉(zhuǎn)矢量圖1A2AAo36x461A2AAo36x122212,20.5AAAAAmt=0時(shí)刻,知 和 的夾角為則合振幅為0.123初相位0.5cos(30.12 )xt方法二方法二:221212211112211222cossinsin()coscosAAAA AAAtgAA可由和算出4713,xx(2)要使的合振幅最大12k1223(0, 1, 2,)kkk 1A3Ao3x48例例 題題 2 2 設(shè)有設(shè)有 N 個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且振幅相個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且振幅相等，相位差依次恒

26、為等，相位差依次恒為 ，即兩個(gè)同方向、同頻，即兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程分別為率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程分別為0AA0AR2N1cosxt2cosxt3cos2xtcos(1) NxtN其合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，求它們的合振動(dòng)的振幅其合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，求它們的合振動(dòng)的振幅和初相。和初相。49解：由旋轉(zhuǎn)矢量法求合成結(jié)果，圖解：由旋轉(zhuǎn)矢量法求合成結(jié)果，圖示，用多邊形法則計(jì)算合矢量。示，用多邊形法則計(jì)算合矢量。由幾何關(guān)系得合矢量大小由幾何關(guān)系得合矢量大小2sin2NAR02sin2AR0sin2sin2NAA112COPCOMN 得合振動(dòng)的初相0sin12cossin2NNxAt合振動(dòng)的表達(dá)式為（）0AA0A

27、R2NCoPMQR11(),()22COPCOMN50二、同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成二、同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍1 1.兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成不再是兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)。xtOxtO51 2. 2.振幅初相相同、頻率非常接近的兩振動(dòng)合成振幅初相相同、頻率非常接近的兩振動(dòng)合成1212cos()cos()xxxAtAt21212coscos()22Att212可見，合振動(dòng)的角頻率為可見，合振動(dòng)的角頻率為 212cos2At振幅振幅 作緩慢的周期性變化作緩慢的周期性變化拍拍21拍頻拍頻: : tx1 2tx2 1 = 2 - 1 tx6.4.

28、1 6.4.1 機(jī)械波的形成與傳播機(jī)械波的形成與傳播6.4.2 6.4.2 平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式 波動(dòng)微分方程波動(dòng)微分方程6.4.3 6.4.3 波的能量與能流波的能量與能流6.4.4 6.4.4 聲波聲波6.4.5 6.4.5 惠更斯原理惠更斯原理6.4.6 6.4.6 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉6.4.7 6.4.7 駐波駐波 半波損失半波損失6.4.8 6.4.8 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)54波動(dòng)是自然界中一種重要且常見的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)波動(dòng)是自然界中一種重要且常見的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形式。形式。本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：波動(dòng)方程波動(dòng)方程, 波的能量波的能量, 波的干涉波的干涉, 多

29、普勒公式多普勒公式振動(dòng)的傳播過(guò)程稱為波動(dòng)，簡(jiǎn)稱波。振動(dòng)的傳播過(guò)程稱為波動(dòng)，簡(jiǎn)稱波。機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播.(.(繩波繩波, 水波水波, , 聲波聲波, , 地震波地震波) )電磁波：變化電場(chǎng)和變化磁場(chǎng)在空間電磁波：變化電場(chǎng)和變化磁場(chǎng)在空間的傳播的傳播.(.(無(wú)線電波無(wú)線電波, ,光波等光波等) )物質(zhì)波：微觀粒子及一切物體所具有物質(zhì)波：微觀粒子及一切物體所具有的波動(dòng)性的波動(dòng)性. .波的分類波的分類1.1.按振動(dòng)方向分按振動(dòng)方向分: : 橫波橫波( (凹凸波凹凸波) )質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直的傳播方向垂直( (如如: :光

30、波光波););縱波縱波( (疏密波疏密波) )質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行振動(dòng)方向和波的傳播方向平行( (如如: :聲波聲波););垂直和垂直和平行的組合波平行的組合波: : 水波水波, ,質(zhì)點(diǎn)的軌跡為橢圓質(zhì)點(diǎn)的軌跡為橢圓 , , 地震地震波波) )2.2.按波陣面的形狀分按波陣面的形狀分: :平面、球面、柱面、橢球面平面、球面、柱面、橢球面 太陽(yáng)光、白只燈、日光燈太陽(yáng)光、白只燈、日光燈3.3.按頻率分：次聲波、聲波、超聲波、光波按頻率分：次聲波、聲波、超聲波、光波4.4.按波形運(yùn)動(dòng)分：行波、駐波（即按能量傳播）按波形運(yùn)動(dòng)分：行波、駐波（即按能量傳播）5.5.按自由度：一維、二維、三

31、維（按能量傳播方向的自按自由度：一維、二維、三維（按能量傳播方向的自由度）由度）6.6.按振動(dòng)規(guī)律：簡(jiǎn)諧波（也叫余弦波）按振動(dòng)規(guī)律：簡(jiǎn)諧波（也叫余弦波）、非簡(jiǎn)諧波非簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波是最簡(jiǎn)單最重要的波，其他復(fù)雜的波是由簡(jiǎn)諧波是最簡(jiǎn)單最重要的波，其他復(fù)雜的波是由 簡(jiǎn)諧波合成的簡(jiǎn)諧波合成的一一. .機(jī)械波的形成機(jī)械波的形成波源波源和和彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)是產(chǎn)生機(jī)械波的兩個(gè)必是產(chǎn)生機(jī)械波的兩個(gè)必須具備的條件。須具備的條件。1.1.產(chǎn)生：產(chǎn)生：彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)振動(dòng)、波形、能量振動(dòng)、波形、能量機(jī)械波機(jī)械波橫波橫波縱波縱波振源的振動(dòng)振源的振動(dòng)2.2.特點(diǎn)：特點(diǎn)：（）繩子上各質(zhì)元在各自平衡位置往復(fù)振動(dòng)，（）繩子上各質(zhì)

32、元在各自平衡位置往復(fù)振動(dòng)，而質(zhì)元不沿波的傳播方向移動(dòng)而質(zhì)元不沿波的傳播方向移動(dòng)（）波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)（相位）的傳播，沿波的（）波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)（相位）的傳播，沿波的傳播方向各質(zhì)元的相位依次落后或者說(shuō)沿波的傳傳播方向各質(zhì)元的相位依次落后或者說(shuō)沿波的傳播方向上，后一質(zhì)元重復(fù)前一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)播方向上，后一質(zhì)元重復(fù)前一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)二二. .波的幾何描述波的幾何描述波陣面：在介質(zhì)中所有相位波陣面：在介質(zhì)中所有相位相同的點(diǎn)所連成的面。相同的點(diǎn)所連成的面。波線：代表波傳播方向的線。波線：代表波傳播方向的線。在各向同性的介質(zhì)中，波面在各向同性的介質(zhì)中，波面波線波線波面波面波前波前波線波線(a)球面波球面波(b)

33、平面波平面波波面波面波線波線波前波前波前波前某時(shí)刻波到達(dá)的各點(diǎn)連某時(shí)刻波到達(dá)的各點(diǎn)連成的面，即最前面的波面。成的面，即最前面的波面。uvT三三. .簡(jiǎn)諧波的特征量簡(jiǎn)諧波的特征量波速、波長(zhǎng)和頻率的關(guān)系：波速、波長(zhǎng)和頻率的關(guān)系：機(jī)械波的波速由介質(zhì)的彈性模量和密度決定。機(jī)械波的波速由介質(zhì)的彈性模量和密度決定。()()GuYu橫波縱波固體中的波速：固體中的波速：G為切變模量為切變模量Y為楊氏模量為楊氏模量在液體或氣體中只傳播縱波，波速為：在液體或氣體中只傳播縱波，波速為：BuB為容變彈性模量為容變彈性模量xxuPO設(shè)設(shè)O點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程0cos()Atcos ()xAtu1.1.振動(dòng)以

34、速度振動(dòng)以速度u沿沿+ +x方向方向無(wú)衰減無(wú)衰減傳播：傳播：cos2()txATcos2()xAtP點(diǎn)的振動(dòng)比點(diǎn)的振動(dòng)比O落后落后xu代入上式得波動(dòng)方程的其它形式：代入上式得波動(dòng)方程的其它形式：22TuT將 =和cos(2)xAt一、平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式一、平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義： 上式代表上式代表x處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近以角頻率 作作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2cosxyAt即即x 一定一定：令：令x=x1，則質(zhì)點(diǎn)位移則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是時(shí)間僅是時(shí)間t 的函數(shù)。的函數(shù)。tyOA12cosxyAt即即 以以y為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、x 為橫坐標(biāo)，得到

35、一條余弦曲線，為橫坐標(biāo)，得到一條余弦曲線，它是它是t1時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線所構(gòu)成的波形曲線( (波形圖波形圖) )。xyAut 一定一定: :令令t=t1，則質(zhì)點(diǎn)位移則質(zhì)點(diǎn)位移y 僅是僅是x 的函數(shù)。的函數(shù)。yxuOyxuOt時(shí)刻時(shí)刻tt時(shí)刻時(shí)刻xx02cos()xyAt x、t 都變化都變化: : 波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運(yùn)動(dòng)情波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運(yùn)動(dòng)情況（況（行波行波）.),(),(xxttyxty由于由于2xfut得得111cos ()cos(2)xxAtAtu討論討論x軸上任意兩點(diǎn)軸上任意兩點(diǎn)x1 1和

36、和x2 2，平衡位置在這兩點(diǎn)處的平衡位置在這兩點(diǎn)處的質(zhì)元的振動(dòng)方程分別為質(zhì)元的振動(dòng)方程分別為222cos ()cos(2)xxAtAtu12()2xxx1 1和和x2 2處兩振動(dòng)的相位差為處兩振動(dòng)的相位差為122(0,1,2,)2xxkk (1)若兩點(diǎn)之間的距離為半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍時(shí)，即若兩點(diǎn)之間的距離為半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍時(shí)，即12()22kxx則此兩點(diǎn)振動(dòng)同相，或說(shuō)振動(dòng)同步。此兩點(diǎn)振動(dòng)同相，或說(shuō)振動(dòng)同步。12(21)(0,1,2,)2xxkk (2)若兩點(diǎn)之間的距離為半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，即若兩點(diǎn)之間的距離為半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，即12()22k+1)xx則 (此兩點(diǎn)振動(dòng)反相，或說(shuō)振動(dòng)反步調(diào)。此兩點(diǎn)振動(dòng)反相

37、，或說(shuō)振動(dòng)反步調(diào)。2.2.沿沿- -x方向無(wú)衰減傳播：方向無(wú)衰減傳播：cos ()xAtuP點(diǎn)的振動(dòng)比點(diǎn)的振動(dòng)比O超前超前xuxxuPO 10.4u 一個(gè)平面簡(jiǎn)諧縱波在細(xì)長(zhǎng)的金屬棒中傳播，速度一個(gè)平面簡(jiǎn)諧縱波在細(xì)長(zhǎng)的金屬棒中傳播，速度為為5 510103 3msms-1-1，頻率為，頻率為12.512.510103 3HzHz，波源的振幅為，波源的振幅為0.1mm0.1mm。設(shè)波源的初相為零，求（。設(shè)波源的初相為零，求（1 1）該平面波的波長(zhǎng)）該平面波的波長(zhǎng)；（；（2 2）波源的振動(dòng)方程；（）波源的振動(dòng)方程；（3 3）波動(dòng)方程；（）波動(dòng)方程；（4 4）離）離開波源開波源0.1m0.1m處的振動(dòng)

38、方程。處的振動(dòng)方程。解：解： 432coscos210cos 25 10)AtAtt（ 4333cos()10cos25 10()5 10 xxAttu 4330.14cos()10cos25 10()5 10 xAttu4310sin(25 10) t（m）（m）（m）（m）由波源的振動(dòng)方程可得波動(dòng)方程為0.06cos()92xtSI50.06 cos99tSI101059(2)229xu0.0609Am，0.06 cos()()9tSI12m s59 解解：（1 1）由點(diǎn)的振動(dòng)方程）由點(diǎn)的振動(dòng)方程 及，及，可得以為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程可得以為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程utAyAcoscos()xyA

39、tu所以，以所以，以B B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程（2 2）若以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，首先寫出點(diǎn)的振動(dòng)方）若以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，首先寫出點(diǎn)的振動(dòng)方程，因?yàn)槌?，因?yàn)锽 B點(diǎn)的相位比點(diǎn)的相位比A A點(diǎn)的相位超前點(diǎn)的相位超前 ，得點(diǎn)的，得點(diǎn)的振動(dòng)方程振動(dòng)方程ur0)cos(0urtAyB)(cos0uruxtAyx)(oAp0roxxB 已知平面簡(jiǎn)諧波波線上某一點(diǎn)的振動(dòng)方程，寫已知平面簡(jiǎn)諧波波線上某一點(diǎn)的振動(dòng)方程，寫出其波動(dòng)方程出其波動(dòng)方程.求求（）（）以以A A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程; ;tAyAcos設(shè)平面簡(jiǎn)諧波的波速設(shè)平面簡(jiǎn)諧波的波速 ，沿著，沿著oxox

40、軸正方向傳播，軸正方向傳播，在傳播的路徑上在傳播的路徑上A A點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為ux)(oAp0roxxB（2 2）以距點(diǎn)為的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)）以距點(diǎn)為的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程方程. .0r 另一方法是：在另一方法是：在 ox ox 軸上任一點(diǎn)與已知振動(dòng)軸上任一點(diǎn)與已知振動(dòng)點(diǎn)相距為，且點(diǎn)相距為，且 ，則得波動(dòng)方程為，則得波動(dòng)方程為0rxrcos()ryAtu0cos()rxAtuux)(oACDp0rroxxB結(jié)果相同！結(jié)果相同！0cos()xrAtu0cos ()rxAtuu 如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在t=0t=0時(shí)刻的波時(shí)刻的波形圖，設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻

41、率為形圖，設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻率為250Hz250Hz，且此時(shí)質(zhì)，且此時(shí)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)P P的運(yùn)動(dòng)方向向下，求的運(yùn)動(dòng)方向向下，求（1 1）該波的波動(dòng)方程；）該波的波動(dòng)方程；（2 2）在距原點(diǎn)）在距原點(diǎn)O O為為100m100m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程與振處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程與振動(dòng)速度表達(dá)式。動(dòng)速度表達(dá)式。 解：解：02/2cossin0AAvA 4O處振動(dòng)方程為：處振動(dòng)方程為： 0cos(500)4At（1）由）由P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，可判定該波向左傳播，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，可判定該波向左傳播，對(duì)原點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O處質(zhì)點(diǎn)，處質(zhì)點(diǎn)，t=0時(shí)，有時(shí)，有 cos2 (250)()2004xAtSI波動(dòng)方程為：波動(dòng)方程為： （2）距）距O點(diǎn)點(diǎn)1

42、00m處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程是處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程是15cos(500)()4AtSI振動(dòng)速度為振動(dòng)速度為 5500sin(500) ()4vAtSI 二、波動(dòng)微分方程二、波動(dòng)微分方程用波動(dòng)方程分別對(duì)用波動(dòng)方程分別對(duì)x和和t求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)cos ()xAtu2222cos ()xAtxuu 得222cos ()xAttu 及222221xut比較兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)可得比較兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)可得cos ()xAtuVtx1. 波動(dòng)方程為波動(dòng)方程為 的平面簡(jiǎn)諧波，的平面簡(jiǎn)諧波，在密度為在密度為 的介質(zhì)中傳播時(shí)，在任意坐標(biāo)的介質(zhì)中傳播時(shí)，在任意坐標(biāo) 處處取體積元取體積元 ，在時(shí)刻，在時(shí)刻 的動(dòng)能和勢(shì)能的動(dòng)能和勢(shì)能相等相

43、等，均為均為一一. .波的能量波的能量 222kp1sin()2xEEVAtu總機(jī)械能總機(jī)械能: : 222kpsin()xEEEVAtu 總 可見：體積元可見：體積元 中的動(dòng)能中的動(dòng)能 和勢(shì)能和勢(shì)能 及總及總機(jī)械能機(jī)械能 都隨時(shí)間作周期性的同相變化；都隨時(shí)間作周期性的同相變化；波動(dòng)波動(dòng)傳播的過(guò)程實(shí)際上是能量傳播的過(guò)程傳播的過(guò)程實(shí)際上是能量傳播的過(guò)程。 VkEpEE總6.4.3 波的能量和能流波的能量和能流2.能量密度：介質(zhì)單位體積中波的能量。能量密度：介質(zhì)單位體積中波的能量。222sin()ExwAtVu總3.3.平均能量密度：一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值平均能量密度：一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均

44、值 220d12Tw twAT單位單位: :Jm-3-3 二二. .能流密度能流密度（波的強(qiáng)度）：（波的強(qiáng)度）：ISxut2212SEw Su tASu t * *在在 時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂面時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂面 的能的能量量 等于體積等于體積 中的能量中的能量tSSESu t2212SEPASut* *單位：?jiǎn)挝唬篧1.1.平均能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)某一面積平均能流：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)某一面積的平均能量的平均能量wSu2.2.能流密度能流密度（波的強(qiáng)度）：（波的強(qiáng)度）：ISxut2212SEw Su tASu t * *在在 時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂面時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂面 的能的能量量 等于體積等于體積 中的能量中的能量

45、tSSESu t2212SEPIuASS t * *單位：?jiǎn)挝唬篧m-2 * *單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波傳播方向單位面積的平單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波傳播方向單位面積的平均能量均能量, , 即單位面積的平均能流。即單位面積的平均能流。* *波的能量隨著波動(dòng)的進(jìn)行在介質(zhì)中以波速波的能量隨著波動(dòng)的進(jìn)行在介質(zhì)中以波速 向周向周圍傳播。圍傳播。 uwu( (記記!)!) 一平面簡(jiǎn)諧波，頻率為一平面簡(jiǎn)諧波，頻率為300HZ300HZ，波速為，波速為340ms340ms-1-1，在截面面積為在截面面積為3.003.001010-2-2m m的管內(nèi)空氣中傳播的管內(nèi)空氣中傳播, ,若在若在10s10s內(nèi)通過(guò)截面的能

46、量為內(nèi)通過(guò)截面的能量為2.72.71010-2-2J J，求，求（1 1）通過(guò)截面的平均能流；）通過(guò)截面的平均能流；（2 2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3 3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：21312.7 10(1)2.7 1010WPJ sJ st31221222.7 10(2)9.00 103.00 10PIJ s mJ s mS22429.00 10(3)2.65 10340IwJ mJ mu 有一聲源的頻率為有一聲源的頻率為10001000Hz，在空氣中，在空氣中P點(diǎn)的聲波強(qiáng)度為點(diǎn)的聲波強(qiáng)度為1.591.5910105 5Wm-2-2，已知空氣，已知空氣的

47、密度為的密度為1.291.29kgm-3，波速為，波速為344344ms-1-1, ,求求P P點(diǎn)點(diǎn)的振幅和平均能量密度。的振幅和平均能量密度。2212IuA解：根據(jù)波的強(qiáng)度公式解：根據(jù)波的強(qiáng)度公式 ，可得，可得 3224.3 10 mIAu 2231462J m2IwAu三、波的吸收三、波的吸收1.1.平面波平面波的吸收衰減：的吸收衰減：ddII x其中：其中：吸收系數(shù)吸收系數(shù)與介質(zhì)的密度、黏性系數(shù)、波與介質(zhì)的密度、黏性系數(shù)、波速、波的頻率有關(guān)。速、波的頻率有關(guān)。 平面波在均勻介質(zhì)中傳播，通過(guò)厚度為平面波在均勻介質(zhì)中傳播，通過(guò)厚度為dx 的介的介質(zhì)后減少的強(qiáng)度質(zhì)后減少的強(qiáng)度dI與入射波的強(qiáng)度

48、與入射波的強(qiáng)度I 以及和所以及和所通過(guò)的厚度通過(guò)的厚度dx 成正比。成正比。0exII 00ddIxIIxI II0dxx2.2.球面波球面波的傳播衰減：的傳播衰減： 不考慮介質(zhì)的吸收、散射等原因，球面波因不考慮介質(zhì)的吸收、散射等原因，球面波因其波陣面隨傳播的距離增大而擴(kuò)大，使得通過(guò)其波陣面隨傳播的距離增大而擴(kuò)大，使得通過(guò)單位面積的能量與面積反比例減少，從而引起單位面積的能量與面積反比例減少，從而引起波的強(qiáng)度減弱。波的強(qiáng)度減弱。 1122I SI S12221244IRIR212221IRIR221,2IAu1222222212114422AuRAuR1221ARAR222kp1sin()2x

49、EEVAtu平均能量密度平均能量密度220d12Tw twAT2212SEPASut平均能流平均能流能流密度能流密度（波的強(qiáng)度）：（波的強(qiáng)度）：2212SEPIuASS twu平面波平面波的吸收衰減的吸收衰減0exII球面波球面波的傳播衰減的傳播衰減212221IRIR1221ARAR惠更斯原理惠更斯原理：介質(zhì)中波前上各點(diǎn)都可以看作是新的波：介質(zhì)中波前上各點(diǎn)都可以看作是新的波源，這些波源發(fā)出子波，子波的包絡(luò)面就是新的波前源，這些波源發(fā)出子波，子波的包絡(luò)面就是新的波前.內(nèi)容的理解：內(nèi)容的理解：子波概念子波概念 波面上任一點(diǎn)都是新的振源波面上任一點(diǎn)都是新的振源 發(fā)出的波叫子波發(fā)出的波叫子波子波面的

50、包絡(luò)線子波面的包絡(luò)線新波面新波面 t 時(shí)刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面）時(shí)刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面）就是該就是該時(shí)刻的新波面時(shí)刻的新波面作用：作用：已知一波面就可求出任意時(shí)刻的波面已知一波面就可求出任意時(shí)刻的波面t+ t時(shí)刻波面時(shí)刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時(shí)刻波面時(shí)刻波面 t + tt 在各向同性在各向同性介質(zhì)中傳播介質(zhì)中傳播例：例：u利用惠更斯原理可以解釋衍射、反射、折射等波的利用惠更斯原理可以解釋衍射、反射、折射等波的傳播現(xiàn)象傳播現(xiàn)象1.原理給出：原理給出：一切波動(dòng)都具有衍射現(xiàn)象一切波動(dòng)都具有衍射現(xiàn)象衍射衍射偏離原來(lái)直線傳播的方向偏離原來(lái)直線傳播的方向 所以：所以：衍射是波

51、動(dòng)的判據(jù)衍射是波動(dòng)的判據(jù)一一. .波的疊加原理波的疊加原理 1S2S121.波的獨(dú)立傳播原理波的獨(dú)立傳播原理各振源在介質(zhì)中獨(dú)立地激起與各振源在介質(zhì)中獨(dú)立地激起與自己頻率相同的波自己頻率相同的波每列波傳播的情況與其他波不每列波傳播的情況與其他波不存在時(shí)一樣存在時(shí)一樣實(shí)際例子實(shí)際例子: :紅綠光束交叉紅綠光束交叉 樂(lè)隊(duì)演奏樂(lè)隊(duì)演奏 空中無(wú)線電波等空中無(wú)線電波等波的獨(dú)立傳播原理：波的獨(dú)立傳播原理：有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)中傳播時(shí), , 它們的傳它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)因其它波的存在而發(fā)生影響生影響. .趣稱

52、：趣稱：和平共處和平共處細(xì)雨綿綿細(xì)雨綿綿獨(dú)立傳播獨(dú)立傳播2. 疊加原理疊加原理 在各波的相遇區(qū)在各波的相遇區(qū), 各點(diǎn)的振動(dòng)是各點(diǎn)的振動(dòng)是 各列波單獨(dú)在此激起的振動(dòng)的合成各列波單獨(dú)在此激起的振動(dòng)的合成1S2SP21P線性疊加線性疊加滿足線性波動(dòng)方程滿足線性波動(dòng)方程相應(yīng)的介質(zhì)叫線性介質(zhì)相應(yīng)的介質(zhì)叫線性介質(zhì)只有各波都較弱時(shí)才滿足線性疊加只有各波都較弱時(shí)才滿足線性疊加波的疊加原理：波的疊加原理：概而言之：概而言之：獨(dú)立傳播，矢量疊加獨(dú)立傳播，矢量疊加。 幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，無(wú)論是否相遇，幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)，無(wú)論是否相遇，都保持原有特性都保持原有特性( (如頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向等如頻率、波長(zhǎng)

53、、振動(dòng)方向等) )，各自按原傳播方向繼續(xù)前進(jìn)，不受其他波的影響各自按原傳播方向繼續(xù)前進(jìn)，不受其他波的影響；在相遇處任一質(zhì)點(diǎn)的位移是各波在該點(diǎn)所引起；在相遇處任一質(zhì)點(diǎn)的位移是各波在該點(diǎn)所引起位移的矢量和。位移的矢量和。 二二. . 波的干涉波的干涉 相干條件相干條件在波的疊加區(qū)域中各點(diǎn)合振動(dòng)強(qiáng)弱形成穩(wěn)在波的疊加區(qū)域中各點(diǎn)合振動(dòng)強(qiáng)弱形成穩(wěn)定分布的現(xiàn)象定分布的現(xiàn)象, , 稱為稱為波的干涉現(xiàn)象波的干涉現(xiàn)象得到干涉所要求的條件叫得到干涉所要求的條件叫相干條件相干條件滿足相干條件的滿足相干條件的波波 叫叫相干波相干波 波源叫波源叫相干波源相干波源 疊加叫疊加叫相干疊加相干疊加1.相干條件相干條件:參與疊加

54、的波必須參與疊加的波必須頻率相同（簡(jiǎn)稱同頻率）頻率相同（簡(jiǎn)稱同頻率）在確定的相遇點(diǎn)各分振動(dòng)的在確定的相遇點(diǎn)各分振動(dòng)的 振動(dòng)方向相同（簡(jiǎn)稱同方向）振動(dòng)方向相同（簡(jiǎn)稱同方向） 相位差恒定（簡(jiǎn)稱相差恒定）相位差恒定（簡(jiǎn)稱相差恒定）PO1O2r1 r22.2.波場(chǎng)中的強(qiáng)度分布波場(chǎng)中的強(qiáng)度分布質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P同時(shí)參與兩波源傳來(lái)的振動(dòng)同時(shí)參與兩波源傳來(lái)的振動(dòng)12112222cos()cos()rrAtAt111cos()OOAt222cos()OOAt波源的振動(dòng)：波源的振動(dòng)：12112222cos()cos()rrAtAtcos()At2212122cos()AAAA A其中：其中：212122()()rrtt

55、12212()rr波源的相位差波源的相位差 波程差波程差 12112212112222sin()sin()arctan22cos()cos()rrAArrAA2 (0,1,2,)kk12AAA(21)(0,1,2,)kk12AAA干涉加強(qiáng)干涉加強(qiáng)干涉減弱干涉減弱由于在波場(chǎng)中確定點(diǎn)有確定的相位差由于在波場(chǎng)中確定點(diǎn)有確定的相位差所以每一點(diǎn)都有確定的所以每一點(diǎn)都有確定的 A從而在波場(chǎng)中形成了穩(wěn)定的強(qiáng)度分布從而在波場(chǎng)中形成了穩(wěn)定的強(qiáng)度分布干涉的特點(diǎn)干涉的特點(diǎn): :強(qiáng)度分布穩(wěn)定強(qiáng)度分布穩(wěn)定2212IAAA12AA如如果果1max4II21AAA12min0AAI如如果果O1O2最最大大最最小小最最大大最

56、最小小最最大大水波盤中水波的干涉水波盤中水波的干涉21212rr12所以所謂相位差恒定就是波源初相差恒定所以所謂相位差恒定就是波源初相差恒定實(shí)際波：波源振一次發(fā)出一列波實(shí)際波：波源振一次發(fā)出一列波實(shí)現(xiàn)干涉的實(shí)現(xiàn)干涉的艱難艱難任務(wù)是實(shí)現(xiàn)初相差恒定任務(wù)是實(shí)現(xiàn)初相差恒定在確定的場(chǎng)點(diǎn)在確定的場(chǎng)點(diǎn)P )(12rr 確定確定干涉結(jié)果取決于干涉結(jié)果取決于波源的初相差波源的初相差討論討論1）關(guān)于相位差恒定）關(guān)于相位差恒定12AAA21(2)21(1),1m 1 、 21 、 221m2112212rr121(2.52)0.52rrmm而12AAA2.52221一一. .相干波源：相干波源： 頻率相同、振動(dòng)方向

57、相同、振幅相同、頻率相同、振動(dòng)方向相同、振幅相同、傳播方向相反傳播方向相反 二二. .駐波表達(dá)式：駐波表達(dá)式：cos()cos()xxAtAtcccos2 ()cos2 ()txtxAATT2 cos2cos2xtAT從一特例導(dǎo)出，其它情況導(dǎo)出的方程形從一特例導(dǎo)出，其它情況導(dǎo)出的方程形式略有不同式略有不同2At = 00 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波波節(jié)節(jié)波波腹腹/4- -/4x02A-2A/2xt = 3T/80各質(zhì)點(diǎn)都作同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)各質(zhì)點(diǎn)都作同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2 cos2xA各質(zhì)點(diǎn)的振幅不同各質(zhì)點(diǎn)的振幅不同2A2A，波腹，波腹0 0，波節(jié)，波節(jié)2(0,1

58、,2)4xkk(21)(0,1,2)4xkk相鄰兩波節(jié)（或波腹）空間間隔都是相鄰兩波節(jié)（或波腹）空間間隔都是2駐波特點(diǎn)：駐波特點(diǎn)：2 cos2cos xAt相位：相位：2 cos2cos xAt 駐波是分段的振動(dòng)，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段。駐波是分段的振動(dòng)，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段。相位中沒有相位中沒有x 坐標(biāo)坐標(biāo)， 故相位并不傳播故相位并不傳播駐波。駐波。t cos 相鄰兩段中各點(diǎn)振動(dòng)相位相反。相鄰兩段中各點(diǎn)振動(dòng)相位相反。（為什么？）（為什么？）因?yàn)?，相鄰兩段的因?yàn)?，相鄰兩段?必一正一負(fù)。必一正一負(fù)。2cos2 xA同一段中各點(diǎn)振動(dòng)相位相同；同一段中各點(diǎn)振動(dòng)相位相同；能量：能量：總能流密度為總能流

59、密度為0， 沒有能量的傳播。沒有能量的傳播。但是，在同一段中波腹波節(jié)質(zhì)元之間有能量但是，在同一段中波腹波節(jié)質(zhì)元之間有能量的流動(dòng)；有動(dòng)能勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化。的流動(dòng)；有動(dòng)能勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化。三三. .兩端固定的弦中的駐波兩端固定的弦中的駐波 只有弦長(zhǎng)正好等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)只有弦長(zhǎng)正好等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí), 振振動(dòng)才能在弦中顯著激發(fā)起來(lái)動(dòng)才能在弦中顯著激發(fā)起來(lái)2,(1,2,3)2nnllnnn即,uT是弦中的波速是弦中的張力是弦的線密度如琴弦上的駐波如琴弦上的駐波(1,2,3)2nnunlTu管弦樂(lè)都利用了駐波原理。管弦樂(lè)都利用了駐波原理。 由振動(dòng)頻率為由振動(dòng)頻率為400HZ400HZ的音叉在兩端固定拉

60、緊的弦的音叉在兩端固定拉緊的弦線上建立駐波，這個(gè)駐波共有三個(gè)波腹，其振幅為線上建立駐波，這個(gè)駐波共有三個(gè)波腹，其振幅為0.30cm0.30cm，波在弦上的速度為，波在弦上的速度為320320ms-1-1。（。（1 1）求此弦）求此弦線的長(zhǎng)度。（線的長(zhǎng)度。（2 2）若以弦線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出）若以弦線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出駐波的方程式。駐波的方程式。 解：解：(1)u由30.81.22Lm得(2) 弦的中點(diǎn)是波腹弦的中點(diǎn)是波腹, 故故323 10cos()cos(800)()0.8xytSI 式中式中可可 由初始條件來(lái)選擇。由初始條件來(lái)選擇。32L 又由3200.8400umm得從駐波實(shí)驗(yàn)知