泰勒級數(shù)及洛朗級數(shù)

1、泰勒泰勒 級數(shù)級數(shù)泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)級數(shù)級數(shù) 洛朗洛朗 級數(shù)級數(shù)洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數(shù)級數(shù)張紅英張紅英& 1. 問題的引入問題的引入4.3 泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)級數(shù)& 2. 泰勒級數(shù)展開定理泰勒級數(shù)展開定理& 3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式& 4. 小結(jié)小結(jié) 一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。1. 問題的引入問題的引入DKz.內(nèi)任意點內(nèi)任意點, )( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Dzf如圖如圖:r0z.K.rz 0 圓圓周周 0: Kzr：定

2、理（泰勒級數(shù)展開定理）定理（泰勒級數(shù)展開定理）000( ),f zDzD RzDzzR設(shè)在區(qū)域 內(nèi)解析為到的邊界上各點的最短距離，則當時級數(shù)的處在Taylorzzf0)(2. 泰勒泰勒(Taylor)級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理00( )0( )()(1)1:()0,1,2,!nnnnnf zczzcfznn其中Dk 0z( )010011( )( )!2:nnnkfcfzdnizkzr 代入代入(1)分析：分析：( )00000( )()()!nnnnnnfzc zzzzn01001( )()2()nnknfdzziz01001( )()(I)2()nnknfzzdizDk 0z0100()()

3、() (*)()nnnffzzzz需證1( )( )(II)2kff zdiz又z000001111,()1zzzzzzzz001,zzqz聯(lián)合聯(lián)合(I),(II)20000000111()()(2)nz zz zz zzzzzz 0000()()()()nnnzzffzzz故(*)式式0100()()()nnnfzzz證明：證明：00:,:kzrzrDzkCauchy 設(shè)為 內(nèi)任一點由積分公式001,zzqz000001111()1zzzzzzzz0100()(3)()nnnzzz1( )( )2kff zdiz0020010( )00001( )1( )( )22( )2()()( )2(

4、)()()()()!kkknnknnfff zddizizzzfdizzzfdizfzf zfzzzn #0( )f zzTalor函數(shù)在 處的級數(shù)00( ).f zzTaylorzD在解析點 處的級數(shù)收斂半徑至少等于從 到 的邊界上各點的最短距離000( )Rzf zzRz為從 到的距最近的一個奇點之間的距離，即該奇點在收斂圓周上。( (1 1) )注注：(2) 展開式的唯一性1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010分析：分析：設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級數(shù):冪級數(shù)逐項求導(dǎo)( )01()0,1,2,!

5、nnafznn直接法直接法間接法：間接法：由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù) 運算、分析運算和運算、分析運算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法級數(shù)的方法：00( )( )f zzDf zzD 在點(區(qū)域解析在(3的鄰域 (區(qū)域內(nèi)可以展開成)冪級數(shù)。( )0023()1(0,1,2,)12!3!.znzzznzzeenzzzezneR 在復(fù)平面上解析 該級數(shù)的收斂半徑3. 簡單初等函數(shù)的泰勒展開式簡單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解：解：直

6、直接接法法001()()sin22!zizinnnneeziziziinn242cos(sin) 1( 1)2!4!(2 )!nnzzzzzn 又sin ,coszzR 故在全平面上解析，它們的半徑21211211112( 1)2(21)!(21)!kkkkkkizzikk間間接接法法例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級數(shù)的冪級數(shù):211(1)( )(2)( )(3)( )ln(1)1(1)f zf zf zzzz解：解：21(1)111nzzzzz 111( 1)111 ()nnzzzzz (2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：212211111( 1)(1)

7、11 23( 1)1nnnnddzzzzdzzdzzznzz (3)10(1):zz zcc在收斂圓內(nèi)任意取一條從的曲線 ，沿 逐項積分得2131ln(1)( 1)1231nnzzzzzzn 0000( 1)1zzzznndzdzzdzz dzz注注:通過奇點判斷收斂范圍通過奇點判斷收斂范圍。0(1)( )f zz 在點 的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)。4. 小結(jié)：小結(jié)：F(z)在在z0點解析點解析0(2)( )f zzCR 的實部和虛部在點 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足方程。0(4)( )f zz 在點 的某一鄰域內(nèi)可展成冪級數(shù)。0(3)( )0f zz 在點 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且沿鄰域內(nèi)的任一條正向封閉

8、路線的積分為 。& 1. 引入引入 4.4 羅朗羅朗(Laurent)級數(shù)級數(shù)& 2. 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)& 3. Laurent級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理& 4. 函數(shù)的函數(shù)的Laurent級數(shù)展開式級數(shù)展開式& 5 小結(jié)小結(jié)回顧：回顧：f (z) 在在z0解析解析思考思考：若若 f (z) 在在z0點不解析點不解析，但在圓環(huán)域，但在圓環(huán)域 : R1z - z0R2 內(nèi)解析，那么，內(nèi)解析，那么，f (z)能能 否用否用級數(shù)表示呢級數(shù)表示呢？1. 1. 引入引入 f (z)在z0的某一個 圓域z - z0R 內(nèi)展開成 z - z0的冪級數(shù)。例：例：1( )0,1(1):01011f zzzzz

9、zz在都不解析，但在圓環(huán)域及內(nèi)處處解析。1211znzzzz 01,111( )(1)1zf zzzzz當時011,111( )(1)11(1)zf zzzzz當時 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內(nèi)解析內(nèi)解析, , f (z) 可可以展開成含有負冪次項的級數(shù)以展開成含有負冪次項的級數(shù),即即2111(1)(1)(1)111(1)(1)1nnzzzzzzz 1 1z 本節(jié)將討論在以本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解的函數(shù)的級數(shù)

10、表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在析函數(shù)在孤立奇點孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)留數(shù)數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ)。2. 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)-含有負冪項的級數(shù)含有負冪項的級數(shù)定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)都都是是常常數(shù)數(shù)及及其其中中), 2, 1, 0(0 nczn負冪項部分負冪項部分正冪項正冪項(包括常數(shù)項包括常數(shù)項)部分部分 是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為是一冪級數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2 ， 收斂域：收斂域：z - z0R2 。01zz令1nnncRR設(shè)收斂半徑為

11、，收斂域：。011()nnnnnnczzc00111()nnnczzzzRR收斂域：收斂。00()nnnc zz收斂域：收斂域：z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR 121020()nnnRRRzzRczz當且僅當時，兩個級數(shù)有公共收斂區(qū)域即圓環(huán)域：，稱收斂。.)()4(2010以以逐逐項項求求積積和和逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)和和函函數(shù)數(shù)是是解解析析的的而而且且可可內(nèi)內(nèi)的的在在級級數(shù)數(shù)RzzRzzcnnn 注注： 02100)3(zzRR：，收收斂斂域域為為此此時時可可以以可可以以。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時時當當 nnnzzcRR)()1(021(

12、2)在圓環(huán)域的邊界在圓環(huán)域的邊界z - z0=R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。點點收收斂斂，有有些些點點發(fā)發(fā)散散可可能能有有些些)(03. 洛朗級數(shù)展開定理洛朗級數(shù)展開定理定理定理1020100( ):,( )()(5)1( ):(0, 1, 2,) (5)2().nnnnncf zD RzzRf zczzf zcdz nizzcDz設(shè)在內(nèi)解析 則其中系數(shù)是 內(nèi)繞 的任何一條簡單閉曲線級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為LaurentRzzRDzf201:)( .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內(nèi)不

13、是處處內(nèi)不是處處在在相同相同形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)在奇點在奇點 z0的去心鄰域內(nèi)解析，需要把的去心鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成洛朗展成洛朗 （ Laurent ）級數(shù)來展開。）級數(shù)來展開。級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。(3)(3) 展開式的唯一性展開式的唯一性 一個在某一一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級

14、數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f (z)的洛朗級數(shù)。的洛朗級數(shù)。分析：分析：)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內(nèi)內(nèi)解解析析，在在設(shè)設(shè) nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條繞繞為為設(shè)設(shè)0101(),()PPzc為任一整數(shù)并沿 的正向積分得：Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級級數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知Laurent

15、 nnnzaf)()(0 由唯一性，將函數(shù)展開成由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，主要級數(shù)，主要用間接法用間接法。例例1解解210sin1( 1)(21)!nnnzzzzn0z 3524113!5!3!5!zzzzzzsin0zzz求在展開成洛朗級數(shù)。4 4 函數(shù)的函數(shù)的LaurentLaurent級數(shù)展開式級數(shù)展開式2333011(1)!2!znnnezzzzzznzn例例2解解例例3解解21112!tnetttn 在復(fù)平面上，121111,12!zntezzzn z令)0( z3211112!3!4!nzzzzzn30zezLaurentz將在 內(nèi)展開成級數(shù)。10zezLauren

16、t 將 在內(nèi)展成級數(shù)。例例4xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（01( )(1)(2) 01;( )12;() 20f zzziziiziiizzLaurent 將在以下圓環(huán)域（內(nèi)展開成點的級數(shù)。解解:11( )12f zzz111( )1212f zzz故( )0112ziz 2101371(1)2482nnnzzz221(1)(1)224nzzzzz 無無奇奇點點111111( )1122112f zzzzzz 212zz 又1( )121iizz 221101111(1)(1)22412nnnnnzzzzzzz 2()21iiizz 111 11

17、 1( )121211f zzzzzzz1221nnnz2223411112411137zz zzz zzzz 注意首項注意首項解解 (1) 在(最大的)去心鄰域例例5yxo121( )(1)(2)1,2f zzzzzLaurent將在以點的去心鄰域內(nèi)展開成級數(shù)。021(1)111 (1)(2)1nnzzzzz 011z (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域021zxo121111( )122 1 (2)f zzzzz021( 1) (2)211(2)(2)2nnnzzzzz 2225( )(2)(1)(1)12(2) 025zzf zzzzz將在以下區(qū)域； 內(nèi)展開成冪級數(shù)。練習(xí)：練習(xí)：(2) 同一個函數(shù)有不同的級數(shù)展式，這是因為在不同 的區(qū)域上的展式，這與唯一性并不矛盾。 (1) Laurent級數(shù)與Taylor 級數(shù)的不同點： Taylor級數(shù)先展開求收斂半徑R, 找出收斂域。 Laurent級數(shù)先求 f(z) 的奇點，然后以 z0為中心 奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使 f(z) 解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級數(shù)。5 5 小結(jié)小結(jié)(3)(3)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )級數(shù)。