直線及直線方程

1、必修2 第二章 解析幾何初步第一節(jié)：直線與直線方程一、直線的傾斜角和斜率（1）傾斜角定義：平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角。（0180）（2） 斜率k=tan= （0180），當(dāng)=90時(shí)，k不存在。（兩種求法，注意的情況）（3）函數(shù)y=tanx在增加的，在也是增加的。例1：過點(diǎn)M（-2，m）,N (m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為 例2：過兩點(diǎn)A（m2+2,m2-3）,B（3-m-m2,2m）的直線l的傾斜角為45求m的值。例3：已知直線l 經(jīng)過點(diǎn)P（1,1），且與線段MN相交，又M（2，-3

2、），N（-3，-2），求直線l 的斜率k的取值范圍。例4：已知a0,若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，a），B（2，a2）,C(3,a3)共線，則a值為 練習(xí)：1經(jīng)過點(diǎn)P(2，m)和Q(2m，5)的直線的斜率等于，則m的值是()A4B3 C1或3 D1或42. 已知直線l過P(1，2)，且與以A(2，3)、B(3，0)為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍二、兩直線的平行與垂直1.平行的判定： 2. 垂直的判定：例（1）l1 經(jīng)過點(diǎn)M（-1，0）, N (-5,-2)，l2經(jīng)過點(diǎn)R（-4,3），S（0,5），l1與l2是否平行？ （2）l1 經(jīng)過點(diǎn)A（m，1）, B (-3,4), ）l2 經(jīng)過點(diǎn)C（1

3、，m）, D (-1, m+1),確定m的值，使l1/l2。練習(xí)： 例（1） l1的傾斜角為45，l2經(jīng)過點(diǎn)P（-2,-1），Q（3,-6）.例（2）已知點(diǎn)M（2,2）和N（5，-2），點(diǎn)P在x軸上，且MPN為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。練習(xí)：1.求a為何值時(shí)，直線l1：(a2)x(1a)y10與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？2.求過點(diǎn)P(1，1)，且與直線l2：2x3y10垂直的直線方程三、直線的方程1、點(diǎn)斜式: y-y0=k(xx0) (斜率存在，可為0)1、 斜截式： y=kx+b (b 是與y軸的交點(diǎn)) (斜率存在，可為0)2、 兩點(diǎn)式: = (斜率存在，不能為0)3、 一般式

4、：Ax+By+C=0 (任意直線)4、 截距式：+=1 (斜率存在且不過原點(diǎn)且不為0)典型例題例2.求過定點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程例3.已知ABC的頂點(diǎn)A(1，1)，線段BC的中點(diǎn)為D(3，) (1)求BC邊上的中線所在直線的方程；(2)若邊BC所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9，求BC所在直線的方程例4.方程(m2m3)x(2mm1)y2m6滿足下列條件，請(qǐng)根據(jù)條件分別確定實(shí)數(shù)m的值(1)方程能夠表示一條直線；(2)方程表示一條斜率為1的直線例5.直線l的方程為(a2)y(3a1)x1(aR)(1)求證：直線l必過定點(diǎn)；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；

5、(3)若直線l不過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍練習(xí)：1.若直線7x2ym0在兩坐標(biāo)軸上的截距之差等于5，則m()A14B14 C0 D14或142、直線過點(diǎn)（3,2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程。3、經(jīng)過點(diǎn)A（-1,8），B（4，-2）的直線方程。4、已知A(1,2), B（3,1），求線段AB的垂直平分線方程。5、一條光線從點(diǎn)P（6,4）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q（2，0）經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線所在的直線方程。四、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1、求兩條直線的交點(diǎn)（聯(lián)立方程組）例（1）若三條直線：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x+ky+k+=0相交于一點(diǎn)，則k= （2）已知直

6、線l1：x+y+2=0, l2：2x-3y-3=0,求經(jīng)過的交點(diǎn)且與已知直線3x+y-1=0平行的直線l 的方程。2、 兩點(diǎn)間的距離公式P1P2= 例（1）已知點(diǎn)A（a,-5）與B（0,10）間的距離是17，求a 的值。例（2）已知點(diǎn)A（-1,2），B（2，），在x軸上求一點(diǎn)P，使PA=PB，并求的 PA值。例.直線l的方程為(a2)y(3a1)x1(aR)(1)求證：直線l必過定點(diǎn)；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(3)若直線l不過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍五、點(diǎn)到直線的距離 例1：求點(diǎn)A(-2,3)到直線 l:3x+4y+3=0的距離 d= 例2：已知點(diǎn)（a,2）到直線

7、l: x-y+1=0的距離為2，則a= (a0)例3:求直線 y=2x+3關(guān)于直線l: y=x+1對(duì)稱的直線方程。練習(xí)：1.已知ABC中，A(2，1)，B(3，3)，C(2，6)，試判斷ABC的形狀2.求過點(diǎn)M(2，1)且與A(1，2)，B(3，0)兩點(diǎn)距離相等的直線方程3.已知點(diǎn)A(a，2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A. B2 C.1 D.14.已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，求ABC的面積六、兩平行直線間的距離例1：求平行直線l1:2x-7y-8=0與l2:6x-21y-1=0的距離例2：已知直線l1：（t+2）x+(1-t)y=1與 l2：（t-1

8、）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。例3：求點(diǎn)A（2,2）關(guān)于直線2x-4y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。練習(xí)：1. 兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6，2)和B(3，1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程2.求與直線l：5x12y60平行，且到l的距離為2的直線的方程例題解析例1. 在第一象限的中，.求邊的方程；和所在直線的方程.例2.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）.A B. C D思考：（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)如何求？（2）線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線如何求？（3）線關(guān)于線的對(duì)稱線如何求？例3. 求經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的

9、直線方程.例4方程所表示的直線（ ）.A恒過定點(diǎn) B恒過定點(diǎn) C恒過點(diǎn)和 D都是平行直線 例5已知直線.若，試求的值；若，試求的值例6 .已知兩直線，求分別滿足下列條件的的值.直線過點(diǎn)，并且直線與直線垂直；直線與直線平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離相等.例7. 過點(diǎn)作直線分別交軸、軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程.例8點(diǎn)P(x,y)在x+y-4=0上，則x2+y2最小值為多少？達(dá)標(biāo)測(cè)試一、選擇題（每題3分，共36分）1直線x+6y+2=0在x軸和y軸上的截距分別是（ ） A. B. C. D.2，32直線3x+y+1=0和直線6x+2y+1=0的位置關(guān)系是（ ） A.重合 B.平行 C.垂

10、直 D.相交但不垂直3直線過點(diǎn) (3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這直線方程為（ ）（A）2x3y0;（B）xy50;（C）2x3y0或xy50（D）xy5或xy504直線x=3的傾斜角是（ ） A.0 B. C.p D.不存在5圓x2+y2+4x=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（ ） A.(2,0),2 B.(2,0),4C.(2,0),2 D.(2,0),46點(diǎn)（-1，2）關(guān)于直線y = x -1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（A）（3，2）（B）（-3，-2）（C）（-3，2）（D）（3，-2）7點(diǎn)（2，1）到直線3x -4y + 2 = 0的距離是（A） （B） （C） （D）8直線x - y + 3

11、 = 0的傾斜角是（ ）（A）30（B）45（C）60（D）909與直線l：3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程為（A）3x4y50（B）3x4y50 （C）3x4y50（D）3x4y5010設(shè)a、b、c分別為rABC中A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsinAayc0與直線bxysinBsinC0的位置關(guān)系（ ）（A）平行；（B）重合；（C）垂直；（D）相交但不垂直11直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平1個(gè)單位后，又回到原來位置，那么l的斜率為（ ）（A）（B）3;（C）（D）312直線當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)（ ）（A）（0，0） （B）（0，1） （C）（3，1） （D）（

12、2，1）二、填空題（每題4分，共16分）13直線過原點(diǎn)且傾角的正弦值是，則直線方程為 14直線mxny1（mn0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 15如果三條直線mx+y+3=0,x-y-2=0,2x-y+2=0不能成為一個(gè)三角形三邊所在的直線，那么m的一個(gè)值是_.16已知兩條直線l1：yx；l2：axy0（aR），當(dāng)兩直線夾角在（0，）變動(dòng)時(shí)，則a的取值范圍為 三、解答題（共48分）17. 中，點(diǎn)AAB的中點(diǎn)為M重心為P求邊BC的長(zhǎng)18若，又三點(diǎn)A(，0)，B（0，），C（1，3）共線，求的值19若直線和直線垂直，求的值必修2 第二章 解析幾何初步第一節(jié)：直線與直線方程一、直線的傾斜角和斜率（

13、1）傾斜角定義：平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角。（0180）（3） 斜率k=tan= （0180），當(dāng)=90時(shí)，k不存在。（兩種求法，注意的情況）（3）函數(shù)y=tanx在增加的，在也是增加的。例1：過點(diǎn)M（-2，m）,N (m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為 例2：過兩點(diǎn)A（m2+2,m2-3）,B（3-m-m2,2m）的直線l的傾斜角為45求m的值。例3：已知直線l 經(jīng)過點(diǎn)P（1,1），且與線段MN相交，又M（2，-3），N（-3，-2），求直線l 的斜率k的取值范圍。例4：已知a0,若平面

14、內(nèi)三點(diǎn)A（1，a），B（2，a2）,C(3,a3)共線，則a值為 練習(xí)：1經(jīng)過點(diǎn)P(2，m)和Q(2m，5)的直線的斜率等于，則m的值是()A4B3 C1或3 D1或42. 已知直線l過P(1，2)，且與以A(2，3)、B(3，0)為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍二、兩直線的平行與垂直1.平行的判定： 2. 垂直的判定：例（1）l1 經(jīng)過點(diǎn)M（-1，0）, N (-5,-2)，l2經(jīng)過點(diǎn)R（-4,3），S（0,5），l1與l2是否平行？ （2）l1 經(jīng)過點(diǎn)A（m，1）, B (-3,4), ）l2 經(jīng)過點(diǎn)C（1，m）, D (-1, m+1),確定m的值，使l1/l2。練習(xí)： 例（1

15、） l1的傾斜角為45，l2經(jīng)過點(diǎn)P（-2,-1），Q（3,-6）.例（2）已知點(diǎn)M（2,2）和N（5，-2），點(diǎn)P在x軸上，且MPN為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。練習(xí)：1.求a為何值時(shí)，直線l1：(a2)x(1a)y10與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？2.求過點(diǎn)P(1，1)，且與直線l2：2x3y10垂直的直線方程三、直線的方程1、點(diǎn)斜式: y-y0=k(xx0) (斜率存在，可為0)5、 斜截式： y=kx+b (b 是與y軸的交點(diǎn)) (斜率存在，可為0)6、 兩點(diǎn)式: = (斜率存在，不能為0)7、 一般式：Ax+By+C=0 (任意直線)8、 截距式：+=1 (斜率存在且不過原

16、點(diǎn)且不為0)典型例題例2.求過定點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程例3.已知ABC的頂點(diǎn)A(1，1)，線段BC的中點(diǎn)為D(3，) (1)求BC邊上的中線所在直線的方程；(2)若邊BC所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9，求BC所在直線的方程例4.方程(m2m3)x(2mm1)y2m6滿足下列條件，請(qǐng)根據(jù)條件分別確定實(shí)數(shù)m的值(1)方程能夠表示一條直線；(2)方程表示一條斜率為1的直線例5.直線l的方程為(a2)y(3a1)x1(aR)(1)求證：直線l必過定點(diǎn)；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(3)若直線l不過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍練習(xí)：1.若直線7x2ym0

17、在兩坐標(biāo)軸上的截距之差等于5，則m()A14B14 C0 D14或142、直線過點(diǎn)（3,2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程。3、經(jīng)過點(diǎn)A（-1,8），B（4，-2）的直線方程。4、已知A(1,2), B（3,1），求線段AB的垂直平分線方程。5、一條光線從點(diǎn)P（6,4）射出，與x軸相交于點(diǎn)Q（2，0）經(jīng)x軸反射，求入射光線和反射光線所在的直線方程。四、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1、求兩條直線的交點(diǎn)（聯(lián)立方程組）例（1）若三條直線：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x+ky+k+=0相交于一點(diǎn)，則k= （2）已知直線l1：x+y+2=0, l2：2x-3y-3=0,求經(jīng)過的交點(diǎn)且與已知直

18、線3x+y-1=0平行的直線l 的方程。3、 兩點(diǎn)間的距離公式P1P2= 例（1）已知點(diǎn)A（a,-5）與B（0,10）間的距離是17，求a 的值。例（2）已知點(diǎn)A（-1,2），B（2，），在x軸上求一點(diǎn)P，使PA=PB，并求的 PA值。例.直線l的方程為(a2)y(3a1)x1(aR)(1)求證：直線l必過定點(diǎn)；(2)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(3)若直線l不過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍五、點(diǎn)到直線的距離 例1：求點(diǎn)A(-2,3)到直線 l:3x+4y+3=0的距離 d= 例2：已知點(diǎn)（a,2）到直線l: x-y+1=0的距離為2，則a= (a0)例3:求直線 y=2x+3

19、關(guān)于直線l: y=x+1對(duì)稱的直線方程。練習(xí)：1.已知ABC中，A(2，1)，B(3，3)，C(2，6)，試判斷ABC的形狀2.求過點(diǎn)M(2，1)且與A(1，2)，B(3，0)兩點(diǎn)距離相等的直線方程3.已知點(diǎn)A(a，2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A. B2 C.1 D.14.已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，求ABC的面積六、兩平行直線間的距離例1：求平行直線l1:2x-7y-8=0與l2:6x-21y-1=0的距離例2：已知直線l1：（t+2）x+(1-t)y=1與 l2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。例3：求點(diǎn)A（2,2）關(guān)于

20、直線2x-4y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。練習(xí)：2. 兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6，2)和B(3，1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程2.求與直線l：5x12y60平行，且到l的距離為2的直線的方程例題解析例1. 在第一象限的中，.求邊的方程；和所在直線的方程.例2.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）.A B. C D思考：（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)如何求？（2）線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱線如何求？（3）線關(guān)于線的對(duì)稱線如何求？例3. 求經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.例4方程所表示的直線（ ）.A恒過定點(diǎn) B恒過定點(diǎn) C恒過點(diǎn)和

21、D都是平行直線 例5已知直線.若，試求的值；若，試求的值例6 .已知兩直線，求分別滿足下列條件的的值.直線過點(diǎn)，并且直線與直線垂直；直線與直線平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離相等.例7. 過點(diǎn)作直線分別交軸、軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程.例8點(diǎn)P(x,y)在x+y-4=0上，則x2+y2最小值為多少？達(dá)標(biāo)測(cè)試一、選擇題（每題3分，共36分）1直線x+6y+2=0在x軸和y軸上的截距分別是（ ） A. B. C. D.2，32直線3x+y+1=0和直線6x+2y+1=0的位置關(guān)系是（ ） A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直3直線過點(diǎn) (3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這直線方程為（ ）（A）2x3y0;（B）xy50;（C）2x3y0或xy50（D）xy5或xy504直線x=3的傾斜角是（ ） A.0 B. C.p D.不存在5圓x2+y2+4x=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（ ） A.(2,0),2 B.(2,0),4C.(2,0),2 D.(2,0),46點(diǎn)（-1，2