2021屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)層級二專題二三角函數(shù)與解三角形第二講三角恒等變換與解三角形學(xué)案理含解析

1、第二講三角恒等變換與解三角形1(2019全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知asin absin b4csin c，cos a，則()a6 b5c4 d3解析：選aasin absin b4csin c，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos a，6.故選a2(2019全國卷)tan 255()a2 b2c2 d2解析：選dtan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故選d3(2018全國卷)在abc中，cos，bc1，ac5，則ab()a4 bc d2解析：選acos，cos c2cos21221.在abc中，由余弦定理

2、，得ab2ac2bc22acbccos c521225132，ab4.故選a4(2018全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若abc的面積為，則c()a bc d解析：選csabsin cabcos c，sin ccos c，即tan c1.c(0，)，c.故選c5(2018全國卷)已知sin cos 1，cos sin 0，則sin()_.解析：sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().答案：6(2018全國卷)在平面四邊形abcd中，adc90，a45，ab2，bd5.(1)求

3、cosadb；(2)若dc2，求bc.解：(1)在abd中，由正弦定理得，即，所以sinadb.由題設(shè)知，adb90，所以cosadb .(2)由題設(shè)及(1)知，cosbdcsinadb.在bcd中，由余弦定理得bc2bd2dc22bddccosbdc25825225，所以bc5.7(2019全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sin bsin c)2sin2asin bsin c(1)求a；(2)若ab2c，求sin c解：(1)由已知得sin2bsin2csin2asin bsin c，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos a.因為0a180，所以a60

4、.(2)由(1)知b120c，由題設(shè)及正弦定理得sin asin(120c)2sin c，即cos csin c2sin c，可得cos(c60).因為0c0，sin()0，所以為第四象限角，為第二象限角，因此sin()，cos()，所以sin 2sin()()1.因為為銳角，所以2，所以sin(3)sin(2)cos()，故選b解法二：同解法一可得，sin()，cos().所以cos 2()2cos2 ()1221，sin 2()2sin()cos()2.所以sin(3)sin2()()sin 2()cos()cos 2()sin().故選b(3)解法一：由已知得cos 1sin .代入si

5、n2cos21，得sin221，整理得sin2sin 0，解得sin 0或sin .因為(0，)，所以sin ，故cos 1.所以tan .故選a解法二：因為sin 2sin cos ，cos 12sin2 ，所以sin 2cos 2可以化為2sin cos 22，化簡可得2sin cos 4sin2 ，因為(0，)，所以式可化為2cos 4sin ，即tan .答案(1)b(2)b(3)a| 規(guī) 律 方 法 |給角求值與給值求值問題的解題策略給角求值一般給出的角都是非特殊角，解題關(guān)鍵是進(jìn)行角的變換和式子結(jié)構(gòu)的變換變換思路：(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；(2)化為正、負(fù)相消的項消去求值給值求值

6、解題關(guān)鍵在于“變角”把待求三角函數(shù)值的角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍不確定時應(yīng)分類討論應(yīng)注意公式的靈活運(yùn)用，還要會拆角、拼角等技巧|練題點|1(一題多解)(2019福建五校第二次聯(lián)考)已知cos，則sin 2()a bc d解析：選c解法一：因為cos，所以sin 2sincos 2cos21221.故選c解法二：令，則，因為cos ，所以sin 2sinsincos 22cos21221.故選c解法三：因為cos，所以(cos sin )，所以cos sin ，平方得1sin 2，即sin 2.故選c2(2019山東三校聯(lián)考)已知sin 2，則cos2()a bc d解析：選c

7、sin 2cos2cos21，則cos2.3(2019廣西三市聯(lián)考)已知x(0，)，且cos2xsin2x，則tan()a bc3 d3解析：選a由cossin2x得sin 2xsin2x，則2sinxcosxsin2x.x(0，)，tan x2，tan.考點二正弦定理、余弦定理|析典例|【例】(1)(2019南昌市重點中學(xué)段考)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若asin bcos ccsin bcos ab，且ab，則b等于()a bc d(2)(一題多解)(2019山西一模)在abc中，設(shè)a，b，c分別是角a，b，c所對邊的邊長，且直線bxycos acos b0與ax

8、ycos bcos a0平行，則abc一定是()a銳角三角形 b等腰三角形c直角三角形 d等腰或直角三角形解析(1)asin bcos ccsin bcos ab，由正弦定理得sin asin bcos csin csin bcos asin b，又sin b0，sin acos csin ccos a，sin(ac).acb，sin(b)，sin b，又ab，ab，b為銳角，b，故選d(2)解法一：(邊化角)由兩直線平行可知bcos bacos a0，由正弦定理可知sin bcos bsin acos a0，即sin 2bsin 2a0，故2a2b或2a2b，即ab或ab.若ab，則ab，c

9、os acos b，兩直線重合，不符合題意，故ab，即abc是直角三角形解法二：(角化邊)由兩直線平行可知bcos bacos a0，由余弦定理，得ab，所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以ab或a2b2c2，若ab，則兩直線重合，不符合題意，故a2b2c2，即abc是直角三角形答案(1)d(2)c| 規(guī) 律 方 法 |正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理注：應(yīng)用定理要注意“三統(tǒng)

10、一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”|練題點|1abc的三個內(nèi)角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c，asin asin bbcos2aa，則()a2 b2c d解析：選d由asin asin bbcos2aa及正弦定理得sin asin asin bsin bcos2asin a，即sin bsin a，所以.故選d2在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊長分別為a，b，c，已知a2c2b，且sin(ac)2cos asin c，則b()a6 b4c2 d1解析：選c由題意，得sin acos ccos asin c2cos asin c，即sin acos c3cos asin c，由正、余弦

11、定理，得a3c，整理得2(a2c2)b2.又a2c2b，聯(lián)立得b2，故選c3(2019廣東百校聯(lián)考)在abc中，tan(bc)tan ，ab2，ac3，則bc_.解析：tan (bc)tan atan 0，所以tan ，則a.因為bc2ab2ac22abaccos a19，所以bc.答案：考點三解三角形|多角探明|命題角度一利用正、余弦定理求解三角形的基本量問題【例1】(一題多解)(2019廣州模擬)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且滿足a2，acos b(2cb)cos a.(1)求角a的大?。?2)求abc的周長的最大值解(1)解法一：由已知，得acos bbcos a2cc

12、os a.由正弦定理，得sin acos bsin bcos a2sin ccos a，即sin(ab)2sin ccos a.因為sin(ab)sin(c)sin c，所以sin c2sin ccos a.因為sin c0，所以cos a.因為0a，所以a.解法二：由已知及余弦定理，得a(2cb)，即b2c2a2bc，所以cos a.因為0a，所以a.(2)解法一：由余弦定理a2b2c22bccos a，得bc4b2c2，即(bc)23bc4.因為bc2，所以(bc)2(bc)24，即bc4(當(dāng)且僅當(dāng)bc2時等號成立)，所以abc6.故abc的周長的最大值為6.解法二：因為，且a2，a，所以

13、bsin b，csin c所以abc2(sin bsin c)224sin.因為0b，所以當(dāng)b時，abc取得最大值6.故abc的周長的最大值為6.| 規(guī) 律 方 法 |用正、余弦定理求解三角形基本量的方法命題角度二正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例2】 (2019廣東佛山質(zhì)檢)如圖，在平面四邊形abcd中，abc，abad，ab1.(1)若ac，求abc的面積；(2)若adc，cd4，求sin cad.思路分析第(1)問：求abc的面積，想到面積公式sabsin cbcsin aacsin b已知abc、ab、ac，可用余弦定理求bc第(2)問：求什么，如何想求sin cad，想到利用正弦定理

14、建立關(guān)于cad的等量關(guān)系給什么，如何用已知adc、cd，可在acd、abc中用正弦定理建立關(guān)系求解規(guī)范解答(1)在abc中，由余弦定理得，ac2ab2bc22abbccos abc，即51bc2bc，解得bc，所以sabcabbcsin abc1.(2)設(shè)cad，在acd中，由正弦定理得，即.在abc中，bac，bca，由正弦定理得，即.兩式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又sin2cos21，故sin ，即sin cad.| 規(guī) 律 方 法 |(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形時，應(yīng)注意以下幾點：若已知等式(或不等式)中左、右均有角的正弦，也可利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為

15、角的關(guān)系；若已知等式(或不等式)中左、右均有角的正弦，也可利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；否則，可考慮使用余弦定理(2)求解平面幾何中的有關(guān)量時，由于圖形中的三角形不止一個，因此需要合理分析、確定求解的順序，一般先將所給的圖形拆分成若干個三角形，根據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序，再根據(jù)各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求得結(jié)果|全練題點|1(2019全國卷)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知asinbsin a.(1)求b；(2)若abc為銳角三角形，且c1，求abc面積的取值范圍解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sin asinsin bsin a.因為sin a0，

16、所以sinsin b由abc180，可得sincos，故cos2sincos.因為cos0，所以sin，所以b60.(2)由題設(shè)及(1)知abc的面積sabca.由(1)知ac120由正弦定理得a.由于abc為銳角三角形，故0a90，0c90.結(jié)合ac120，得30c90，所以a2，從而sabc.因此，abc面積的取值范圍是.2(2019陜西模擬)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且滿足bcos a(2ca)cos(b)(1)求角b的大??；(2)若b4，abc的面積為，求ac的值解：(1)bcos a(2ca)cos(b)，由正弦定理可得，sin bcos a(2sin csin a)cos bsin(ab)2sin ccos bcos b.0b，b.(2)由sabcacsin b，得ac4.又b2a2c22accos b，即b2a2c2ac(ac)2ac