醫(yī)用高等數(shù)學(xué)課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的運算二、反函數(shù)求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則一、四則運算求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則五、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)五、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)六、高階導(dǎo)數(shù)六、高階導(dǎo)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理2-2為為且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)處處可可導(dǎo)導(dǎo)對對應(yīng)應(yīng)點點在在而而處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),)(,)(,)( xxfyuxufyxxu 即即 因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo)求導(dǎo)，乘以

2、中間變量對自變量求導(dǎo). .( (鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) ) )()()(xufxf或或dxdududydxdy推廣推廣),(),(),(xvvuufy設(shè)設(shè)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為)(xfy.dxdvdvdududydxdy)()()(xvufy或或解解則則令令,sin,34xxuuy)sin()(34xxudxdududyy)cos3(423xxu)cos3()sin(4233xxxx解解則則令令,cos,ln2xvvuuy例例2-12 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y43)sin(xxy例例2-13 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y2coslnxy )()(cos)(ln2xvudxdvdvd

3、ududyy22tan2)2()sin(1xxxxu例例2-14 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y3221xy 比較熟練后比較熟練后,中間變量不必寫出來中間變量不必寫出來,直接按鎖鏈法則對直接按鎖鏈法則對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).解解)21 ()21 (31)21(2322312xxxy)4()21 (31322xx322)21 (34xx 例例2-15 證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 對任意實對任意實數(shù)指數(shù)數(shù)指數(shù) 成立成立.1)(aaaxxa證明證明 將將 化為化為 ,則則axy xaeyln)ln()(lnlnxaeeyxaxa11lnaaxaaxaxxxae例如例如,xxxx2121

4、)()(21212211)()1(xxxx例例2-16 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求yxxysin)ln(sin)(lnsinlnsinxxeeyxxxx解解 為冪指函數(shù)為冪指函數(shù), 將其化為將其化為 ,則則xxeylnsinxxysin)(lnsinln)(sinsinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx例例2-17 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求yxxysinln2sin解解)sinln2(sinxxy)sin(ln2sinsinln)2(sinxxxxxxxxxcossin12sinsinln2)2(cosxxx2cos2sinln2cos2四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果聯(lián)系

5、兩個變量如果聯(lián)系兩個變量 和和 的函數(shù)式是由方程的函數(shù)式是由方程 來確定的，這樣的函數(shù)稱為來確定的，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)隱函數(shù).0),(yxfyx.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化例如例如013 yx31xy（顯化）（顯化）15sin345xxyy（不能顯化）（不能顯化）問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)? 直接從方程直接從方程 兩邊來求導(dǎo)兩邊來求導(dǎo),稱為隱函數(shù)的稱為隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則.0),(yxf 例例2-20 已知函數(shù)已知函數(shù) 是由橢圓方程是由橢圓方程 所確定所確定的的,求求 yy

6、解解 方程兩邊分別關(guān)于方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo)求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運算法則有和四則運算法則有x02222ybyax解得解得yaxby2212222byax 例例2-21 已知函數(shù)已知函數(shù) 是由方程是由方程 確定的確定的.求求 和和yy0 xy 解解 方程兩邊分別關(guān)于方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo)求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運算法則有和四則運算法則有xyxyyey解得解得xeyyy. 1,0yx從從原原方方程程解解得得時時當(dāng)當(dāng)1100exeyyyxyx所以所以exyey對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 方法方法: 先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的

7、求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形函函數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘除除和和冪冪指指xvxu解解 兩邊取對數(shù)，得兩邊取對數(shù)，得)4ln() 3ln() 2ln() 1ln(31lnxxxxy兩邊對兩邊對 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得x例例2-23 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y3)4)(3()2)(1(xxxxy)41312111(311xxxxyy)41312111()4)(3()2)(1(313xxxxxxxxy所以所以解解 兩邊取對數(shù)，得兩邊取對數(shù)，得xxytanlnsinln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxxyy2sectan1sin

8、tanlncos1xxysin)(tan例例2-24 已知函數(shù)已知函數(shù) ,求求y)sectanln(cosxxxyy)sectanln(cos)(tansinxxxxx五、參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、參數(shù)方程確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程若參數(shù)方程)()(tytx可確定一個可確定一個 y 與與 x 之間的函數(shù)之間的函數(shù))(, )(tt可導(dǎo)可導(dǎo), 且且,0 )( )(22tt則則0)( t時時, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt關(guān)系關(guān)系,ttttdtdxdtdydxdy21121122解：的導(dǎo)數(shù)。所確定的函數(shù)求由參數(shù)方程例)(arctan1)1ln(. 52xyytytx 六、

9、高階導(dǎo)數(shù)六、高階導(dǎo)數(shù)即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù),)()(xxfxfxxfxxfxfx)()(lim) )(0.)() )(,處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在xxfxf記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), .)(,),(4444)4()4(dxxfddxydyxf二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.)(,),(3333dxxfddxydyxf 記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,

10、nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).例例1 已知指數(shù)函數(shù)已知指數(shù)函數(shù) ( 為常數(shù)為常數(shù)) ,求求axey a)(ny解解,axaey ,2axeay ,3 axeayaxnneay)(例例2 已知已知 次多項式次多項式 nnnnnaxaxaxp 110)(求求 的各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù).)(xpn12110) 1()( nnnnaxanxnaxp解解231202)2)(1() 1()( nnnnaxannxannxp 00)(!12) 1()(anannxpnn 0)()()2()1( xpxpnnnn例例3 ).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解:211xy)11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 02