破解橢圓中最值問題地常見策略

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案破解橢圓中最值問題的常見策略有關(guān)圓錐曲線的最值問題，在近幾年的高考試卷中頻頻出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)需有所重視。圓錐曲線最值問題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類難題， 也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。 要解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、 數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，以及利用函數(shù) 單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決。本文通過具體例子，對(duì)橢圓中的常見最值問題進(jìn)行 分類破解。第一類：求離心率的最值問題破解策略之一：建立a,b,c的不等式或方程2 2例1：若A,B為橢圓X2 y2 1(a b 0)

2、的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，Q為橢圓上一點(diǎn)，使 AQB 1200， a b求此橢圓離心率的最小值。分析：建立a,b,c之間的關(guān)系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化為邊的思想，但條件又不是與焦點(diǎn)有關(guān)，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式運(yùn)用橢圓中x, y的取值進(jìn)行求解離心率的最值。解：不妨設(shè) A(a,0), B( a,0),Q(x, y)，kAQ丄kBQx a利用到角公式及AQBy1200得：tan 1200又點(diǎn)A在橢圓上,故x2x a x a a22t y，消去x，b化簡(jiǎn)得y2 2 2則 4a (a c )3c4，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的高次不等式 3e42ab22ab2亦又y b即

3、宇2寸64e 40解得 e3文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案故橢圓離心率的最小值為弓。（或2ab忌 去2 b2）,得：唁弓，由e . 1（b）2，故上6 e 1）（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結(jié)合求最值）V a3點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何建立a,b,c之間的關(guān)系。常用橢圓上的點(diǎn)（x, y）表示成 a,b,c，并利用橢圓中x,y的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍2 2例2 :已知橢圓 C：篤 每 1（a b 0）兩個(gè)焦點(diǎn)為F|, F2，如果曲線 C上存在一點(diǎn) Q，使 a bRQF2Q，求橢圓離心率的最小值。分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所

4、提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會(huì)有不錯(cuò)的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：2c PF1 PF2PF1 PF22asin 90 sin sin sin cos sin cos12si n(45)2 ，故橢圓離心率的最小值為2文檔大全點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此法求最值問題關(guān)鍵是掌握邊角的關(guān)系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳 暗花明又一村。第二類：求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問題破解策略之三：建立相關(guān)函數(shù)并求函數(shù)的最值F面第三類、第四類最值也常用此法）1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn) F是橢圓的右焦點(diǎn),2 2x y例3 :（ 05年上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓 3620點(diǎn)P在橢圓上，且位于 x軸上方

5、，PA PF（1 ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2 ）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案AB上的一點(diǎn)，M至煩線AP的距離等于|MB |，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) M的距離d的最小值。分析：解決兩點(diǎn)距離的最值問題是給它們建立一種函數(shù)關(guān)系，因此本題兩點(diǎn)距離可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解。設(shè)點(diǎn)M( m,0),則M到直線AP的距離是(2)直線AP的方程是x ,3 y +6=0 。解：(1)略m 6于是1 = m26 ,又6w m 6,解得m=2。設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離d.2/r、22d (x 2) y25 2 49 2x 4x 4 20 -x(x -) 15 ,992m 62由于-6 1）, P為li上的動(dòng)點(diǎn)，使

6、/ FiPFiy記為Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（并用m表示）。分析：本題考查解析幾何中角的最值問題常采用到角 （夾角）公式或三角形中的正弦（余弦） 本題的實(shí)際，考慮用夾角公式較為妥當(dāng)。2 2解：（I）（過程略）4（II）設(shè) P（ m,y）,| m|定理，結(jié)合AiO F2A2 X當(dāng)yo 0 時(shí)，0直線PFi的斜率Kita nK2131當(dāng)yF1PF2mKiy。1F1PF21 K1K20時(shí),PFiMF1PF2直線PF2的斜率2|y|m2 1 y只需求tan FiPF2的最大值即可。電，利用夾角公式得:m 12|y|K22、m2 1 |y |文檔大全當(dāng)且僅當(dāng)m21 = | y |時(shí),F1PF2最大，最大值為 a

7、rctan V m2 1點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何將角的最值問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識(shí)最值問題,實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案般可用到角(夾角)公式、余弦定理、向量夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的值域問題。第四類：求(三角形、四邊形等)面積的最值問題2例6 :(05年全國(guó)II)P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓X2 工1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的2隹uiu uuuuuuu iuruuu uuuia點(diǎn)已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF MF 0 求四邊形PMQN的面積的最小 值和最大值.分析：本題是向量與解析幾何的結(jié)合，主要是如何選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)拿娣e計(jì)算公式達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn) 算過程，并結(jié)合分類討論與求最值的思想。解

8、：如圖，由條件知MN NM中至少有一條存在斜率，將此式代入橢圓方程得和PQ是橢圓的兩條弦， 相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQ丄MN，直線PQ、 不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點(diǎn)F(0,1),故PQ的方程為y = kx+1.22 k ) x +2 kx 仁0(X1, %), (X2, y2),則k 2k2 22 k2(2+設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為k J2k2 22 k2,X2Xi2 2從而 | PQ | (Xi X2)(yi y2)28(1 k2)2(2 k2)2亦即|PQ|甘小(1)當(dāng) k MO 時(shí),同上可得：|MN |2 k22j(1 (1 1)2)MN的斜率為一故所求四邊形的面積PQ|MN

9、|22 14(1 k2)(1 -2) k21(2 k2)(2 -2) k2 14(2 k2 -2)k5 2k2 $ k221令u = k22得Sk21 2(15 2u當(dāng)k=05 2u)當(dāng)k= 1時(shí)u=2 , S= 且S是以u(píng)為自變量的增函數(shù)。9時(shí)，MN為橢圓長(zhǎng)軸，|MN |=22, |PQ|=1692文檔大全綜合知四邊形 PMQN的最大值為2，最小值為16。9實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是選擇一個(gè)適當(dāng)或合理的面積公式轉(zhuǎn)化成常見函數(shù)一一反比例 函數(shù)形式的最值問題。第五類：求線段之和(或積)的最值問題破解策略之五：利用垂線段小于等于折線段之和。2 2x y例7 :若橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)P 1,

10、1，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn) M使得|MP| 2|MF |的43值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為2 爲(wèi)2633A (,1)B. (,1)C. (1, -)D. (1-)33221提示：聯(lián)系到e 將2| MF |用第一定義轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離問題，利用垂線段最短2的思想容易得到正確答案。選B。思考：將題中的 2去掉會(huì)怎樣呢？破解策略之六：利用三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊2 2例8 :如圖，在直線丨：x y 90上任意取一點(diǎn) M，經(jīng)過M點(diǎn)且以橢圓-1的焦點(diǎn)123作橢圓，問當(dāng) M在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少?分析：要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，當(dāng)然想到橢圓的定義。基本的

11、解題思路如下：長(zhǎng)軸最短三點(diǎn)一直線尋求對(duì)稱對(duì)稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運(yùn)用對(duì)稱，使我們找到一種| NF2 | | F2F1/ |解：橢圓的兩焦點(diǎn)分別為 Fi （ 3 , 0 ）、F2 （3,0 ）,作Fi關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)Fi，則直線Fi Fi的方程為x y 3x y3由方程組y得p的坐標(biāo)（一6，3），x y9由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的 Fi坐標(biāo)（一9,6 ），所以直線F2F；的方程x 2y 3。解方程組 x 2y 3 得皿點(diǎn)坐標(biāo)（5,4）。由于FiF2 J面 2a 6/5，x y 9點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題是將所求的最值轉(zhuǎn)化成三角形兩邊之和大于第三邊或兩點(diǎn)連線最短、 垂線段最短的思想。除了上述幾

12、類之外，高考中還有數(shù)量積的最值問題、直線斜率（或截距）的最值問題等等， 由此可見對(duì)于橢圓中的最值問題所涉及范圍較廣，從中也滲透了求最值的一些常規(guī)方法，運(yùn)用定 義、平面幾何知識(shí)可更有效地將最值問題轉(zhuǎn)化成形的最值問題。橢圓中的最值問題一：求離心率的最值問題2 2AQB i200,x yi：若A,B為橢圓 2 i（a b 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，Q為橢圓上一點(diǎn)，使a b求此橢圓離心率的最小值。2 22 :已知橢圓C： 占 1（a b 0）兩個(gè)焦點(diǎn)為F1, F2，如果曲線C上存在一點(diǎn)Q，使RQ F2Q , a b求橢圓離心率的最小值。:求點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線）的最值問題2 23 : （05年上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓-

13、 y1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn) F是橢圓的右焦3620點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于 x軸上方，PA PF。（ 1 ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2 ）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸 AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于| MB |，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn) M的距離d的最小值。4 :定長(zhǎng)為的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。文檔大全三：求角的最值問題5 :（05年浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)Fi，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的 長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)為 M , |MAi| ： |AiFi|= 2 : 1。（I ）求橢圓的方程；（n ）若直線I1: x= m（|m| 1）, P為h

14、上的動(dòng)點(diǎn)，使/ F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（并用m表示）。四：求面積的最值問題22 V例6 : （05年全國(guó)II） P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的2uuuiuuun uururnr uun焦點(diǎn).已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF MF 0 .求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.五：求線段之和（或積）的最值問題2 2x y7:若橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)P 1,1 , F為右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn) M使得43|MP | 2|MF |的值最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）2 6 （ ,1）B. (- -,1) C. (1, -) D . (1,?)3228 :如圖,在直線

15、l:xy 9 0上任意取一點(diǎn)M，經(jīng)過M點(diǎn)且以橢圓2X1221的焦點(diǎn)作橢3圓，問當(dāng)M在何處時(shí),所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出最短長(zhǎng)軸為多少?9已知點(diǎn)2XF是橢圓2521的右焦點(diǎn)，M使這橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（ 2,2 ）是一個(gè)定點(diǎn)，求|MA|+|MF|9的最小值。10已知定點(diǎn)2 x (2 , 1 ), F( 1 , 0)是橢圓一m2y1的一個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，求|PA|+3|PF|8的最小值.2X11橢圓上252-1上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之積為 m，則m取最大值時(shí),9p點(diǎn)的坐標(biāo)是A (5,0)或/ 5 3丁3(5,0)( 2，5小32）或（2，T）（03）或（3）3X212求橢圓一16距離和最小距離2

16、2X y13已知1的焦點(diǎn)為Fi、F2，在直線l : x y 6 0上找一點(diǎn)M,求以Fi、F2為焦點(diǎn),95通過點(diǎn)M且點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的橢圓方程.運(yùn)用雙曲線模型解題數(shù)學(xué)問題“模型化”的主要思想就是構(gòu)造一種“實(shí)物”作為數(shù)學(xué)問題的元素，把數(shù)學(xué)問題中 元素間抽象的相互關(guān)系解釋為這種“實(shí)物”間的一種具體關(guān)系。于是，抽象的數(shù)學(xué)問題就有了一 種解釋，也就是把這個(gè)數(shù)學(xué)問題建立了一個(gè)“數(shù)學(xué)模型”。實(shí)踐表明，在解題過程中，建立和運(yùn)用模型思想，有利于整體性和創(chuàng)造性地處理問題。以下從六個(gè)方面就建立和運(yùn)用雙曲線模型解題作 點(diǎn)說明。1.解方程例 1.解方程 x2 4x 8 x2 8x 204簡(jiǎn)析與解：由兩根式差

17、為4，聯(lián)想到雙曲線的定義，可用雙曲線模型解題。原方程即為J(x 2)2 y2 J(x 4)2 y2 4y24式可看著動(dòng)點(diǎn) P(x , y)到定點(diǎn)(-2,0)與(4,0)的距離之差為4 ,由雙曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x , y)的軌跡是以(一2,0) , (4,0)為焦點(diǎn)，實(shí)、虛半軸長(zhǎng)分別為2 , . 5的(x-1)2v255雙曲線-1的右支，將y2 = 4代入解得x= 1 U (負(fù)455根舍去)即x = 1 + 口52.解不等式例2.解不等式.21 v sec a+tan aV 21簡(jiǎn)析與解：考慮到sec2 atan 2 a=1，可構(gòu)成雙曲線模型來解題。令x= sec a, y= tan a,則原

18、不等式等價(jià)于2 2x -y.2-1 x y令x + y = t (.2-1 t . 2 1),問題轉(zhuǎn)化為求使平行直線系y = x +1與等軸雙曲線有x2 y2=1及y= x+ t的圖象，知交點(diǎn)的一般雙曲線弧的范圍。在同一坐標(biāo)系中分別作出雙曲線1 v xv2 , 1 v y v 1原不等式的解集為a| 2k n 一 VaV2k n, k z 443.求值域例3求函數(shù)t = x+ . x2 - 2x 2的值域。簡(jiǎn)析與解：因?yàn)閥 = x2 -2x2的圖象就是雙曲線iJ0Xr亠j、*11y (x 1) = 1的上支，所以此題也可構(gòu)造雙曲線模型來解。將原函數(shù)變形為t x= x2 - 2x令y = t x

19、= x2 - 2x 2，則問題轉(zhuǎn)化為求直線l： y = t x與曲線C: y = .x2-2x2有交點(diǎn)的t的取值范圍，而曲線 C就是雙曲線y2 (x2 1) = 1的上支。在同一坐標(biāo)系中作出曲線 C及直線I的圖象，知t 1。原函數(shù)的值域?yàn)?t | t 14.確定字母的取值范圍例4.已知a 0且a工1,試求使方程2log a(x ak) = loga (x2 a2)有解的k的取值范圍。簡(jiǎn)析與解：原方程等價(jià)于x ak = x2 a2 0 ,i 聯(lián)想到y(tǒng)= x2 a2的圖象是雙曲線x2 y2= a2在x軸上方 部分，于是可考慮用雙曲本模型來解題。令y = x ka = x2 a2，原題轉(zhuǎn)化為平行直線

20、系 y = x ak實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案等軸雙曲線X2 y2 = a2在x軸上方有交點(diǎn)的條件。 在同一坐標(biāo)系中作出雙曲線 X2 y2= a2與直線y = x ak在x軸上方的部分圖象，它們有交點(diǎn)的條件是-ak a或-a v -ak v 0kv 1 或 0v k v 15.求軌跡2 2 161 ( y)6.解應(yīng)用設(shè)x、y R , i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi) x、y軸正方向上的單位向量，向量 a = xi + (y + 5)j,b = xi + (y 5)j,且 |a| =|b|+ 6，求點(diǎn) M(x,y)的軌跡方程。簡(jiǎn)析與解：由la|=|b|+6即|a|-|b|= 6而聯(lián)想到雙曲線的定義，可構(gòu)造雙曲線模型解題

21、。VM (x,y)到定點(diǎn)Fi (0,-5 )、F2 ( 0 ,5)的距離分別等于 |a|、|b|,且|a| |b| = 6 v |F1F2|O 點(diǎn) M(x,y)的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，故所求軌跡方程為: 題。如圖，A村在B地的東北方向上，且離 B地相距6 2 km , C村在B村的正東方向，且與 B地相距4Km ,已知公路PQ上任一點(diǎn)到B、C兩地距離之差都為 2Km ,現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)變電房M (變電房可視為建在公路上)分別向 A村、C村送電，但A村有一村辦工廠，且電須用專用線路。因此向 A村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使所用電線最短，變電房應(yīng)建在A村的什么方向，

22、并求出 M到A村的距離。簡(jiǎn)析與解：v| MB I | MC I = 2 v| BC |M在以B、C 為焦點(diǎn)的雙曲線上，以直線 BC為x軸，BC為垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)：B ( 2,0 ) C ( 2,0 )、A ( 4,6 ),M點(diǎn)的軌跡方程為-y 1 , e= C 213a文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案右準(zhǔn)線I的方程為：x過 M 作 MN 丄 I 于 N，則 | MC | =2 | MN |依題意求2 | MA | + | MC |的最小值,即求2 (| MA | + | MN |)的最小值。由平幾知識(shí)可知，當(dāng) M、A、N共線時(shí)| MA | + | MN |最小。M ( 3,6)| AM |=

23、 4 . 13即變電房應(yīng)建在 A村的正西方向且距 A村(4 .13)km處。一個(gè)橢圓問題的六種解法直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)問題，通常采用判別式法去解決，然而在求解線段與圓錐曲線有公共點(diǎn)問題時(shí)，判別式法已不能用，所以覺得無從下手，下面對(duì)一道例題進(jìn)行多角度、新視角、全方 位地探究，以透視這類問題的求解規(guī)律。2a2 (a 0)與線段ab有公共點(diǎn)，求a例：已知定點(diǎn)A (1，1)，B (2，3)，橢圓C： X2專的取值范圍。解法1區(qū)域法如圖所示，根據(jù) A (1 , 1 ), B (2 , 3)的坐標(biāo)的特點(diǎn)以及橢圓的中心在原點(diǎn)，可知線段AB與橢圓C有公共點(diǎn)的充要條件是:12222a且a2a解得：.6一 34

24、a2 2所以，當(dāng) a -34時(shí)，線段AB與橢圓有公共點(diǎn)。2 2解法2代入法由題意知，線段AB的方程為：y2x1(1 x 2)，線段AB與橢圓C有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程組x22x2y_2a2，1，2上有實(shí)數(shù)解，從方程組中消去y得：6x2 4x 12a2分離參數(shù)得:2 1 2 1a23(x -)2-(1 x 2)，36即有a2 口，又 a2設(shè)橢圓C與線段AB的交點(diǎn)為M , M分有向線段 AB的比為 ，貝U0,由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式知M 1 213、及片h/i嵌1人【人匕入舟治聞舌毎曰.IVI,.IVaaivi口 j 土/x- q叩 糾 八 /|土 寸 11(172a2) 2(14 4a2)32a20,&

25、口 32 170 ,6v34解得：一a，又a所以a2222解法4向量法設(shè)橢圓C與線段AB的交點(diǎn)為M(x, y),則由平面向量共線的充要條件知AMMB(0)，又因?yàn)榻稽c(diǎn)M(x,1 2 2y) 一定在第一象限，所以y . 2(a x )，所以(x1, 、2(a2x2) 1)(2x, 3:.2(a2x2),解法3定比分點(diǎn)法文檔大全所以.2(a2X2) 1(32(a2x2)，0，所以 12(a2x2)又因?yàn)?所以丄234。2解法5參數(shù)法線段AB的參數(shù)方程為5(、5 t2坷50)將其代入橢圓方程并整理得:6t24、5t 1752a20，由參數(shù)t的幾何意義知，要使線段與橢圓有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程6t2 4、5t5172 a20，在，0上有一解,又因?yàn)榫€段BA的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t也是負(fù)的，故必有f(0)17f( 5)2a22a2解得3 a22172解法6距離法由題意知，線段AB的方程為y2x 1(1 x2），設(shè)橢圓C與線段AB的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M到線段AB的距離為0,由點(diǎn)到直線的距離的公式即可解得。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的橢圓問題實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案b22例1(2000年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽