沖激函數(shù)和階躍函數(shù)傅立葉變換

1、 3.6 3.6 沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點：重點：沖激函數(shù)和階躍函數(shù)傅里葉變換沖激函數(shù)和階躍函數(shù)傅里葉變換 難點：難點：傅立葉變換的推導傅立葉變換的推導沖激函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換沖激偶的傅里葉變換階躍函數(shù)的傅里葉變換階躍函數(shù)的傅里葉變換（1 1）沖激函數(shù)的傅里葉正變換）沖激函數(shù)的傅里葉正變換 f(t)= d(tf(t)= d(t) )(1(), 1)(0)ff（正實函數(shù)）一、沖激函數(shù)的傅里葉變換一、沖激函數(shù)的傅里葉變換 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，即：在整個頻率單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，即：在整個頻率

2、范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的。范圍內(nèi)頻譜是均勻分布的。 在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等在時域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。的所有頻率分量。 稱此頻譜為稱此頻譜為“均勻譜均勻譜”或或“白色譜白色譜”。0)(t) 1 (tw01)(wf其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：（2 2）沖激函數(shù)的傅里葉反變換）沖激函數(shù)的傅里葉反變換 其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：直流信號直流信號 f(tf(t)=e)=e (2)(,)20efef （正實函數(shù)）)()(wwf求求f(tf(t) )沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)。反過來，直流信號的頻譜是沖激函數(shù)。反過來，直流信號的

3、頻譜是沖激函數(shù)。w01)(w)(tf021t 求解直流信號的傅里葉變換求解直流信號的傅里葉變換解：采用寬度為解：采用寬度為 的矩形脈沖的矩形脈沖 的極限而求得。的極限而求得。22( )e u tu tf t0t( )2sfea0w22w0)2(e)(w)(tf0et 當當 時，矩形脈沖成為直流信號時，矩形脈沖成為直流信號f(tf(t)=e,)=e,其傅氏變換為：其傅氏變換為：若令若令sin()2 lim() ()222wwwf wesasaw)(limkwsakk2k比較上兩式可得到：比較上兩式可得到：)(2wewf當當e=1e=1時，時，)(2wwf)(211)(wtftft二、沖激偶信號的

4、傅里葉變換二、沖激偶信號的傅里葉變換 沖激偶函數(shù)：沖激偶函數(shù)：)(tf)( t)( )(ttf01t1w0)(wfw0)(w22(,0( ),2,( )0)2fjf （純虛函數(shù)）其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：推導：推導：解：解： dwetiftjwt21)(:兩邊求導：兩邊求導：dwejwdttdjwt)(21)(得：得：jwdttdft)(nftnnjwdttd)()(推廣：推廣： nnnftndwwdjt)()(2 222( ),10,0,02,021( )( )fjf （復函數(shù)）三、階躍信號的傅里葉變換三、階躍信號的傅里葉變換 階躍函數(shù)：階躍函數(shù)：階躍函數(shù)階躍函數(shù)u(tu(t) )不滿足不滿足絕對可積條件，但它絕對可積條件，但它仍存在傅里葉變換。仍存在傅里葉變換。2121)(tu)sgn(t)()f tu t01t 222( )1f w0可見：可見：單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)u(tu(t) )的頻譜在的頻譜在w=0w=0點存在一個沖激函數(shù)，點存在一個沖激函數(shù)，即：即：u(tu(t) )含有直流分量。含有直流分量。此外：由于此外：由于u(tu(t) )不是純直流信號，它在不是純直流信號，它在t=0t=0點有跳變，點有跳變，因此在頻譜中還存在其他頻率分量。因此在頻譜中還存在其他頻率分量。思考題思考題 1