有限元講義彈性力學平面問題有限單元法(四結(jié)點四邊形等參元-八結(jié)點曲線四邊形等參元-問題補充)分析

1、2.6 四結(jié)點四邊形單元(The four-node quadrilateral element) 前面介紹了四結(jié)點的矩形單元其位移函數(shù): 為雙線性函數(shù)，應力，應變在單元內(nèi)呈線性變化，比常應力三角形單元精度高。但它對邊界要求嚴格。本節(jié)介紹的四結(jié)點四邊形等參元，它不但具有較高的精度，而且其網(wǎng)格劃分也不受邊界的影響。對任意四邊形單元（圖見下面）若仍直接采用前面矩形單元的位移函數(shù)，在邊界上它便不再是線性的（因邊界不與x,y軸一致），這樣會使得相鄰兩單元在公共邊界上的位移可能會出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象（非協(xié)調(diào)元），而使收斂性受到影響?？梢则炞C，利用坐標變換就能解決這個問題，即可以通過坐標變換將整體坐標中的四邊形

2、（圖a）變換成在局部坐標系中與四邊形方向無關(guān)的邊長為2的正方形。 正方形四個結(jié)點i,j,m,p按反時鐘順序?qū)倪呅蔚乃膫€結(jié)點i j m p。 正方形的 和 二條邊界，分別對應四邊形的i，j邊界和p,m邊界；=-1和=+1分別對應四邊形的i，p邊界和j，m邊界。如果用二組直線等分四邊形的四個邊界線段，使四邊形繪成一個非正交網(wǎng)格，那么該非正交網(wǎng)格在正方形上對應著一個等距離的規(guī)則網(wǎng)格（見圖a, b）。 當然, 局部坐標上的A點與整體坐標的A點對應。 一、四結(jié)點四邊形等參單元的形函數(shù)及坐標變換由于可以將整體坐標下的四邊形單元變換成局部坐標下的正方形單元，對于這種正方形單元，自然仍取形函數(shù)為： 引入邊

3、界條件，即可得位移函數(shù)： 寫成矩陣形式： 式中形函數(shù): 按照等參元的定義,我們將坐標變換式亦取為: 式中形函數(shù)N與位移函數(shù)中的完全一致。 可以驗證，利用坐標變換式(2-6-1)，可以把整體坐標系中的任意四邊形單元（圖a）變換成在局部坐標系中與四邊形對應的邊長為的正方形。因此可以將上述位移函數(shù)和形函數(shù)用于任意四邊形單元，并將形函數(shù)中的,理解為任意四邊形單元的局部坐標。 這樣由位移函數(shù)可以得到單元各點的位移。在四條邊界上分別有和，故邊界上的位移呈線性變化，位移的連續(xù)性可得到保證。 于是，我們可以理解為：任意四邊形單元是從基本的正方形單元變換過來的實際單元。因此又稱正方形單元為母體單元，或基本單元。

4、 例題： 為了加深理解，現(xiàn)考察實際單元為矩形單元的坐標變換，在2.4節(jié)中，我們定義局部坐標與整體坐標的關(guān)系是： 式中(x0 , y0 )為局部坐標原點。由上第一式得： 將其重新組合： 對照2.4中的形函數(shù)表達式,便知: 自然同理可得: 由此知,矩形單元可以看作是四結(jié)點四邊形單元的特例，自然，它也是等參元。 有限元法概論（第二版）P172 中，是這樣解釋等參元的基本概念和推導方法的： 圖形變換 四結(jié)點正方形(母元) 圖形變換 四結(jié)點四邊形(等參元) (-平面內(nèi)) (x,y平面內(nèi)) 進行圖形變換的關(guān)鍵是進行圖形結(jié)點坐標之間的變換： 正方形結(jié)點坐標 坐標變換 四邊形結(jié)點坐標 (i,i) (x,y)

5、i=i,j,m,p i=i,j,m,p 為了實現(xiàn)上述結(jié)點坐標之間的變換，可利用母元的形函數(shù)，得出(,)和(x,y)之間的坐標變換式。 圖形變換具有如下性質(zhì): 1. 母元中的坐標線對應于等參元的直線；2. 四結(jié)點正方形母元對應于四個結(jié)點可以任意布置的直邊四邊形等參元；3. 變換式(2-6-1)能保證相鄰等參元的邊界位移彼此協(xié)調(diào)。 二、幾何矩陣B 已知單元的應變與結(jié)點位移之間的關(guān)系是: 形函數(shù)矩陣N只是局部坐標,的顯函數(shù),為求形函數(shù)對整體坐標x,y的偏導數(shù)，必須用復合函數(shù)求導公式: 或?qū)懗桑?式中: 稱為雅可比矩陣，而把它的行列式稱為雅可比行列式。把式(2-6-1)代入J得:將形函數(shù) 代入，分別對

6、,求偏導，即可得到四結(jié)點四邊形等參元的雅可比矩陣： 式中常數(shù)記為: 該雅可比矩陣的逆: 雅可比行列式: 可以證明，如果四結(jié)點四邊形的四個內(nèi)角都小于180的話，雅可比行列式|J|大于零，其逆陣J-1 是存在的。換句話說，為了使上述等參元能保持較好的精度，整體坐標系下所劃分的任意四邊形單元必須是凸四邊形，即任意內(nèi)角都不能大于180。四邊形也不能太歪斜，否則會影響其精度。 利用雅可比的逆矩陣，即可求出整體坐標系下形函數(shù)的偏導數(shù)： 求出全部偏導，即代回（2-6-2）右側(cè)，即可得到幾何矩陣B, B是的函數(shù),即:將(2-6-6)代入即可獲得B, B是的函數(shù)。 三、單元剛度矩陣 獲得B后,便可由單剛的一般表

7、達式: 求出四結(jié)點四邊形的單元剛度矩陣。在按上述公式作積分運算時,必須把面積元dxdy變換成,圖a上的面積元abdc的面積等于矢量與矢量的矢量積的模， 即微元沿軸對應于d的矢量增量是: 沿軸對應于的矢量增量是: 式中是坐標x,y的單位矢,注意到: 則有: 因此剛度矩陣的積分式: 在計算單元剛度矩陣K中元素時，由于被積函數(shù)中出現(xiàn)了雅可比行列式，使得它用解析法很難求其積分，故常采用高斯數(shù)值積分法. 四、數(shù)值積分1一維數(shù)值積分 基本思想:構(gòu)造一個多項目式，使在(i=1,2n)上有 ，然后用近似函數(shù)的積分來近似原被積函數(shù)的積分。稱為積分點或取樣點，積分點的數(shù)值和位置決定了近似的程度，亦即決定數(shù)值積分的

8、精度。 對于n個積分點,按照積分點位置的不同選擇，通常采用兩種不同的數(shù)值積分方法，Newton-Cotes積分和高斯積分方案。 二者方法基本相同，只是前者的積分點i 是等間距分布,而后者不是等間距分布。高斯積分的積分點位置由下述方法確定： 定義n次多項式 由下列條件確定n個積分點位置 由上二式可見，有以下性質(zhì)： 在積分點上； 多項式與在（a, b）域內(nèi)正交。由此可見n個積分點的位置i是在求積域（a, b）內(nèi)與正交的n次多項式構(gòu)成方程的解。 于是,被積函數(shù)可由2n-1次多項式來近似。 是n-1階Lagrange插值函數(shù) 用 近似, 并考慮上面確定n個積分點位置的約定條件得: 式中 Hi稱為積分的

9、權(quán)系數(shù)(加權(quán)系數(shù), 權(quán))，可見加權(quán)系數(shù)Hi與被積函數(shù)無關(guān)，只與積分點個數(shù)和位置有關(guān)。 為便于計算積分點位置i 和加權(quán)系數(shù)Hi , 常將上式中的積分限規(guī)格化，即令: 由此計算出的 , Hi 對應于原積分域(a, b)的關(guān)系為: 對于多重積分，按重積分規(guī)則，計算內(nèi)層時，保持外層為常數(shù)，逐層計算即可。 有關(guān)數(shù)值積分更詳盡的資料可參閱其教科書。 2等參元計算中數(shù)值積分階次的選擇 數(shù)值積分中，如何選擇積分階次將直接影響計算精度、工作量，選擇不當則有可能使計算失敗。選擇積分階次的原則首先是要保證積分的精度能滿足所求問題的要求。 如一維問題：設：插值函數(shù)中的多項式階數(shù)為p， 微分算子中導數(shù)的最高階為m，則有

10、限元得到的近似能量是2(p-m)次多項式。若被積函數(shù)是2(p-m)次多項式，應選高斯積分的階次為n=p-m+1。 三結(jié)點三角形單元（線性單元）剛度矩陣中被積函數(shù)是常數(shù)，故只需一個積分點。 雙線性單元 p-m+1=1, 但插值函數(shù)將包含有二次項（2 ,2 ）中的項，所以要達到精確積分應采用22階的高斯積分。有的有限元書中列出了不同插值函數(shù)的高斯積分點數(shù)n及相應積分點坐標和權(quán)系數(shù)Hi的值，可供編寫有限元程序時參考。五、四邊形等參元的荷載等效變換四邊形等參元等效結(jié)點荷載的計算，仍然利用局部坐標體系。1集中力設在單元上任意一點C作用有一集中力,根據(jù)荷載等效變換的一般公式，其等效結(jié)點荷載計算公式是： 式

11、中，是形函數(shù)N在集中力作用點C上的值。2體積力設在單元上作用有單位體積力，其等效結(jié)點荷載的計算公式是： 3分布力設單元的某一邊界上承受的分布表面力是，其等效結(jié)點荷載的計算公式是，當分布力作用在單元ij, mp邊界上時： 當分布力作用在單元ij, mp邊界上時： 2.7 八結(jié)點曲線四邊形等參元 在常規(guī)有限元程序的單元庫內(nèi)，目前工程上對平面問題最適用的是八結(jié)點等參元。下面作一簡要介紹。單元及結(jié)點編號如圖a所示，位移和力列向量仍采用與前面類似的排列方式。為了構(gòu)造其位移函數(shù)，按照前面等參元的概念，可先構(gòu)造八結(jié)點正方形母體單元的位移函數(shù)（圖b），并取為雙二次插值位移函數(shù)： 代入邊界條件，得到用結(jié)點位移d

12、表示的位移場: 式中的形函數(shù): 按照等參元的定義，實際單元映射成正方的母體單元的坐標變換式與式2-7-2等同,得: 前面我們在推導單元剛度矩陣時，都是假定單元結(jié)點編號從左下角開始，逆時針編號。從有限元理論上說，其編號應該是可以任意的。下面給出一種不同結(jié)點編號的例子。實際單元 基本單元2.8 幾個問題的補充 一、變厚問題 各單元取不同t。 二、不同材料問題 各單元取不同E,三、平面應力與平面應變問題在前面三角形單元的推導中，我們假定其為平面應力問題。工程中，還有另一類情形平面應變狀態(tài)。例如，在對壩體或遂洞等長柱體進行分析時，如果取xoy坐標平面與其橫截平面行,而Z軸與其長度方向一致（如圖） 那么

13、，由于所考察物體在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿長度方向變化的荷載作用，就可認為各個橫截面應處于同樣的狀況，即近似認為Z方向的位移分量W=0, (位移與Z無關(guān)) 于是，由彈性力學知，在六個應力分量中也僅有三個獨立分量x ,y 和xy, 而 不獨立。并可得到平面應變問題的物理方程。 ， 比較平面應力問題： ， ， 得知只需把應力問題中的E換成，換成即得應變問題。所以在這類問題的程序設計中，通?？梢酝瑫r求解應力和應變問題，只需設置一開關(guān)變量便可以實現(xiàn)。 四、各向異性材料在彈性矩陣D中反應。如正交各向異性時的彈性矩陣D為：（見 凱維奇有限元法，中P102104， 英 P98109 ） 五、設置不同類型的單元在工程中，同一構(gòu)件經(jīng)常要用到一種以上材料。如利用角、槽鋼等在開洞板內(nèi)作加強筋用。另一種情況是鋼筋混凝土構(gòu)件的全過程分析中，縱向受拉筋的單元劃分，如圖?；炷帘粍澇扇舾善矫嫒切螁卧?，而將縱向受力鋼筋（或箍筋）當作線單元（圖中紅線所示），也可把鋼筋等效成與混凝土疊合的三角形單元，但此時均為兩種不同材料。 有限元分析時，可認為結(jié)構(gòu)是由若干（面）單元（三角形或