第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章第三章 各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ) 3-1 各向異性彈性力學(xué)基本方程各向異性彈性力學(xué)基本方程 xyzxyzzyxxyzxyzzyxwvu,應(yīng)力分量：應(yīng)變分量：位移分量：基本未知量：基本未知量：基本方程：基本方程： 1、平衡方程、平衡方程0,ijijf)3 , 2 , 1,(ji 分量形式為：分量形式為：0yzyxyzyyx0xzyxxzxyx0zzyxzzyzx)(21,ijjiijuu2、幾何關(guān)系（小變形）、幾何關(guān)系（小變形）分量形式為：分量形式為：zvywyzxwzuzxzwzyuxvxyxuxyvyxzzxzxxz222220,ljkikiljijklklij)3 ,

2、 2 , 1,(lkji變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：六個(gè)應(yīng)變分量應(yīng)該滿足的一六個(gè)應(yīng)變分量應(yīng)該滿足的一個(gè)關(guān)系，即個(gè)關(guān)系，即6個(gè)獨(dú)立等式：個(gè)獨(dú)立等式：yxxyxyyx22222zyyzyzzy22222共有共有81個(gè)方程，但只有個(gè)方程，但只有6個(gè)是不同的，其余的個(gè)是不同的，其余的不是恒等式就是由于不是恒等式就是由于 ij的對(duì)稱性而都是重復(fù)的對(duì)稱性而都是重復(fù)的。的。 xzyxzyyzxyzxy22)(zyxzyxxyzxyzx22)(yxzyxzzxyzxyz22)(前三個(gè)分別是前三個(gè)分別是xy，yz，zx平面內(nèi)的平面內(nèi)的3個(gè)應(yīng)變量間個(gè)應(yīng)變量間的協(xié)調(diào)關(guān)系；而后三者則分別是正應(yīng)變和的協(xié)調(diào)關(guān)系；而后三者

3、則分別是正應(yīng)變和3個(gè)切個(gè)切應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。 )(*stniiij在)(*uiisuu在jijijijisc及)6 , 2 , 1,(jijiijcc jiijss3、邊界條件、邊界條件力邊界條件：力邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：4、各向異性本構(gòu)方程（小變形）、各向異性本構(gòu)方程（小變形）剛度矩陣剛度矩陣柔度矩陣柔度矩陣 jiijjiijscw2121 各向異性體的彈性應(yīng)變能為：各向異性體的彈性應(yīng)變能為：拉拉-拉耦合拉耦合（ 泊 桑 效（ 泊 桑 效應(yīng)）應(yīng)）剪剪-剪耦剪耦合合拉 剪 耦拉 剪 耦合合665544332211cccccc 616515414313212

4、1111ssssss3-2 各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程一、完全各向異性（21個(gè)彈性常數(shù)） 其中其中sij為柔度系數(shù)，為柔度系數(shù)， 4、 5和和 6即為剪應(yīng)即為剪應(yīng)力力 23、 31和和 12。可見各向異性體一般具有耦?？梢姼飨虍愋泽w一般具有耦合現(xiàn)象：正應(yīng)力引起剪應(yīng)變，剪應(yīng)力也可以合現(xiàn)象：正應(yīng)力引起剪應(yīng)變，剪應(yīng)力也可以引起正應(yīng)變；反之亦然。引起正應(yīng)變；反之亦然。 二、有一彈性對(duì)稱面（13個(gè)彈性常數(shù)）彈性對(duì)稱面彈性對(duì)稱面：沿這些平面的對(duì)稱方向彈性性：沿這些平面的對(duì)稱方向彈性性能是相同的。能是相同的。材料主軸（或彈性主軸）材料主軸（或彈性主軸）：垂直于彈性對(duì)稱：垂直于彈性對(duì)

5、稱面的軸。面的軸。 利用兩個(gè)方向下材料的應(yīng)變能密度表達(dá)式利用兩個(gè)方向下材料的應(yīng)變能密度表達(dá)式應(yīng)保持不變（即利用兩個(gè)坐標(biāo)系計(jì)算得到的單應(yīng)保持不變（即利用兩個(gè)坐標(biāo)系計(jì)算得到的單位體積應(yīng)變能的結(jié)果是相同的）可以推得：位體積應(yīng)變能的結(jié)果是相同的）可以推得： 24411421112ssw014s41,設(shè)僅有設(shè)僅有，即有，即有41而而在在x3變向時(shí)要變號(hào)，為保證變向時(shí)要變號(hào)，為保證w相同，相同，則有則有005635251546342414ssssssss6655454436332623221613121100000000sssssssssssss稱對(duì)同理：同理：獨(dú)立常數(shù)減少為獨(dú)立常數(shù)減少為13個(gè)，即個(gè)，即

6、 336126333331532322343131 ;0 ;0 ;ssss 03如果如果，其余應(yīng)力分量為零，則有：，其余應(yīng)力分量為零，則有：此公式說明：當(dāng)沿彈性主軸拉伸時(shí)，除縱向此公式說明：當(dāng)沿彈性主軸拉伸時(shí)，除縱向伸長、橫向收縮外，還會(huì)引起與主軸垂直的伸長、橫向收縮外，還會(huì)引起與主軸垂直的面內(nèi)剪應(yīng)變，且彈性主軸方向不變。面內(nèi)剪應(yīng)變，且彈性主軸方向不變。三、正交各向異性（三、正交各向異性（9 9個(gè)彈性常數(shù)）個(gè)彈性常數(shù)）正交各向異性是指有三個(gè)互相正交的彈性主軸正交各向異性是指有三個(gè)互相正交的彈性主軸的情況。（有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面）的情況。（有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面）321,xxx取取為三

7、個(gè)正交彈性主軸，如圖所示：為三個(gè)正交彈性主軸，如圖所示：045362616ssss 由由a）、）、b）兩坐標(biāo)系中計(jì)算的應(yīng)變能應(yīng)該）兩坐標(biāo)系中計(jì)算的應(yīng)變能應(yīng)該相同，而在兩坐標(biāo)系下：相同，而在兩坐標(biāo)系下：12311231,6565,（即（即）變號(hào)，可得：）變號(hào)，可得：即：即：665544332322131211000000000000sssssssss稱對(duì)123123233112321,gggeee由此可得由此可得：1）當(dāng)采用材料主軸來描述正交異性）當(dāng)采用材料主軸來描述正交異性體時(shí)，沒有任何拉剪耦合現(xiàn)象；體時(shí)，沒有任何拉剪耦合現(xiàn)象；2）在非材料主）在非材料主軸系里，正交異性材料仍有耦合現(xiàn)象。軸系里

8、，正交異性材料仍有耦合現(xiàn)象。 纖維在橫截面內(nèi)纖維在橫截面內(nèi)按矩形排列的單向纖按矩形排列的單向纖維復(fù)合材料，宏觀而維復(fù)合材料，宏觀而言則是一正交異性體。言則是一正交異性體。共有共有9個(gè)彈性常數(shù)：個(gè)彈性常數(shù)：jiij1軸沿纖維方向，并有軸沿纖維方向，并有，而是，而是ijijijeeij即即沒有對(duì)稱性。沒有對(duì)稱性。ijs可展開為：可展開為：)1 (223223eg 四、橫觀同性（5個(gè)彈性常數(shù)） 纖維在橫截面內(nèi)隨機(jī)排列的，宏觀而言，纖維在橫截面內(nèi)隨機(jī)排列的，宏觀而言，其在橫向的所有方向的彈性性能相同，則稱為其在橫向的所有方向的彈性性能相同，則稱為橫向同性。由于橫向同性，則在橫向同性。由于橫向同性，則在

9、2-3平面內(nèi)應(yīng)為平面內(nèi)應(yīng)為各向同性，則有各向同性，則有故只有故只有5個(gè)獨(dú)立常數(shù)：個(gè)獨(dú)立常數(shù)：2121,ee122312,gg23（或（或），），（或（或）666644222321232221121211000000000000000000000000ssssssssssss由工程應(yīng)變形式的展開式為：由工程應(yīng)變形式的展開式為：即：即：,e)(2000000)(2000000)(2000000000000121112111211111212121112121211sssssssssssssss五、各向同性（2個(gè)彈性常數(shù)）)1 (2eg1231231231232131323213212312123211)(1,gegggeeejiijsw21 0det , , 0 , 02221121111ijssssss六、彈性常數(shù)的取值范圍 判定依據(jù)是非零應(yīng)力狀態(tài)下，材料的彈性判定依據(jù)是非零應(yīng)力狀態(tài)下，材料的彈性應(yīng)變能位正值，應(yīng)變能應(yīng)是應(yīng)變（或應(yīng)力）的應(yīng)變能位正值，應(yīng)變能應(yīng)是應(yīng)變（或應(yīng)力）的正定二次型。正定二次型。wi s為為的正定二次型的充要條件是矩陣的正定二次型的充要條件是矩陣的所有主要主子式大于零，即：的所有主要主子式大于零，即：0e2112101、對(duì)于各向同性，可推得：、對(duì)于各向同性，可推得：實(shí)際上一般為：實(shí)際上一般為：2