第4章應(yīng)力和強度

1、第四章第四章 應(yīng)力和強度應(yīng)力和強度研究應(yīng)力和強度的必要性：研究應(yīng)力和強度的必要性：1.內(nèi)力最大的截面不一定是構(gòu)件最弱的截面2.同一個截面上的各點承擔(dān)的內(nèi)力也可能不同本章的主要內(nèi)容：本章的主要內(nèi)容：1. 正應(yīng)力、剪應(yīng)力的概念2.正應(yīng)力、剪應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系3.應(yīng)力的安全取值4.1 應(yīng)力和強度的概念應(yīng)力和強度的概念一、應(yīng)力一、應(yīng)力1.正應(yīng)力：在桿件的單位橫截面積范圍內(nèi)法向力的集合。單位：n/m2拉應(yīng)力： 壓應(yīng)力： 2.剪應(yīng)力：在桿件的單位橫截面積范圍內(nèi)切向力的集合。單位：n/m2二、強度二、強度容許應(yīng)力 強度計算的目的：保證截面的安全三、強度條件三、強度條件 強度計算的內(nèi)容強度計算的內(nèi)容：求出截面上

2、最大的應(yīng)力，與容許應(yīng)力比較 max maxmaxmax與內(nèi)力和截面形狀有關(guān)4.2 彎曲時的正應(yīng)力彎曲時的正應(yīng)力4.2.1 純彎曲梁abcdghefmmmm abcdghefr中性層中性層中性軸中性軸中性層中性層1.中性軸注意：任何截面的中性軸總是通過橫截面積的形心2.形心(1)形心一般是針對截面形狀而言的。 (2)形心與該面積的質(zhì)量無關(guān)，僅與其幾何形狀有關(guān)。daxxyyoaaxxd形心aayyd形心3.形心的計算首先建立坐標(biāo)系xyo1231x2x3x1y2y3yiiiaaxx形心iiiaayy形心塊面積第將面積分隔成若干塊之iai標(biāo)系中的坐標(biāo)值塊面積的形心在選定坐第iyxii,解：解：aayy

3、iicmm7 .397001200510706012010aazziic1012057010451200700197 . mm4.2.2彎曲時的正應(yīng)力abcdghefmmmm abcdghefry假設(shè)：hf和ge仍為直線y纖維ab的應(yīng)變原長伸長ababbadccdcdabdcdcba應(yīng)變rryr）（ry彈性模量應(yīng)變應(yīng)力ee彈性模量應(yīng)力應(yīng)變中性軸一定通過形心，是區(qū)分截面內(nèi)拉、壓應(yīng)力的分界點ryerey根據(jù)此公式導(dǎo)出m來代替式中的ydyyre距中性軸y處的纖維上的應(yīng)力為設(shè)窄條面積為dadayredaff對中性軸的力矩為dayredayf2整個橫截面上應(yīng)力對中性軸的合力矩為dayredayrem22

4、iday號為橫截面的慣性矩，符2iremreimyimyimreimreim1r1:曲率ei:抗彎剛度r1與m成正比與ei成反比梁抵抗彎曲變形的能力yim彎曲時的應(yīng)力分布4.3.1、慣性矩ydydayi2 截面上每一微面積與該微 面積至某一軸線距離平方的乘積的集合。bd2d2d2dayi中性軸2d2d2bdyy2d2d2dyyb2233ddyb123bdddayi02底dyb03333bd4.3 截面的幾何特征計算幾個矩形組合截面的慣性矩bbbdd1221233bdbdi中性軸b1b1b1d1d1b2b2b2323323322322311311dbdbdbdbi中性軸d2d2bbbd1d3)2

5、(32332331dbbbdbdi中性軸d2求某一截面對平行與中性軸的任一軸的慣性矩2daii中性軸軸線中性軸iad 通常工程中一個截面的慣性矩有兩個，分別對應(yīng)與以截面形心為原點的兩個坐標(biāo)軸。xyxiyi4.3.2截面抵抗矩 wmaxmaxyimmaxyimmaxyiw 令wm截面抵抗矩yimmaxyy 令maxwm 對于抗拉和抗壓強度相差很大的材料（如鋼筋混凝土、鑄鐵），使用中運用兩個最大允許應(yīng)力值（特別是非對稱截面）。11yiw 22yiw y1y2拉壓max拉max壓1maxwm拉1maxww壓承受正彎矩，截面下邊受拉時4.3.2截面回轉(zhuǎn)半徑i中性軸ia2iaiaii 注意：1.不管形狀

6、如何，截面都有回轉(zhuǎn)半徑2.圓截面的回轉(zhuǎn)半徑和半徑的不同2r2raii44ri2ra與慣性矩相對應(yīng)面積a對慣性矩i所取同一軸線的回轉(zhuǎn)半徑dayyzzosy azad,sz ayad定義為圖形對 軸和 軸的靜矩zyy ad4.3.4 靜矩一、一、 靜矩和形心靜矩和形心dayyzzosy azad,sz ayad形心坐標(biāo)：形心坐標(biāo)：yy aazz aacacadd,cyyczczo靜矩和形心坐標(biāo)之間的關(guān)系：靜矩和形心坐標(biāo)之間的關(guān)系：ysazsaczcycyyczczosyaszazcyc,1m2mp=1.5 kn例1 求c截面k點的正應(yīng)力12cm18cm6cmmknm325 . 1443310583

7、. 01218. 012. 012mbhi中性軸k24/308706. 010583. 03mknyimk中性軸kpa3087判斷正應(yīng)力性質(zhì)：截面彎矩為負，k點在中性軸上邊為拉應(yīng)力kc1m2mp=1.5 kn例2 求c截面k點的正應(yīng)力10cmk2cm2cm15cm1.求形心截面沿y軸對稱，形心的x坐標(biāo)在y軸上xy形心的y坐標(biāo)iiiaayy形心mknm325 . 11321025 . 613214102cm76. 9gxgxc10cmk2cm2cm15cmxygxgx2.求截面對中性軸的慣性矩30324. 004. 0230524. 01 . 033中性軸i30976. 002. 0344101

8、 . 0m24/29280976. 0101 . 03mknyimk中性軸kpa2928判斷正應(yīng)力性質(zhì)：截面彎矩為負，k點在中性軸下邊為壓應(yīng)力k例3 求工字形截面的回轉(zhuǎn)半徑1007550325mmxygxgx751005050aii 關(guān)鍵是求i形心有x，y兩個坐標(biāo)，慣性矩，回轉(zhuǎn)半徑也各有兩個值yxyxiiii1.求形心截面沿y軸對稱，形心的x坐標(biāo)在y軸上形心的y坐標(biāo)iiiaayy形心50250502255020025502505 .1625022530050200mm3 .1521231007550325xygxgx7510050501232.求截面對形心軸的慣性矩37 .12275237 .

9、17220033xi37 .102100233 .15225033481074. 4mm工字形截面面積a為250505022520050a233750125001125010000mm285 .18104375. 31074. 4mmix12200503yi12502253481001. 1mm12250503287 .54104375. 31001. 1mmiy4.4 梁的正應(yīng)力強度計算對于梁的某一截面，如彎矩值一定，其最大正應(yīng)力為maxmaxyim中性軸wmyimmaxmax中性軸或截面抵抗矩越大，正應(yīng)力越小，抗彎能力越強 max強度計算123hbi中性軸644di中性軸)1 (6464)

10、(4444dddi中性軸6,2hbw中性軸32,3dw中性軸)1 (3243dw中性軸常見截面的抵抗矩等截面梁w為常量maxmaxm wmmaxmax梁的正應(yīng)力強度條件分兩種情況驗算：1.截面不以中性軸為對稱2.材料的抗壓、抗拉容許應(yīng)力不同時強度計算的類型：(1) 強度校核強度校核 當(dāng)已知梁的截面形狀、尺寸，梁所用的材料以及梁上荷載，校核梁是否滿足強度要求。 wmmaxmax (2)選擇截面選擇截面 當(dāng)已知梁所用的材料及梁上荷載時，可根據(jù)強度條件，先算出所需的抗彎截面抵抗矩w maxmw (3)計算梁所能承受的最大荷載計算梁所能承受的最大荷載 當(dāng)已知梁所用的材料、截面的形狀和尺寸時，根據(jù)強度條

11、件，算出梁所能承受的最大彎矩 wmmax選擇截面形狀，再由w確定截面的尺寸根據(jù)mmax與荷載的關(guān)系，算出最大荷載例，試校核梁的強度ql kpamknqcmhcmbml4101 . 1,/221,14,414cm21cmmknqlm4842822max抗彎截面抵抗矩222210103. 0621. 014. 06mbhwwmmaxmax210103. 04kpa3883kpa4103883. 0 滿足強度要求例，試求梁能承受的最大荷載ql kpamknqcmhcmbml4101 . 1,/221,14,4梁能承受的最大彎矩為82maxqlm wmmax 82qlw 28lwq2424101 .

12、110103. 08mkn /66. 5wmmaxmaxwql82應(yīng)力與荷載成正比maxmaxqqmknqq/66. 53883110002maxmax15kn3l3l3l21kn例，試求梁工字鋼的型號 kpaml5107 . 1,6knpknp21,1521mkn 34mkn 381.畫彎矩圖，求最大彎矩2.梁所需的抗彎抵抗矩為 maxmw 5107 . 1383310223. 0m3223cm3.查型鋼表選取20a工字鋼例，試校核梁的強度40kn2l2l3l15kn kpakpaml541075. 1105 . 4,6 . 0壓拉4cm3cm3cm 8cm4cm3cm2.畫彎矩圖，求最大彎

13、矩mkn 3mkn 5 . 41.求形心位置和對中性軸的慣性矩452110573. 0,038. 0,072. 0mimymy中性軸3.校核最大正應(yīng)力最大拉應(yīng)力1y2yyim中性軸maxmax12maxyim中性軸072. 010573. 035kpa41077. 3 拉21ym12ymmkn 171. 0038. 05 . 4mkn 216. 0072. 0340kn2l2l3l15kn kpakpaml541075. 1105 . 4,6 . 0壓拉4cm3cm3cm 8cm4cm3cmmkn 3mkn 5 . 4最大壓應(yīng)力1y2y11maxyim中性軸072. 010573. 05 .

14、45kpa41065. 5 壓11ym22ym4.4.2 提高梁抗彎能力的措施控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以控制梁彎曲強度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以maxmaxwm作為梁設(shè)計的主要依據(jù)。作為梁設(shè)計的主要依據(jù)。 因此應(yīng)使因此應(yīng)使mmax盡可能地小，使盡可能地小，使w盡可能地大盡可能地大,并選擇抗并選擇抗彎性能好的材料。彎性能好的材料。一、合理布置支座，改善梁的受力情況一、合理布置支座，改善梁的受力情況1.適當(dāng)布置梁的支座qql28lq002142.qlxl 0207.xxl002142.qlpl/4pl /82.合理布置荷載l2l2pq=p/ll2l28/ l p4ll2p/2p/

15、24lpl /84ll2p4l二、選擇合理的截面形狀和尺寸maxmaxwmw越大max越小梁抵抗彎矩能力越高消耗材料越多構(gòu)件自重越大橫截面面積越大梁的合理截面：橫截面面積相同時，使其有盡可能大的抗彎截面抵抗矩w。例. 梁平放和豎放時抗彎能力的區(qū)別bhy2hiwy豎放2123hbh62bhbhy2biwy平放2123bhb62hbbhww平放豎放梁的高度往往大于寬度例. 矩形截面、正方形及圓形截面的合理性bhaad62bhw矩63aw方323dw圓先比較矩形與正方形6632abhww方矩66aahaahabh aa 2ad42先比較矩形與圓形32633daww圓方2432222adda24832

16、19. 1例. 圓形截面及環(huán)形截面的合理性d323dw圓ad42ddadd4)(2232)(33ddw環(huán)3232)(333dddww圓環(huán)112283. 144)(222ddddd2總結(jié)：截面面積相同時：矩形優(yōu)于方形，方形優(yōu)于圓形。bhaad截面的高度愈大，面積分布得離中性軸愈遠，w值就愈大。截面面積相同時：環(huán)形優(yōu)于圓形。中性軸附近附近開洞，對w影響很小。而減少沒有充分發(fā)揮作用的材料，經(jīng)濟性較好。ddd注意：注意： 以上對截面合理形狀的分析，是從正應(yīng)力強度方面來考慮的。 對于以彎曲變形為主的梁（比如梁長與梁高的比值大于5)，通常這是決定截面形狀的主要因素。此外，還應(yīng)考慮剛度、穩(wěn)定以及制造、使用等

17、方面的因素，在選擇梁的截面時，必須全面考慮各種因素。三、變截面梁三、變截面梁 在進行梁的正應(yīng)力強度計算時，是根據(jù)危險截面上的最大彎矩設(shè)計截面的pl/4l2l2p要想更好地發(fā)揮材料的作用，應(yīng)該在彎矩比較大的地方采用較大的截面，在彎矩小的地方采用較小的截面。這種截面沿著梁軸線變化的梁，稱為變截面粱。最理想的變截面梁，是使梁的各個截面上的最大應(yīng)力同時達到材料的容許應(yīng)力。)()(maxxwxmpl/4l2l2p)()(xmxw等強度梁優(yōu)點：強度的要求和材料的利用缺點：加工制作困難,特別是在荷載情況復(fù)雜的情況下。因此建筑工程上，很少采用等強度梁，而是根據(jù)不同的具體情況，采用其他形式的變截面粱。pl/4l

18、2l2pba4.5 梁的剪應(yīng)力強度計算abl)( xv)( xm一般而言，正應(yīng)力是支配梁受彎情況下的主要因素。ba在梁跨度較小，截面高并且窄的情況下，剪應(yīng)力也有可能成為支配梁強度計算的因素。1.剪應(yīng)力的計算公式bisv中性軸中性軸v:橫截面上剪力的絕對值中性軸i:橫截面對中性軸的慣性矩，總是正值b:橫截面的寬度中性軸sbhk:過所求應(yīng)力點的水平線到截面邊緣之間的那一部分面積對中性軸的面積矩的絕對值y0y0yas中性軸 222yhyyhb2242yhb中性軸ibhky0y123bhbisv中性軸中性軸22346yhbhv0minmax4623maxhbhv2hy0min0ybhv23av23對矩

19、形截面而言，截面上的最大剪應(yīng)力是該截面上平均剪應(yīng)力的1.5倍快速計算：av5 . 15 . 1max平均矩形截面矩形截面剪應(yīng)力計剪應(yīng)力計算公式算公式剪應(yīng)力的分布規(guī)律與彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律不同點(1)彎曲正應(yīng)力是上、下邊緣最大，中性軸上為零而剪應(yīng)力是上、下邊緣最小，中性軸上最大(2)彎曲正應(yīng)力在中性軸的上、下部分一為壓力，另一為拉力；它們的共同作用形成一個力偶，以抵抗外力對該截面形成的力矩作用 而剪應(yīng)力的方向則都是一樣的，它們共同作用以抵抗外力對該截面形成的剪切破壞例 求簡支梁mm截面的虛線上的剪應(yīng)力l2l210knmm10cm15cm3cmmm截面的虛線上的剪力knv5中性軸i123bh443

20、10281. 01215. 01 . 0m中性軸s0ya0525. 0045. 01 . 03310236. 0mbisv中性軸中性軸1 . 01081. 210236. 05531 . 01081. 210236. 0553kpa42022346yhbhv22303. 0415. 015. 01 . 056kpa420例 求簡支梁mm截面的最大剪應(yīng)力及虛線上的剪應(yīng)力l2l210knmm452110573. 0,038. 0,072. 0mimymy中性軸4cm4cm3cm3cm8cm3cm1y2ymaxs0ya2072. 0072. 003. 0knv53410778. 0mbisv中性軸m

21、axmax03. 010573. 010778. 0554kpa310263. 20.6cmsya)006. 02078. 0(078. 003. 03410772. 0mkpa31024. 2 2梁的剪應(yīng)力強度計算bisv中性軸maxmax橫截面上的最大剪應(yīng)力等截面梁的最大剪應(yīng)力bisv中性軸maxmaxmax 剪應(yīng)力的強度條件 在進行梁的強度計算時，必須同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強度條件。一般而言，梁的強度計算由正應(yīng)力強度條件控制。在梁跨度較小，截面高并且窄的情況下，剪應(yīng)力也有可能成為支配梁強度計算的因素。 在進行梁的強度計算時，必須同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強度條件。一般而言，梁的強度計算由

22、正應(yīng)力強度條件控制。剪應(yīng)力可能成為支配梁強度計算的因素的情況1.梁跨度較小，截面高并且窄2.支座附近有很大的集中力3.腹板厚度很小的型鋼構(gòu)件4.抗剪能力各向異性的材料例 工字型鋼梁，型號22a。計算此梁是否安全m3m330knm26kn/m kpakpa55100 . 1,107 . 1解：1.畫出梁的內(nèi)力圖剪力圖kn29kn13kn12kn17kn13彎矩圖mkn 12mkn 39mkn 452.查附錄型鋼表33310309. 0309mcmwmcmsi189. 09 .18max中性軸mcmb0075. 075. 0bisv中性軸maxmaxmax 0075. 0189. 017kpa41

23、02 . 1中性軸wmmaxmax 310309. 039kpa51026. 1梁安全例 取矩形截面高寬比為3:2，試確定截面的高和寬q=4kn/mm4mkn8 kpakpa34102 . 1,101 . 1解：1.畫出梁的內(nèi)力圖kn8kn8kn8kn8剪力圖彎矩圖所需的截面抵抗矩 maxmw 2.由正應(yīng)力強度條件確定截面再按剪應(yīng)力強度條件校核剪應(yīng)力3441026. 7101 . 18m矩形截面抵抗矩62hbw中性軸23bh例 取矩形截面高寬比為3:2，試確定截面的高和寬mkn8 kpakpa34102 . 1,101 . 1kn8kn8剪力圖彎矩圖bh233283623bbb341026.

24、7mmb125. 0mb13. 0取mh19. 0mh187. 0校核剪應(yīng)力快速計算：av5 . 15 . 1max平均19. 013. 085 . 1kpa485 滿足剪應(yīng)力強度條件3m3m4kn4knm4knm4knm3m3m8knm2kn/m6knm4knm2knmbal2l24.6 扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力4.6.1 扭轉(zhuǎn)的概念 桿件在大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的外力偶矩作用下，使桿件任意兩橫截面繞桿件的軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。4.6.2 扭矩的計算mn 0單位：mtmx截面法正負號規(guī)定：從截面的法線向截面看，逆時針為正，順時針為負。（右手螺旋法則）jt極慣性矩rrmaxtdarmaxjrt max4.6.4 矩形桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力2maxhbtcm