實(shí)變函數(shù)第1講集合及其運(yùn)算

1、目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本運(yùn)算；熟悉一些常用集合的符號(hào)；準(zhǔn)確理解集合序列的上、下限集。重點(diǎn)與難點(diǎn)：集合序列的上、下限集?；緝?nèi)容：一背景1cantor的樸素集合論2悖論3基于公理化的集合論l 集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（cantor）創(chuàng)立的，不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)，它的一般思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門?！凹险撚^點(diǎn)”與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展不可分割地聯(lián)系在一起。l然而，任何一門學(xué)科的發(fā)展都不可能是帆風(fēng)順的，也不可能是完美無(wú)缺的，正是集合論，曾經(jīng)給數(shù)學(xué)界帶來(lái)了極大的恐慌，因?yàn)樽詮目低袪栆韵喈?dāng)隨便的方式闡述了集合論（即現(xiàn)在人們所說的相互集合論）之后，人們逐漸發(fā)現(xiàn)它存在著

2、不可調(diào)和的矛盾。如羅素（bertrand russell）于1918年敘述的著名“理發(fā)師”悖論，以及理查德（jules richard）編造的“理查德”悖論等等，都曾經(jīng)常常困擾了數(shù)學(xué)家們。l為避免集合論中的矛盾，人們求助于將cantor的相互集合論加以公理化，以策密羅（ernst zermelo）為首的一批數(shù)學(xué)家建立了一套集合論公理體系，即如今的形式集合論，從而避免了這一理論內(nèi)已被發(fā)現(xiàn)的矛盾。然而，有關(guān)公理化集合論相容性尚未得到證明。龐加萊（poincare）關(guān)于相容性問題做了一個(gè)風(fēng)趣的評(píng)論：“為了防備狼。”盡管集合論不如人們所期望的那樣無(wú)懈可擊，它在數(shù)學(xué)中的地位卻不因此而降低。它始終是我們掌

3、握許多理論所必須的基本知識(shí)。 二集合的定義1集合的幾種表示法我們?cè)谥T如數(shù)學(xué)分析等前期課程中已接觸過集合這個(gè)概念，所謂集合，指的是具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象的全體，通常用大寫英文字母a，b，x，y等表示；集合中的每個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素。一般說來(lái)，我們總用小寫字母a,b,x,y表示集合中的元素。 對(duì)于集合a，某一對(duì)象x如果是a的元素，則稱x屬于a，記作；如果x不是a的元素，則稱x不屬于a，記為（或記為）。正如定義所說，集合是由具有某種特定性質(zhì)的對(duì)象全體組成的，因此，在表示一個(gè)集合時(shí)，常把這一性質(zhì)寫出來(lái)，例如，a是由具有性質(zhì)p的元素全體組成時(shí)，通常記為： ，其中p可以是一段文字，也可以是某個(gè)數(shù)學(xué)式子。

4、 |pxxa具有性質(zhì)2幾個(gè)特殊的集合及其表示： 除了上述方法之外，有時(shí)也用特殊記號(hào)表示某些特殊的集合。比如，在大多數(shù)場(chǎng)合下，始終表示實(shí)數(shù)全體（或直線）c始終表示復(fù)數(shù)全體（或復(fù)平面），n、z、q分別表示自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)全體，以后如無(wú)特別聲明，我們也都不加解釋地使用這些符號(hào)。此外，直線上的區(qū)間也采用諸如a,b，（a,b）等記號(hào)，如果一個(gè)集合僅由有限個(gè)元素組成，則最方便的辦法是將其一一列出，例如，1到10的自然數(shù)全體可記作1,2,3,10，不含任何元素的集合稱為空集，記作 。三集合的運(yùn)算1.集合的子集 假設(shè)a,b是兩個(gè)集合，如果a中的元素都是b中的元素，則稱a是b的子集，記作，或記作。前者讀作“

5、a包含于b中”，后者讀著“b包含a”。顯然，空集是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要證明a是b的子集，最常用的辦法是，任取 。 如果a是b的子集，且存在 ，則稱a是b的真子集，記作 。 如果a是b的子集，b又是a的子集，則稱a與b相等，記作a=b。 bxax然后設(shè)法證明,abbb使,ba2交運(yùn)算 所有既屬于a，又屬于b的元素組成的集合稱為a與b的交集（或通集），記作 ，若 ，則稱a與b互不相交，顯然 b當(dāng)且僅當(dāng) 且 。 對(duì)于一簇集合 ，可類似定義其交集， 即 babaaxaxbxaa,|axaxaa有對(duì)每一3.并運(yùn)算 假設(shè)a，b是兩個(gè)集合，所謂a與b的并集（或和集），指的是由a與b

6、中所有元素構(gòu)成的集合，記作 ，換句話說 ， 對(duì)于一簇集合 ，可類似定義其并集，即 ba.bxaxbax或當(dāng)且僅當(dāng)aa,axaaa使存在4差（余）運(yùn)算 由所有屬于a但不屬于b的元素組成的集合，稱為a減b的差集，記作a-b（ab），也就是說， ，但 ，應(yīng)該注意的是，此處并未要求b是a的子集。假如b是a的子集，則稱a-b為b關(guān)于a的余集，記作cab。 axbax當(dāng)且僅當(dāng)bx 應(yīng)該注意的是，此處并未要求b是a的子集。假如b是a的子集，則稱a-b為b關(guān)于a的余集，記作cab。需要指出的是，我們講某個(gè)集合的余集時(shí)，要弄清相對(duì)于哪個(gè)集合的余集，特別是涉及到多個(gè)集合時(shí)，尤其應(yīng)注意。有時(shí)，我們總是限定在某個(gè)固定

7、集合a內(nèi)討論一些子集，在這種情況下，可以省略a，而將cab記作cb（或bc）。 集合 稱為a與b的對(duì)稱差，記作 。 )()(abbaba四.集合的運(yùn)算問題問題1 1：回憶數(shù)的四則運(yùn)算，由此猜測(cè)：回憶數(shù)的四則運(yùn)算，由此猜測(cè)集合的運(yùn)算應(yīng)該具有什么性質(zhì)。集合的運(yùn)算應(yīng)該具有什么性質(zhì)。定理1 （1） （2） （3） （4） （5） （6） aaaaaa,aaaaa,abbaabba;)()(cbacba;)()(cbacba)()()(cabacba)()()(cbcacba（7）（8）（9）（10）（11） （12） 。 )()(bacbac)()(bababa)()()(cabacba)()()(cabacbabcaccab則若,abababab,則若 上述基本性質(zhì)都是常用的，其中（9），（10）兩式通常稱為德摩根（de morgan ）法則，它們的證明也是容易的?，F(xiàn)在以（10）式為例進(jìn)行證明。 五集合序列的上、下限集問題2：回憶數(shù)學(xué)分析中數(shù)列上、下極限的定義，如何定義集合序列的上、下限集？1上限集問題3：集合的上限集由什么樣的元素構(gòu)成？2下限集 問題4：集合的下限集由什么樣的元素構(gòu)成？ 一域與