彈性力學(xué)--納維解法板殼理論)

1、板 殼 理 論 課 程 設(shè) 計對工科各專業(yè)說來，彈性力學(xué)的任務(wù)和材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)的任務(wù)一樣，是 分析各種結(jié)構(gòu)或其構(gòu)件在彈性階段的應(yīng)力和位移，校核它們是否具有所需的強度 和剛度，并尋求或改進(jìn)它們的計算方法。然而，它們之間還存在著一些不同。材 力中，基本上只研究桿狀結(jié)構(gòu)，即長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件。 而材料力學(xué)中 主要研究的是這種構(gòu)件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉(zhuǎn)作用下的應(yīng)力和位移。結(jié)構(gòu)力 學(xué)中，主要是在材料力學(xué)的基礎(chǔ)上研究桿狀構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，即桿件系統(tǒng)。至于非桿狀結(jié)構(gòu)，則是彈性力學(xué)的主要研究內(nèi)容。在彈性力學(xué)中，研究桿狀結(jié)構(gòu)一 般都不用諸如一些關(guān)于構(gòu)建的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，因而得到的結(jié)果就比

2、較精確。從8個方程8個未知量，到圣維南原理、相容方程；從逆解法、半逆解法到 差分法、變分法，邱老師的課講的十分生動，同學(xué)們也聽得十分認(rèn)真。到彈性力 學(xué)下冊，也就是板殼理論，主要是研究薄板的小撓度變形及其應(yīng)力、應(yīng)變。求解 四邊簡支矩形薄板在載荷下的撓度，以及矩形薄板的萊維法解及一般解法。另外， 變厚度矩形和圓形薄板的撓度求解問題。差分法中引進(jìn)了較為精確的邊界條件以 及在均布載荷和集中載荷下的不同解法。在課程設(shè)計的過程中，在自學(xué)Matlab的過程中完成了納維解法中撓度表達(dá)式 的表示和循環(huán)收斂過程，并且完成了差分法中不同網(wǎng)格劃分下的差分方程化為矩 陣形式后的求解過程。除此之外，還學(xué)會了使用ABAQU

3、創(chuàng)建板并定義厚度以減少同等情況下創(chuàng)建實體添加邊界條件不準(zhǔn)確對計算結(jié)果產(chǎn)生的影響。盡管和差分法與精確解的誤差分析相比，誤差還是比較大，但相比于創(chuàng)建三維實體并在底邊 添加約束條件相比，誤差還是減少了很多。在計算過程中，先是采用厚度0.2m薄板，有限元方法的誤差過大，而當(dāng)把 薄板的厚度改為0.1m時，誤差變小。兩種厚度的薄板都進(jìn)行了同樣的計算。四邊簡支的薄板在均布載荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸為長寬高：1 1 0.1，均布載荷為q=1000N/m2，彈性模量E=205GPa ，泊松比J=0.3， 分別用：納維法、差分法以及有限元方法進(jìn)行求解并比較求得的結(jié)果。得到結(jié)果如下:納維解法四邊簡支的正方形

4、薄板，四邊無支座沉陷時，邊界條件為wx 十0, wx/0, Wy/0, Wyf 0,f 2d wfix222、2m_ + n_2I 2a b丿二 4abD當(dāng)薄板受到均布載荷時，q成為q。，則式(d)積分成為a bm二 X0 0q0Sin n 二 ysin dxdybbn二 ydx 0 sindya 0 bqab2二 mn1 -cosm 1 - cos n 二16q0w 弋、- D m4,3,5,“| n 4,3,5,i|imn.m二 x . n 二 y sin sin a bm2n2 V則得到:對撓度表達(dá)式的后部運用到：Matlab進(jìn)行編程迭代，在確定收斂之后，可以得厚度為0.2 m時：厚度為

5、0.1m時：w = 2.7053e-08w = 2.1642e-07厚度為0.05m時：w = 1.7310e - 6厚度為0.01m時：w =2.1638e-042 a差分法23212$2I4*4網(wǎng)格劃分:差分方程：20W -8(4W2)+2(4wQ+0 =罟(；)420w? -8(2w3 Wi) 2(2w?) 他-w?)=詈(：)420g -8(盹)2(Wi)他-g Wj -恥)=罟(；)4化簡后得：20w -32w2 8w3 二詈（卻4 -8w124w2 - 16w3 二善（身）42w -16w220w3 二 0（）4其中，e3化為矩陣形式：20-32-824_ 2 -16得到結(jié)果：75

6、45653i尋141147gl58E545g7sgin8 Iw 16w宀績420厚度為0.2 m時:厚度為0.1m時:0.2682w2 ：、=1.0e-07I lw30.19510.1422一w10.2146* w2 = 1.0e-06汽 0.1561 Q1138厚度為0.05m時:ww2= 1.0e-05I IW30.17170.12480.0910 一厚度為0.01m時:w10.2146 = 1.0e-03汽 0.1561w3,.0.1138 一8*8網(wǎng)格劃分:差分方程：化簡后得20wi 一叫）2（仙 他8q (a20w2 -8(2w3 亠Wi 亠W4)亠2(2w2 亠2w5)亠(W2 亠

7、 2w5 亠W7)=420w3 -8(2w2 亠2w5)亠2(Wi 亠W6 亠2w4)亠(2w3 亠2w8)=蟲 I ? D 820W4 -8(2w5 W2 W7)2(2w3 2w8)(w0)-4D 8q0冷)20W5 _8(W3 W4 W8 W6) 2(W2 W5 W7 W9) (W2 W5 W9 0)= D 820w6 -8(2w5 2w9) 2(w3 2w8 w10) - (2w4) 0=1?D8丿 q0 (a Y20w7 -8(2w8 w4) 2(2w5) (w2 2w9 - w7)- ID丿q0 fa *20W8 -8(W5W9W7)2(W4W6)(W3W8W10_W3)=q0 fa

8、20w98(Ws w8 w10 0) 2(w5 w9) (w5 w7 w9):Dj8丿20wi0-8(2w9)2(W6)(2w8 -2wi)=蟲-D8丿3w2-8w3 -8w4 23 w5 -8w6 2w -8w8 3w9 0 =亞D0 2W3 2W4 -16w5 20w6 0 4 Ws -16 W9 0=血 D乜丿q fa弄w2 0-8W4 4w5 0 19 w7 -16 w8 2w9 00D 8f0 W3 2 W4 _ 8 W5 2w6 - 8W7 20 w8 _8 Wg 20 W! -32 w2 8w3 - 4w4000000=匹D 8-8 Wi 25W2 I6W3 8W4 6W5 0

9、W7 0 0 =-q D .82 W1 - 16 w2 亠 22 w3 亠 4w4 - 16 w5 亠 2w6 亠-亠 2w8 亠-亠-=蟲 D 8Wi - 8W2 亠 4w3 亠 20w4 -I6W5 亠 2w6 - 8 W7 亠 4w$ 亠-亠 0 =心 1 -D 8 48-.4D8丿 / a y0 0 0 3w5 -8w6 w7 -8 ws 19 w -8w100D 18丿/ v000 - 0 - 2W60 2Ws T6 Wg -18 W10 二蟲D(8丿改為矩陣形式，為:得到:20-328400-825-16-8602-16224-1621-8420-16203-8-823-80022

10、-1620010-8400012-8200003-80000020 0 0 0 1W1-I111 0 0 0W210 2 0 0W31-8400W412 -830104 -162W6D .丿119 -1620w71-8 20 -8 1W811 -8 21 -8W910 2 -16 18W10l丿_ 1k厚度為0.2 m時:厚度為0.1m時：w2ww4W5ww7wwW10” 0.2700、0.25110.23350.1956=1.0e-070.1820i0.14210.10830.10090.07901.0.0441J0.2160、0.20080.18680.1565=1.0e-06x *0.1

11、456 i0.11370.08670.08070.06320.0353J厚度為0.05m時:0.1728W20.1607W30.1494W40.12521 W5a = 1.0e-05 x -0.1165 iW0.0910W70.0693W80.0646W90.0506Wi0”riQ0282J3”0.2160、W0.2008W30.1868W40.15651W510.1456 .=1.0e-03iW0.1137W70.0867W0.0807W90.0632wi0“少.0353 J厚度為0.01m時:有限元法厚度為0.2 m時：創(chuàng)建殼實體，在材料賦定時確定厚度，得到在中心點有最大位移Wmax =

12、3.678 - 8創(chuàng)建3D實體，得到在中心點有最大位移：wmax =5.462e-8厚度為0.1m時：創(chuàng)建殼實體，在材料賦定時確定厚度，得到在中心點有最大位移Wmax =2.443e -7厚度為0.05m時：創(chuàng)建殼實體，在材料賦定時確定厚度，得到在中心點有最大位移Wmax 二 2.405e - 4創(chuàng)建3D實體，得到在中心點有最大位移：Wmax =2.166e-4厚度為0.01m時：創(chuàng)建殼實體，在材料賦定時確定厚度，得到在中心點有最大位移Wmax 二 2.405e - 4創(chuàng)建3D實體，得到在中心點有最大位移：Wmax 二 2.166e - 4結(jié)果對比厚度為0.2m時:納維法M1.0e-08差分法 M1.0e-08有限元法 M1.0e-084x48x8SolidShellWnax2.70532.6822.7005.4623.678誤差分析00.84%0.18%101.9%35.98%厚度為0.1m時:納維法M1.0e-07差分法/d.0e-07有限元法/1.0e-074x48江8SolidShellWnax2.16422.1462.1602.443誤差分析00.84%0.19%12.88%厚度為0.05m時:納維法M1.0e-06差分法/x1.0e-06