必修2 3.3.2~3.3.4 點到直線距離

1、 3.3.23.3.4 點到直線的距離點到直線的距離 和兩條平行直線的距離和兩條平行直線的距離直線系：直線系：具有某一共同屬性的一類直線的集合。具有某一共同屬性的一類直線的集合。（1）共點直線系方程：）共點直線系方程：l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 ， l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 交點的交點的經(jīng)過兩直線經(jīng)過兩直線直線系方程是直線系方程是A1 x + B1 y + C1+ ( A2 x + B2 y + C2) = 0， 其中其中是參變量，它不表示直線是參變量，它不表示直線 l2 .（2）平行直線系方程：）平行直線系方程：的直線系方程是的直線系方程是 A

2、x + B y + = 0 (C) ， 是參變量是參變量.（3）垂直直線系方程：）垂直直線系方程：的直線系方程是的直線系方程是 B x Ay + = 0 (是參變量是參變量) .與直線與直線 A x + B y + C = 0 平行平行與直線與直線 A x + B y + C = 0 垂直垂直復習回顧：復習回顧：平面幾何中研究了幾種距離，該怎樣計算平面幾何中研究了幾種距離，該怎樣計算l點到點的距離l點到線的距離l兩平行線間的距離12222121211212(,y )(,y )(-) +(-)P xP xP Px xy y 平平面面中中兩兩點點、之之間間的的距距離離問題問題直線的距離直線的距離（

3、不在直線上，且，），試求點到（不在直線上，且，），試求點到已知：和直線：已知：和直線：00yxP，l0CByAxPl0AlP0B 要求的長度要求的長度PQ可以先作出距離可以先作出距離PQPQ，求出，求出Q Q點坐標點坐標利用兩點的距離公式可以求利用兩點的距離公式可以求的長度的長度PQ分析分析1：直接法：直接法問題相對而言和好求一些相對而言和好求一些 如果垂直坐標如果垂直坐標PQPSPRPSPR軸，則交點和距離都容易求出，軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標軸垂直的線那么不妨做出與坐標軸垂直的線段和，如圖所示，顯然段和，如圖所示，顯然分析分析2：面積法：面積法已知點已知點P的坐標為的坐

4、標為（x0， y0），直線），直線l 的方程的方程是是 Ax+B y +C=0，怎樣求點，怎樣求點P到到直線直線l 的距離？的距離？ 設設A0，B0，這時，這時l與與x軸、軸、y軸都相交。過軸都相交。過P 作作x軸的平行線，軸的平行線，交交l于點于點 R( (x1, y0) ) ；作；作y軸的平行軸的平行線，交線，交l于點于點 S( (x0, y2) ).由由 A x1+B y0 +C=0 A x0+B y2 +C=0點到直線的距離點到直線的距離.,0201BCAxyACByx 得得.,0201BCAxyACByx 10 xxPR 所所以以，20yyPS 22PSPRRS ,00ACByAx

5、,00BCByAx .0022CByAxBABA 由三角形面積公式可知：由三角形面積公式可知：d RS = PR PS .2200BACByAxd 所以，所以，可證，當可證，當A=0或或B=0時，以上時，以上公式仍適用。于是得到距離公式仍適用。于是得到距離公式：公式：2200BACByAxd 注意：注意：先把直線方程化為一般式，再用公式先把直線方程化為一般式，再用公式 .預備知識：預備知識：對于直線對于直線 l: Ax+B y +C=0 (A0,B0)方向向量和法向量方向向量和法向量可表示為：可表示為：),1(k),1(BA B B，),(AB ).,(ABm 如果向量如果向量 與直線與直線l

6、垂直，垂直，n則稱向量則稱向量 為直線為直線l的的法向量法向量.n如果向量如果向量 與直線與直線l平行，平行，m則稱向量則稱向量 為直線為直線l的的方向向量方向向量.m可表示為：可表示為：nm).,(BAn P1P2xy0l已知點已知點P的坐標為的坐標為（x0， y0），直線），直線l 的方程的方程是是 Ax+B y +C=0，怎樣求點，怎樣求點P到到直線直線l 的距離？的距離？ 點到直線的距離點到直線的距離解：解：設直線設直線l的法向量為的法向量為，n則則),(BAn 過點過點P做直線做直線 l 垂線垂線PQ，則則|PQ|為所求為所求.PQn/nPQ 即即, ),(11yxQ),(),(01

7、01BAyyxx ByyAxx 0101 ByyAxx 0101即即代入直線代入直線l的方程得的方程得0)()(00 CByBAxA )0,0( BA分析分析3：向量法：向量法解得解得2200BACByAx nPQ |nPQ |n 222200|BABACByAx 2200|BACByAxd )0,0( BA時，時，當當0,0 BA直線直線l：，BCy | )(|0BCyd .|0BCBy 時，時，當當0,0 BA直線直線l：，ACx | )(|0ACxd .|0ACAx 因此，當因此，當A=0或或B=0時，時，以上公式仍適用。于是得到以上公式仍適用。于是得到點到直線的距離公式：點到直線的距離

8、公式：2200BACByAxd 注意：注意： 先把直線方程化為一般式先把直線方程化為一般式:Ax+By+C=0，再用公式，再用公式 . 已知點已知點P(x0， y0)，直線，直線l:Ax+B y +C=0，怎樣求點怎樣求點P到到直線直線l 的距離？的距離？ 點到直線的距離點到直線的距離2200BACByAxd 想一想：想一想：當當A=0或或B=0時時,公式還成立？公式還成立？00 已知點已知點P0(x0， y0)，直線，直線l:Ax+B y +C=0，怎樣求點怎樣求點P0到到直線直線l 的距離？的距離？ 點到直線的距離點到直線的距離2200BACByAxd 點點P0到到直線直線l 的距離的距離

9、|0BCyd 220000BCByx 公式成立公式成立.想一想：想一想：當當A=0或或B=0時時,公式還成立？公式還成立？0l 分析：分析：當當A=0，B0時，時， 直線直線l:BCy 已知點已知點P0(x0， y0)，直線，直線l:Ax+B y +C=0，怎樣求點怎樣求點P0到到直線直線l 的距離？的距離？ 點到直線的距離點到直線的距離2200BACByAxd 點點P0到到直線直線l 的距離的距離|0BCyd 220000BCByx 公式成立公式成立.同理當同理當B=0, A0時時,公式也成立公式也成立.想一想：想一想：當當A=0或或B=0時時,公式還成立？公式還成立？0l分析：分析：當當A

10、=0，B0時，時， 直線直線l:BCy 2200BACByAxd 注意：注意： 先把直線方程化為一般式先把直線方程化為一般式:Ax+By+C=0，再用公式，再用公式 .點到直線的距離公式：點到直線的距離公式：例例1 求點求點P0（-1, 2）到下列直線的距離）到下列直線的距離（1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。解：解：，得，得由點到直線的距離公式由點到直線的距離公式)1(2212102)1(2 d510 52 ，軸軸平行于平行于直線直線yx32)2( | )1(32| d35 教材教材108頁練習：頁練習：1. 求原點到下列直線的距離求原點到下列直線的距離:.)2(;026

11、23)1(yxyx 2. 求下列點到直線的距離求下列點到直線的距離:.034, )21()3(;033, )01()2(;0343, )32()1( yxCyxByxA，.0)2(;132)1(；59)1(；0)2(.52)3(思考：思考：如何求兩平行線間的距離？如何求兩平行線間的距離？例例2 求平行直線求平行直線 2x-7y +8=0和和 2x-7y -6=0的距離的距離.xyoP解：解：上上取取一一點點在在直直線線0672 yx)03( ，P.0872)03(的的距距離離的的距距離離就就是是兩兩平平行行線線間間到到直直線線，則則 yxP22)7(280732 d5314 .535314 2

12、2)7(286 xyoP另解：另解：)(067200yxPyx，上上任任取取一一點點在在直直線線 .0872)(00的的距距離離的的距距離離就就是是兩兩平平行行線線間間到到直直線線，則則 yxyxP2200)7(2872 yxd5314 .535314 想一想：想一想：?)(0672來求距離來求距離，上任取一點上任取一點是否可以在直線是否可以在直線yxPyx 067200 yx67200 yx22)7(286 d再想一想：再想一想：?0:0:2211 dCByAxlCByAxl之間的距離之間的距離，兩平行線兩平行線猜想：猜想：2212|BACCd xyoP證明：證明：)(0:0011yxPCB

13、yAxl，上任取一點上任取一點在直線在直線 .0:)(2200的的距距離離的的距距離離就就是是兩兩平平行行線線間間到到直直線線，則則 CByAxlyxP22200BACByAxd 0100 CByAx100CByAx 2212|BACCd 注意：注意：兩直線的一次項系數(shù)完全相同，兩直線的一次項系數(shù)完全相同，若不同，需變成系數(shù)完全相同時再用若不同，需變成系數(shù)完全相同時再用. . (教材教材59頁頁15題題)已知點已知點P的坐標為（的坐標為（x0, y0），直線），直線l 的方程的方程是是Ax+B y +C=0，則點，則點P到直線到直線l 的距離為：的距離為： 點到直線的距離公式點到直線的距離公式

14、:2200BACByAxd ，之間的距離為之間的距離為，設兩平行線設兩平行線dCByAxlCByAxl0:0:2211 2212|BACCd 平行線間的距離公式：平行線間的距離公式：則則xdy1l2lo1. 兩點兩點P1(x1,y1), P2(x2,y2)間的距離公式為間的距離公式為: ，2. 點點P(x0， y0)到到直線直線l:Ax+B y +C=0的距的距離公式為離公式為: 22122121)()(|yyxxPP 2200BACByAxd 3.兩平行直線兩平行直線l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0間的距離為間的距離為:2221BACCd 知識總結：知識總結：例例

15、3.例例2.則則例例4.的的方方程程。直直線線）兩兩點點的的距距離離相相等等，求求，（），（的的交交點點，且且與與和和過過直直線線lBAyxyxl543208320543 08320543yxyx由由方方程程組組)1(2 xkyl 方程為：方程為：設設解：解： 21yx解解得得：），（兩直線的交點為兩直線的交點為21 C1254123222 kkkkkk3313 kk即即)1(312 xyl：.053 yx即即.31 k解解得得：0)2( kykx即即則由題意則由題意.ABC.M例例5.軸軸時時，又又當當xl 的的距距離離：）到到，（），（此此時時154,32 xlBA.1053 xyxl或或

16、：故所求直線故所求直線.3都是都是1 xl：.ABC.M的的方方程程。直直線線）兩兩點點的的距距離離相相等等，求求，（），（的的交交點點，且且與與和和過過直直線線lBAyxyxl543208320543 08320543yxyx由由方方程程組組：解解2 21yx解解得得：），（兩直線的交點為兩直線的交點為21 C.ABC.當直線當直線 l / 直線直線AB 時，時，ABlkk 2435 31 )1(312 xyl：.053 yx即即當直線當直線 l 過線段過線段AB的中點的中點M(-1 ,4)時，時，M1 xl：綜上所述：綜上所述：.1053 xyxl或或：所所求求直直線線例例5.的的方方程程

17、。直直線線）兩兩點點的的距距離離相相等等，求求，（），（的的交交點點，且且與與和和過過直直線線lBAyxyxl543208320543 ：解解3設直線設直線 l 的方程為：的方程為：0)832(543 yxyx 即即058)34()32( yx由已知得由已知得22)34()32(|583)34(2)32( | 22)34()32(|585)34()4)(32( | 即即|315|133| 解得解得.3495或或 .1053 xyxl或或：故所求直線故所求直線例例5.xyO.CMNPQd例例6.例例7.解解：102030由由10，20，30得得: 例例8.已知已知ABC的頂點的頂點A(5,1)，

18、AB邊上的中線邊上的中線CM所在直線方程為所在直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高邊上的高BH所在直線方所在直線方程為程為x-2y-5=0.求：求：（1）頂點）頂點C的坐標；（的坐標；（2）直線）直線BC的方程的方程.ABCxyOM解：解： （1）由題意得：）由題意得：直線直線AC的方程為的方程為)5(21 xy即即0112 yx解方程組解方程組 0520112yxyx得得 C(4, 3). 例例8.已知已知ABC的頂點的頂點A(5,1)，AB邊上的中線邊上的中線CM所在直線方程為所在直線方程為2x-y-5=0，AC邊上的高邊上的高BH所在直線方所在直線方程為程為x-2y-5=0.求：求：（1）頂點）頂點C的坐標；（的坐標；（2）直線）直線BC的方程的方程.ABCxyOM解：解： （2）設）設B(x0 ,y0)，).21,25(00 yxM則則052125200 yx由由M在直線在直線CM上得：上得：即即01200 yx解方程組解方程組 0520120000yxyx得得 B(1, 3).故直線故直線BC的方程：的方程：(4, 3). 0956 yx已知點已知點P的坐標為（的坐標為（x0, y0），直線），直線l 的方程的方程是是Ax+B y +C=0，則點，則點P到直線到直線l 的距離為：的距離為：