高中數(shù)學(xué)(人教版)對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分課件

1、第一講第一講 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一一 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對(duì)弧長(zhǎng)

2、的曲線積分的定義（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割: :121, nMMMiiiisM ),( 求和求和: : niiiisM1),( 取極限取極限: : niiiisM10),(lim 取近似取近似: :線密度線密度 ),(yx 設(shè)有一曲線形構(gòu)件設(shè)有一曲線形構(gòu)件占有占有xoy面內(nèi)一段曲線弧面內(nèi)一段曲線弧L曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?12,nsss一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的

3、概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念（一）引例（一）引例（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義（二）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義定義定義并作和并作和,),(1 niiiisf ),(yxf設(shè)設(shè) 為為 面內(nèi)的一條光滑曲線弧面內(nèi)的一條光滑曲線弧, ,函數(shù)函數(shù)在在 上有界上有界. .LxoyL, ,is 設(shè)第設(shè)第i 個(gè)小段的長(zhǎng)度為個(gè)小段的長(zhǎng)度為在在L 上任意插入一點(diǎn)列上任意插入一點(diǎn)列把把L分成分成n個(gè)小段個(gè)小段. . 121, nMMM作乘積作乘積), 2 , 1(),(nisfiii 又又為第為

4、第i 個(gè)小段上任意取定個(gè)小段上任意取定),(ii 的一點(diǎn)的一點(diǎn), , 如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值 時(shí)時(shí), ,這和的極限總存在這和的極限總存在, ,即即01( , )dlim(,).niiiLif x ysfs 函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y) )在曲線弧在曲線弧L上上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分, ,( , )d .Lf x ys 其中其中f( (x, ,y) )叫做叫做被積函數(shù)被積函數(shù), ,L叫做叫做積分弧段積分弧段. .0 且與曲線弧且與曲線弧L的分法及點(diǎn)的分法及點(diǎn) 的取法無(wú)關(guān)，那么稱此極限為的取法無(wú)關(guān)，那么稱此極限為),(ii

5、 記作記作.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: :.d ),( LsyxM l注注(1)(2) 函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y) )在光滑曲線弧在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí), ,( , )dLf x ys存在存在函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y, ,z) )在空間曲線弧在空間曲線弧上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分函數(shù)函數(shù)f( (x, ,y) )在閉曲線在閉曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記為上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分記為.d ),( Lsyxf對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的

6、曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用12( , )d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ysddd( , )( , )( , )( , ).( , )( , )( , )( , ).LLLf x yg x ysf x ysg x ys線性性質(zhì)線性性質(zhì)可加性可

7、加性不等式不等式在在L上上),(),(yxgyxf ( , )d( , )dLLf x ysg x ys ( , )d( , ) dLLf x ysf x ys 特別地特別地物理意義物理意義dLss 與方向無(wú)關(guān)與方向無(wú)關(guān)( , )d( , )dLLf x ysf x ys 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、一、 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧

8、長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用 ),(),(tytx )( t設(shè)設(shè)f(x,y) )在曲線弧在曲線弧L上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù), ,L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為定理定理若若上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), ,且且)(),(tt , , 0)()(22 tt 在在則曲線積分則曲線積分syxfLd ),( 且且存在存在, ,)( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt )( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt l注

9、注(1) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)定積分定積分! !(2) 化為定積分中的三個(gè)變化化為定積分中的三個(gè)變化在上述公式中在上述公式中, ,下限下限一定小于上限一定小于上限.L, f(x,y) ( ),( )fttds22( )( )dttt (3)口訣口訣: :變量參數(shù)化、一小二起下變量參數(shù)化、一小二起下. .(4)特例特例(1)L：0( )()yxxxX (2)L：0( )()xyyyY 推廣推廣空間曲線弧空間曲線?。? ),( ),( )()xtytztt)(d)(1)(,d),(020XxxxxxfsyxfLXx )(d)(1),(d),(02

10、0YyyyyyfsyxfLYy )(d)()()()(),(),(d),(222 ttyttttfszyxfL)( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題思路對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題思路明確明確L的方程的方程化為定積分化為定積分明確明確選擇選擇參數(shù)方程參數(shù)方程( )yx ( )xy ( , )dLf x ys 三變、一注意三變、一注意( , )f x y積分弧段積分弧段L被積函數(shù)被積函數(shù)( ( ),( )ftt弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素ds一點(diǎn)注意一點(diǎn)注意,22( )( )dttt 下限一定小于上限下限一定小于上限 22( ),( )( )( )dftt

11、ttt 計(jì)算定積分計(jì)算定積分確定確定參數(shù)范圍參數(shù)范圍對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題思路對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題思路明確明確L的方程的方程化為定積分化為定積分計(jì)算定積分計(jì)算定積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題模板對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分解題模板L:明確明確選擇選擇確定確定t參數(shù)范圍參數(shù)范圍必寫(xiě)必寫(xiě)!建議事先求出建議事先求出,可視情省略可視情省略( , )d( ( ),( )dLf x ysfttt 由由 得得L的方程為的方程為:L的方程為的方程為:ds=xyoB11xyod ,Ly s2yx(0,0)O(1,1)B計(jì)算計(jì)算其中其中L是拋物線是拋物線上點(diǎn)上點(diǎn)與與之間的一段弧之間的一段弧.u例例1 1ABu例例2 2,e22dsL

12、yx 其中其中L 為圓周為圓周直線直線 及及x軸在第一象限軸在第一象限,222ayx 內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界.計(jì)算計(jì)算xy u例例3 3dxyz s( , , )( , , )A 1 0 2( , ,)( , ,)B 2 11計(jì)算計(jì)算其中其中為連接為連接與與的直線段的直線段.2al注注可視情將可視情將L的方程代入被積函數(shù)的方程代入被積函數(shù)!利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算L關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱( ,)( , )f xyf x y 0( ,)( , )f xyf x y12( , )dLf x ys ( ,)xy( , )x y

13、1LxoyL關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱類似類似L關(guān)于關(guān)于y=x對(duì)稱對(duì)稱( , )dLf x ys 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算L關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱012( , )dLf x ys L關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱類似類似L關(guān)于關(guān)于y=x對(duì)稱對(duì)稱( , )dLf x ys ( , )x yxoy( , )y x( , )d( , )dLLf x ysf y xs u例例4 4 計(jì)算計(jì)算其中其中L為為,d)(32 Lsyx.222Ryx ( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x y對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算2 、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算