用灰色模型進行數(shù)學建模

1、數(shù)學建模中的灰色方法 在數(shù)學建模的過程中，常常遇到一些諸如：人口模型、全國的物資調運、運輸、生產(chǎn)銷售等問題，其中有許多信息都無法確定，要建立這樣的模型很困難。 現(xiàn)有的系統(tǒng)分析方法量化分析方法，大都是數(shù)理統(tǒng)計方法但這種方法多用于少因素的、線性的情形。對于多因素的、非線性的則難以處理。 針對這些不足，鄧聚龍教授創(chuàng)立了一種就數(shù)找數(shù)的方法，即灰色系統(tǒng)生成法。創(chuàng)立灰色系統(tǒng)的學科體系和灰色系統(tǒng)“概念與公理體系”，提出灰生成空間、灰關聯(lián)空間理論、灰建模理論并創(chuàng)立灰預測理論及方法體系。一、灰色系統(tǒng).定義：系統(tǒng)作為一個包含若干相互關聯(lián)、相互制約的任意種類元素組成的具有某種特定功能的整體。系統(tǒng)內部存在有物質流、信

2、息流、能量流。 系統(tǒng)（根據(jù)信息明確程度）黑色系統(tǒng)（信息毫無所知或知之甚少）灰色系統(tǒng)（既含有已知信息又有未知信息）白色系統(tǒng)（信息完全明確）（一）灰色系統(tǒng)公理：1.信息不完全、不確定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）2.信息是認識的根據(jù)；（認識根據(jù)原理）3.灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的“最小信息”；（最小信息原理）4.新信息對認識的作用大于老信息；（新信息優(yōu)先原理）（二）灰色系統(tǒng)的描述： 灰色系統(tǒng)用灰色參數(shù)、灰色方程、灰色矩陣、灰色度等綜合描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本單元。1.灰色參數(shù)（灰數(shù)） 灰數(shù)是那些只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)（只知道部分數(shù)學特征，而不知道具體數(shù)值的參數(shù)）

3、。例如：“某人的身高約為170cm、體重大致為60kg”，這里的“（約為）170（cm）”、“60”都是灰數(shù)，分別記為 、 。又如，“那女孩身高在157160cm之間”，則關于身高的灰數(shù) 。 記為灰數(shù)的白化默認數(shù)，簡稱白化數(shù)白化數(shù)。在灰色系統(tǒng)理論中，把隨機變量看成灰數(shù)，即是在指定范圍內變化的所有白色數(shù)的全體。如代購一件價格為100元左右的衣服，100可作為預購衣服價格的白化值。 灰數(shù)有離散灰數(shù)（ 屬于離散集）和連續(xù)灰數(shù)（ 屬于某一區(qū)間）。 160,157)( h170602.灰色代數(shù)方程含有灰色系數(shù)的代數(shù)方程如： 灰色微分方程為含有灰色導數(shù)或灰色微分的方程，如 3.灰色矩陣行列數(shù)確知而含有灰元

4、的矩陣 若在a的m*n個元素中，有n個灰色元素，則可以用d表示這一矩陣的灰色度03 x0322xx)()(tbxadttdxnmnd二、灰色生成數(shù)列 灰色系統(tǒng)理論認為，盡管客觀表象復雜，但總是有整體功能的，因此必然蘊含某種內在規(guī)律。關鍵在于如何選擇適當?shù)姆绞饺ネ诰蚝屠盟??；疑到y(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋求數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，即為灰色序列的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。數(shù)據(jù)生成的常用方式有累加生成、累減生成和加權累加生成。（1）累加生成 把數(shù)列各項（時刻）數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生成過程（ago ）。由累加生成過程所得的數(shù)列

5、稱為累加生成數(shù)列。設原始數(shù)列為 ，令稱所得到的新數(shù)列為數(shù)列 的1次累加生成數(shù)列。類似地有稱為 的r次累加生成數(shù)列。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(x1, 2 , 1, )()(1)1()(rnkixkxkirr)0(x（2）累減生成 對于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個數(shù)據(jù)相減的運算過程稱為累減生成過程iago。如果原始數(shù)據(jù)列為令 稱所得到的數(shù)列 為 的1次累減生成數(shù)列。注：從這里的記號也可以看到，從原始數(shù)列 ，得到新數(shù)列 ，再通過累減生成可以還原出原

6、始數(shù)列。實際運用中在數(shù)列 的基礎上預測出 ，通過累減生成得到預測數(shù)列 。)(,),2(),1()1()1()1()1(nxxxx, 3 , 2),1()()()1()1()0(nkkxkxkx)0(x)1(x)0(x)1(x)1(x)1( x)0( x（3）加權鄰值生成設原始數(shù)列為稱 為數(shù)列 的鄰值。 為后鄰值， 為前鄰值，對于常數(shù) ，令 由此得到的數(shù)列 稱為數(shù)列 在權 下的鄰值生成數(shù)，權 也稱為生成系數(shù)。 特別地，當生成系數(shù) 時，則稱為均值生成數(shù)，也稱等權鄰值生成數(shù)。 )(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)(),1()0()0(kxkx)0(x) 1()0(kx)()0

7、(kx 1 , 0, 3 , 2),1()1 ()()()0()0()0(nkkxkxkz)0(z)0(x5 . 0, 3 , 2),1(5 . 0)(5 . 0)()0()0()0(nkkxkxkz灰色系統(tǒng)理論的主要方法 關聯(lián)度分析法最基本的方法（一個由眾多因素構成的系統(tǒng)中哪些因素對系統(tǒng)的影響大/中/??？） 基于白化權函數(shù)的灰色統(tǒng)計和灰色聚類法。 灰色預測法（如gm（1，1）。 灰色決策。 灰色優(yōu)化技術（如灰色規(guī)劃等）。三、灰色預測模型gm(m,n) 灰色系統(tǒng)理論是基于關聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義灰導數(shù)與灰微分方程，進而利用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程形式的動態(tài)模型，稱為灰色模型（gm）。 灰

8、色預測是應用灰色模型gm對灰色系統(tǒng)進行分析、建模、求解、預測的過程。由于灰色建模理論應用數(shù)據(jù)生成手段，弱化了系統(tǒng)的隨機性，使紊亂的原始序列呈現(xiàn)某種規(guī)律，規(guī)律不明顯的變得較為明顯，建模后還能進行殘差辨識，即使較少的歷史數(shù)據(jù)，任意隨機分布，也能得到較高的預測精度。因此，灰色預測在社會經(jīng)濟、管理決策、農(nóng)業(yè)規(guī)劃、氣象生態(tài)等各個部門和行業(yè)都得到了廣泛的應用 (一)gm（1，1）模型 設 為原始數(shù)列，其1次累加生成數(shù)列為 ，其中 定義 的灰導數(shù)為令 為數(shù)列 的鄰值生成數(shù)列，即于是定義gm（1，1）的灰微分方程模型為)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)(,),2(),1 ()1()1

9、()1()1(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)1(x).1()()()()1()1()0(kxkxkxkd)(,),3(),2()1()1()1()1(nxxxz)1(x),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1(bkazkd即或 （1）在式（1）中， 稱為灰導數(shù)，a稱為發(fā)展系數(shù)， 稱為白化背景值，b稱為灰作用量。將時刻表 代入（1）式有引入矩陣向量記號： 數(shù)據(jù)向量 參數(shù)向量 數(shù)據(jù)矩陣,)()()1()0(bkazkx)()0(kx)()1(kznk, 3 , 2,)()(,)3()3(,)2()2()1()0()1()0()1()

10、0(bnaznxbazxbazx)()3()2()0()0()0(nxxxybau1)(1)3(1)2()1()1()1(nzzzb于是gm（1，1）模型可表示為現(xiàn)在問題歸結為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它們的估計值為注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標準程序求解，如matlab等。gm（1，1）的白化型對于gm（1，1）的灰微分方程（1），如果將灰導數(shù) 的時刻 視為連續(xù)變量t，則 視為時間t函數(shù) ，于是 對應于導數(shù)量級 ，白化背景值 對應于導數(shù) 。于是gm（1，1）的灰微分方程對應于的白微分方程為 （2）. uyb.)(1ybbbbautt)()0(kxnk, 3

11、 , 2)1(x)()1(tx)()0(kxdttdx)()1()()1(kz)()1(tx,)()()1()1(btaxdttdx（二）gm（1，1）灰色預測的步驟1.數(shù)據(jù)的檢驗與處理 為了保證gm（1，1）建模方法的可行性，需要對已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗處理。 設原始數(shù)據(jù)列為了 ，計算數(shù)列的級比 如果所有的級比都落在可容覆蓋區(qū)間 內，則數(shù)據(jù)列 可以建立gm（1，1）模型且可以進行灰色預測。否則，對數(shù)據(jù)做適當?shù)淖儞Q處理，如平移變換：取c使得數(shù)據(jù)列的級比都落在可容覆蓋內。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx., 3 , 2,)() 1()()0()0(nkkxkxk),(12

12、12nneex)0(x, 2 , 1,)()()0()0(nkckxky2. 建立gm（1，1）模型 不妨設 滿足上面的要求，以它為數(shù)據(jù)列建立gm（1，1）模型用回歸分析求得a,b的估計值，于是相應的白化模型為 解為 （4）于是得到預測值從而相應地得到預測值：)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx,)()()1()0(bkazkx,)()()1()1(btaxdttdx.) 1 ()()1()0()1(abeabxtxta, 1, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(nkabeabxkxak, 1, 2 , 1),() 1() 1()1()1()0(nkkxkxkx3

13、. 檢驗預測值（1）殘差檢驗：計算相對殘差如果對所有的 ，則認為達到較高的要求：否則，若對所有的 ，則認為達到一般要求。（2）級比偏差值檢驗：計算如果對所有的 ，則認為達到較高的要求；否則若對所有的 ，則認為達到一般要求。, 2 , 1,)()()()()0()0()0(nkkxkxkxk1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k),(5 . 015 . 011)(kaak1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k四、應用舉例sars疫情對某些經(jīng)濟指標的影響問題1.問題的提出 2003年的sars疫情對中國部分行業(yè)的經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生了一定的影響，特別是對部分疫情較嚴重的省市的相關行業(yè)所造成的影

14、響是明顯的，經(jīng)濟影響主要分為直接經(jīng)濟影響和間接影響，直接經(jīng)濟影響涉及商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務業(yè)等。很多方面難以進行定量地評估，現(xiàn)僅就sars疫情較嚴重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務業(yè)的影響進行定量的評估分析。 究竟sars疫情對商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務業(yè)的影響有多大,已知某市從1997年1月到2003年12月的商品零售額、接待旅游人數(shù)、綜合服務收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖:2.模型分析 根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的總和（或平均值）較好地反映了相關指標的變化規(guī)律。從而我們把預測分成兩部分：利用灰色理論建立gm(1,1)模型，由19972002年的各年度總和值預測200

15、3年的年度總和值；再通過歷史數(shù)據(jù)計算每個月的指標值與全年總和的關系，就可以預測出2003年每個月的指標值。 假設： (1) 假設所給的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可靠、準確的； (2)假設該市在sars疫情流行期間和結束之后，數(shù)據(jù)的變化只與sars疫情的影響有關，不考慮其他隨即因素的影響。3.建立灰色預測模型gm(1,1)由已知數(shù)據(jù)，對于19972002年某項指標記為矩陣 計算每年的總和，記為檢驗比（都符合要求）。對 作一次累加得數(shù)列 ，再作 的鄰值加權平均，得數(shù)列 ，即 為確定參數(shù)，得到gm(1,1)的白化微分方程模型為其中參數(shù)由灰微分方程確定。126)(ijaa)6(,),2(),1 ()0()0()0()0

16、(xxxx)3307. 1 ,7515. 0(),()6 , 3 , 2()() 1()(1212)0()0(nneekkxkxk)0(x)1(x)1(x),()6()2()1()1(zzzz),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1 ()1 (btaxdttdx6 , 3 , 2,)()()1()0(kbkazkx根據(jù)系數(shù)可求得白化微分方程的解：故相應地可以求出即得到2003年的年度總和值 。再根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計出第個月的指標值占全年總和值的比例 ，即于是2003年的每個月的指標值(預測值)為 .) 1 ()()1()0()1(abeabxtxta).)() 1 (

17、)() 1() 1()1()0()1()1()0(kaakeeabxkxkxkx)7()0(xjjv.12, 2 , 1,)(61)0(616112161jixaaaviiijijijiijj).()7()0(jvx4.模型求解(1)商品零售額由題目所給數(shù)據(jù)計算得 計算表明 的所有級比都再可容覆蓋區(qū)間內。經(jīng)計算，當 時，殘差檢驗中的相對誤差的絕對值之和最小，用gm(1,1)模型計算得, 2003年的年度商品零售額總和為 。計算得各月的比例為(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,

18、0.0920)因此2003年的各月的商品零售額的預測值為(153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0700 167.2083 177.6347)9 .1744, 7 .1593,1421, 7 .1301,1182, 4 .1051()0(x)0(x48. 01 .1019,0000985. 0ba8 .1930)7()0(x將預測值與所給03年數(shù)據(jù)做對比(2) 接待海外旅游人數(shù)同處理商品零售額的方法， ， ，各月比例為(0.0407 0.0732 0.0703 0.0878 0.0907 0.0848 0.0836 0.1022 0.1010 0.1041 0.0914 0.0701)2003年的全年接待海外旅游人數(shù)的預測值為357.6331（萬），各月的預測值為(14.5733 26.1742 25.1539 31.4091 32.4516 30.3222 29.9007 36.5552 36.1116 37.2206 32.6734