上課教材 第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器課件

1、第第6 6章章 無限長單位沖激響應(yīng)無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)(IIR)濾波器濾波器6.1 引言引言6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法6.4 雙線性變換法雙線性變換法6.5 數(shù)字頻率變換法數(shù)字頻率變換法6.1 6.1 引言引言一、濾波器的分類二、濾波器的技術(shù)指標(biāo)三、三、IIR數(shù)字濾波器的技術(shù)特點(diǎn)數(shù)字濾波器的技術(shù)特點(diǎn)四、四、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述一、濾波器的分類一、濾波器的分類1、從功能上分低低通通濾波器濾波器高高通通濾波器濾波器帶帶通通濾波器濾波器帶帶阻阻濾波器濾波器通通：輸入信號中允許通過的頻率成分輸入信號中允許通過的

2、頻率成分阻阻：輸入信號中阻止（不允許）通過的頻率成分輸入信號中阻止（不允許）通過的頻率成分例如：例如：高通，即高通，即輸入信號中允許通過的頻率成分為輸入信號中允許通過的頻率成分為高頻高頻 數(shù)字濾波器的理想數(shù)字濾波器的理想幅頻特性是周期為幅頻特性是周期為 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，只需在區(qū)間只需在區(qū)間 上研究即可！上研究即可！ 0, 2一、濾波器的分類一、濾波器的分類2、從單位沖激響應(yīng)上分（1）無限長單位沖激響應(yīng)）無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)濾波器濾波器 其單位沖激響應(yīng)其單位沖激響應(yīng) h(n)延伸到無窮長，結(jié)構(gòu)上是遞歸型的（延伸到無窮長，結(jié)構(gòu)上是遞歸型的（有反饋環(huán)節(jié)）有反饋環(huán)節(jié)）（2）有限長單位沖激響

3、應(yīng)）有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)濾波器濾波器其單位沖激響應(yīng)其單位沖激響應(yīng) h(n)為有限長序列，結(jié)構(gòu)上是非遞歸型的為有限長序列，結(jié)構(gòu)上是非遞歸型的（沒有反饋環(huán)節(jié)）（沒有反饋環(huán)節(jié)）二、濾波器的技術(shù)指標(biāo) 理想濾波器由于從通帶到阻帶之間的過渡具有突變，因而理想濾波器由于從通帶到阻帶之間的過渡具有突變，因而其其單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)是非因果的，是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。需要是非因果的，是物理不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)。需要設(shè)計(jì)一個(gè)因果的物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器來逼近理想濾波器的設(shè)計(jì)一個(gè)因果的物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器來逼近理想濾波器的頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)。 這種因果的、物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)通常以這種因果的、物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器的

4、技術(shù)指標(biāo)通常以頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)的幅頻特性幅頻特性的允許誤差來表征。下面以低通濾波的允許誤差來表征。下面以低通濾波器為例，具體說明物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)。器為例，具體說明物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)。p低通濾波器的幅度特性指標(biāo)sc0ps11(1)()(1)jH e2()jH e通帶截止頻率阻帶截止頻率3dB通帶截止頻率通帶頻率范圍阻帶頻率范圍ps過渡帶 1 ： 通帶容限通帶容限(最大誤差最大誤差)； 2 ：阻帶容限：阻帶容限 0()20 lg()()pjpjH eRdBH e0()20lg()()sjsjH eRdBH e120lg()20lg(1)()pjpRH edB 220lg()

5、20lg()sjsRH edB 通帶最大衰減阻帶最小衰減0()jH e如果將 歸一化為1，則有：當(dāng) 時(shí)，()2 /20.707cjH e稱 為 3dB通帶截止頻率。3pRdBc三、三、IIR數(shù)字濾波器的技術(shù)特點(diǎn)數(shù)字濾波器的技術(shù)特點(diǎn) IIRIIR濾波器的差分方程為濾波器的差分方程為 N N為濾波器的階數(shù)，一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)為濾波器的階數(shù)，一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)00()()NMkkkka y nkb x nk01()1MkkkNkkkb zHzazIIRIIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)在在Z平面平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)上不僅有零點(diǎn)

6、，而且有極點(diǎn) 。四、四、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法概述 1 1、概念、概念 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，是指數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，是指按照給出的濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求，用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近這些性能指標(biāo)，并求出該系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)ak, bk 2、IIRIIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述概述 根據(jù)給出的濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求，先設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬濾波器，得根據(jù)給出的濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求，先設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬濾波器，得到其系統(tǒng)函數(shù)到其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) ，然后再按一定的算法，然后再按一定的算法( (沖激響應(yīng)不變法或雙線性沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換

7、法變換法) )， 將將Ha(s) 轉(zhuǎn)換成滿足預(yù)定指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函轉(zhuǎn)換成滿足預(yù)定指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H(z)。 該設(shè)計(jì)方法的該設(shè)計(jì)方法的實(shí)質(zhì)：是一個(gè)實(shí)質(zhì)：是一個(gè)S S平面到平面到Z Z平面的復(fù)變函數(shù)的映射變換平面的復(fù)變函數(shù)的映射變換 ，即有，即有注意，注意， 該映射變換必須要滿足以下該映射變換必須要滿足以下2 2個(gè)條件：個(gè)條件： （1 1）S S平面虛軸平面虛軸 jj必須映射到必須映射到Z Z平面的單位圓平面的單位圓e ej j上上 （2 2）S S平面的左半平面必須映射到平面的左半平面必須映射到Z Z平面單位圓的內(nèi)部平面單位圓的內(nèi)部| |z z|1|1下面先討論下面先討

8、論模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，再介紹由模擬濾波器變換為方法，再介紹由模擬濾波器變換為IIRIIR數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的兩種映射變換：濾波器的兩種映射變換：沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法和和雙線性變換法雙線性變換法 。1()()() |sGzHzHs6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)一、一、 理想模擬濾波器的幅頻特性理想模擬濾波器的幅頻特性二、二、 模擬濾波器的典型類型模擬濾波器的典型類型三、三、 低通模擬濾波器的設(shè)計(jì)低通模擬濾波器的設(shè)計(jì)四、四、 高通模擬濾波器的設(shè)計(jì)高通模擬濾波器的設(shè)計(jì)五、五、 帶通模擬濾波器的設(shè)計(jì)帶通模擬濾波器的設(shè)計(jì)六、六、 帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)6

9、.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)一、一、 理想模擬濾波器的幅頻特性理想模擬濾波器的幅頻特性)(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c巴特沃斯（Butterworth）濾波器：具有單調(diào)下降的幅度特性在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性。切比雪夫（ Chebyshev ）濾波器：通帶或阻帶有波動(dòng)，可以提高選擇性。貝賽爾（ Bessel ）濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位特性橢圓（Ellipse0濾波器：選擇性相對其它三種是最好的, 但在通帶和阻帶內(nèi)均有等波紋的幅頻特性。二、二、 模擬濾波器的典型類型模擬濾波器的典型類型6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)三、模擬低通濾波器的設(shè)

10、計(jì)設(shè)計(jì)指標(biāo)ppss210lg()papHjdB 210lg()sasHjdB 通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶衰減阻帶衰減低通濾波器的幅度特性c3dB截止頻率2*()()()()()( )()aaaaaaasjHjHjHjHjHjHs Hs 按給定的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)( )aHs模擬濾波器設(shè)計(jì)含義模擬濾波器的設(shè)計(jì)原則方法：按給出的幅頻平方函數(shù)逼近，不考慮相位。前提：沖激響應(yīng)前提：沖激響應(yīng) ha(t) 是是實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)式中式中Ha(s)是系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)函數(shù) ；Ha(j)是頻率響應(yīng)是頻率響應(yīng)； |Ha(j)|是幅頻特性是幅頻特性 問題：如何根據(jù)Ha(s)Ha(-s) 求 Ha(s)

11、？ 思路：沖激響應(yīng)ha(t) 是實(shí)函數(shù)，所以 Ha(s)Ha(-s)的極、零點(diǎn)是成象限對稱分布的 確定Ha(s)的極點(diǎn)：要求Ha(s)必須穩(wěn)定，因此其極點(diǎn)必定落在s平面的左半平面！確定Ha(s)的零點(diǎn)：零點(diǎn)的分布只和濾波器的相位特征有關(guān)，如無特殊要求，可將 以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任意一半作為（應(yīng)為共軛對）取為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的一半零點(diǎn)（以原點(diǎn)為對稱軸）歸為Ha(s)的零點(diǎn)。再根據(jù)Ha(s) 的極、零點(diǎn)可確定其增益常數(shù)，最終得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 222( )()()aaasHs HsHj 2()( )()aaasjHjHs Hs ( )()aaHs Hs( )()aaH s Hs（

12、1）由幅度平方函數(shù)求得象限對稱的S 平面函數(shù)（2）將 因式分解，得到Ha(s)的零、極點(diǎn)( )()aaHs Hs（3） 求解Ha(s)的增益常數(shù)（4）由零、極點(diǎn)及增益常數(shù)，得( )aHs2()( )aaHjHs由確定的方法總結(jié)：總結(jié)：222( )()()aaasHs HsHj 例例2 在在MATLAB中設(shè)計(jì)一個(gè)中設(shè)計(jì)一個(gè)4階巴特沃斯（階巴特沃斯（Butterworth）模擬低通）模擬低通濾波器，其濾波器，其3dB截止頻率為截止頻率為0.3rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=butter(4,0.3,low,s); freqs(b,a)；右圖是所設(shè)計(jì)的右圖是所設(shè)計(jì)的4階巴特沃斯

13、階巴特沃斯（Butterworth）模擬低通濾波器模擬低通濾波器的頻率響應(yīng)曲線。的頻率響應(yīng)曲線。10-210-1100101-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10-210-110010110-1010-5100Frequency (rad/s)Magnitude例例3 在在MATLAB中設(shè)計(jì)一個(gè)中設(shè)計(jì)一個(gè)6階橢圓低通模擬濾波器，要求通帶最階橢圓低通模擬濾波器，要求通帶最大衰減大衰減3dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 30dB，其截止頻率為，其截止頻率為100rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=ellip(6,3,30

14、,100,low,s); freqs(b,a);右圖是所設(shè)計(jì)的右圖是所設(shè)計(jì)的6階橢圓階橢圓低通模擬濾波器低通模擬濾波器的頻率響應(yīng)曲線。的頻率響應(yīng)曲線。101102103-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10110210310-410-2100Frequency (rad/s)Magnitude四、四、 高通模擬濾波器的設(shè)計(jì)高通模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法：先設(shè)計(jì)出低通模擬濾波器，再通過頻率變換轉(zhuǎn)換成要方法：先設(shè)計(jì)出低通模擬濾波器，再通過頻率變換轉(zhuǎn)換成要求類型求類型(高通高通,帶通等帶通等)，而低通是通過幅度平方函數(shù)來設(shè)計(jì)的。，而低通是通過幅度

15、平方函數(shù)來設(shè)計(jì)的。()()ccHLpsHsHp低通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)低通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)高通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)高通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)( )HHs()LHp低通模擬濾波器的低通模擬濾波器的3dB通帶截止頻率cc高通模擬濾波器的高通模擬濾波器的3dB通帶邊界頻率cc 頻率變換關(guān)系例例4 在在MATLAB中設(shè)計(jì)一個(gè)中設(shè)計(jì)一個(gè)24階貝賽爾（階貝賽爾（ bessel ）高通模擬濾波）高通模擬濾波器，其器，其3dB通帶邊界頻率為通帶邊界頻率為100rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=besself(24,100,high,s);freqs(b,a)；右圖是所設(shè)計(jì)的右圖是所設(shè)計(jì)的

16、24階貝賽爾（階貝賽爾（ bessel ）模擬高通濾波器模擬高通濾波器的頻率響應(yīng)曲線。的頻率響應(yīng)曲線。100101102103-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10010110210310-2010-10100Frequency (rad/s)Magnitude五、帶通模擬濾波器的設(shè)計(jì)五、帶通模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法：先設(shè)計(jì)出低通模擬濾波器，再通過頻率變換轉(zhuǎn)換成所方法：先設(shè)計(jì)出低通模擬濾波器，再通過頻率變換轉(zhuǎn)換成所要設(shè)計(jì)的帶通模擬濾波器。要設(shè)計(jì)的帶通模擬濾波器。220()()BLspsHsHp 低通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)低通模擬濾波器的系統(tǒng)

17、函數(shù)帶通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)( )BHs()LHp低通模擬濾波器的低通模擬濾波器的3dB通帶截止頻率c012 帶通模擬濾波器的帶通模擬濾波器的3dB通帶幾何中心頻率220頻率變換關(guān)系12 、帶通模擬濾波器的帶通模擬濾波器的3dB通帶上、下邊界頻率21-cB = B 是帶通模擬濾波器的是帶通模擬濾波器的3dB通帶例例5 在在MATLAB中設(shè)計(jì)一個(gè)中設(shè)計(jì)一個(gè)20階巴特沃斯帶通模擬濾波器，其階巴特沃斯帶通模擬濾波器，其3dB通帶頻率為通帶頻率為100-1000 rad/s 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=butter(20,100,1000, s);freqs(b,

18、a)；右圖是所設(shè)計(jì)的右圖是所設(shè)計(jì)的20階巴特沃斯階巴特沃斯帶通模擬濾波器帶通模擬濾波器的頻率響應(yīng)曲線。的頻率響應(yīng)曲線。10-210-1100101102103104-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10-210-110010110210310410-10010-50100Frequency (rad/s)Magnitude六、帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)六、帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法：先設(shè)計(jì)出低通模擬濾波器，再通過頻率變換轉(zhuǎn)換成所方法：先設(shè)計(jì)出低通模擬濾波器，再通過頻率變換轉(zhuǎn)換成所要設(shè)計(jì)的帶阻模擬濾波器。要設(shè)計(jì)的帶阻模擬濾波器。20220()(

19、)SLspsHsHp 低通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)低通模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶阻模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶阻模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)( )SHs()LHp低通模擬濾波器的低通模擬濾波器的3dB通帶截止頻率，且20cB012 帶阻模擬濾波器的帶阻模擬濾波器的3dB阻阻帶幾何中心頻率20220 頻率變換關(guān)系12 、帶阻模擬濾波器的帶阻模擬濾波器的3dB通帶上、下邊界頻率2121-c B 是帶阻模擬濾波器的是帶阻模擬濾波器的阻阻帶帶寬21-B c例例6 在在MATLAB中設(shè)計(jì)一個(gè)中設(shè)計(jì)一個(gè)24階切比雪夫階切比雪夫I型的帶阻模擬濾波器，型的帶阻模擬濾波器，其其3dB阻帶的阻帶的上、下邊界頻率分別為為100 rad/

20、s和和1000 rad/s 。通帶最大衰減為通帶最大衰減為3dB 。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=cheby1(12,3, 100,1000, stop , s); freqs(b,a);右圖是所設(shè)計(jì)的右圖是所設(shè)計(jì)的24階切比雪夫階切比雪夫I型型帶阻模擬濾波器帶阻模擬濾波器的頻率響應(yīng)曲線。的頻率響應(yīng)曲線。100101102103104105-200-1000100200Frequency (rad/s)Phase (degrees)10010110210310410510-3010-2010-10100Frequency (rad/s)Magnitude6.3 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)

21、不變法一、設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)原理原理二、映射關(guān)系三、主要特點(diǎn)與適用范圍四、例子6.3 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法一、設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)原理原理根據(jù)給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求，先設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬濾波器，得到其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) ，然后再按沖激響應(yīng)不變法，將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) 轉(zhuǎn)換成滿足預(yù)定指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 沖激響應(yīng)不變法的基本思想是：使數(shù)字濾波器的單位沖使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)激響應(yīng)h(n)與相應(yīng)的模擬濾波器的沖激響應(yīng)與相應(yīng)的模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，在采樣點(diǎn)，在采樣點(diǎn)處的量值相等，即有：處的量值相等，即有：h(n)=ha(nT) ，T 是采樣周期是采樣周期一

22、、設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)原理原理具體的轉(zhuǎn)換過程如下：具體的轉(zhuǎn)換過程如下：模擬濾波器數(shù)字濾波器1( )NiaiiAHsss1( )( )iNs taiih tAe u tis( )aHs是 的單階極點(diǎn)，得到對 進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： ( )ah t1()( ) |()iNs n Tatn Tiih nhtA eun T對 進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：( )h n1011011( )( )(,1,2,.)1iiiiNNnns Ts TnniinniinNs Tis TiH zh n zA ezAezAzMax eiNez 二、映射關(guān)系對模擬濾波器全是單極點(diǎn)情況，即對模擬濾波器全是單

23、極點(diǎn)情況，即例1：解：已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 。給定采樣間隔T=1s24( )56aHsss( )H z( )aH s的極點(diǎn)1223ss ，444( )(2)(3)23aHsssss21213112312131213144( )1114441111iisTTTiAH zezezezeeze ze ze ze z（-）（）（）根據(jù)沖激響應(yīng)不變法，求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： sz( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH zsTzesj 0,1r0,1r映射關(guān)系2()jM TTTj TsTTeeeeez對于任意整

24、數(shù)M,都有：sz平面是多對一的映射T 頻率是線性關(guān)系！沖激響應(yīng)不變法平面的映射關(guān)系Trejzre0,1rsTTjTjzeeere, 平面與 平面之間的映射關(guān)系sTzesz多對一的映射沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 sTzes平面中每一個(gè)平面中每一個(gè)帶狀區(qū)帶狀區(qū)的左半邊映射到的左半邊映射到Z平面的單位圓內(nèi)；平面的單位圓內(nèi)；s平面中每一個(gè)平面中每一個(gè)帶狀區(qū)帶狀區(qū)的右半邊映射到的右半邊映射到Z平面的單位圓外部平面的單位圓外部 。s平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上平面的單位圓上 。帶狀區(qū)的寬度為帶狀區(qū)的寬度為2 /T由采樣序列的Z變換與原模擬信號的拉氏變換的關(guān)系，得到

25、數(shù)字濾波器與模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為12()jakHeHjkTTT 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且滿足采樣定理時(shí)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才不產(chǎn)生頻率混疊失真 提高采樣頻率為fs，可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng) 沖激響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)沖激響應(yīng)不變法的缺點(diǎn)-頻率頻率混疊失真混疊失真()02saHjT 2 /T數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：1()jaHeHjTT沖激響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 32)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2不是帶限信號頻響混疊現(xiàn)象 三、沖激響應(yīng)不變法的特點(diǎn)主要特點(diǎn)與適

26、用范圍優(yōu)點(diǎn)：T ， 與 呈線性關(guān)系，數(shù)字濾波器能很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響；缺點(diǎn)：數(shù)字濾波器在 附近存在頻率混疊現(xiàn)象，嚴(yán)重時(shí)使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標(biāo)，適用范圍：只適合設(shè)計(jì)低通和帶通濾波器。不適合設(shè) 計(jì)高通和帶阻濾波器。例例2 在在MATLAB中用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)中用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)4階巴特沃斯低通數(shù)字階巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，要求：模擬濾波器的截止頻率為濾波器，要求：模擬濾波器的截止頻率為0 .3 rad/s ,采樣頻率為采樣頻率為10Hz,比較數(shù)字濾波器和模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。比較數(shù)字濾波器和模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)。MATLAB程序如下：程序如下：b,a=butt

27、er(4,0.3,s); %首先設(shè)計(jì)首先設(shè)計(jì)3階巴特沃斯低通模擬濾波器階巴特沃斯低通模擬濾波器bz,az=impinvar(b,a,10) %對模擬濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行對模擬濾波器的沖激響應(yīng)進(jìn)行10Hz采樣采樣sys=tf(b,a); %求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)subplot(1,2,1); impulse(sys); %繪制模擬濾波器的沖激響應(yīng)繪制模擬濾波器的沖激響應(yīng)title(模擬濾波器的沖激響應(yīng)模擬濾波器的沖激響應(yīng));grid on ;subplot(1,2,2);dimpulse(bz,az); %繪制數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)繪制數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)title(數(shù)字濾波

28、器的沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng));grid on ;所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器和模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)曲線所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器和模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)曲線6.4 雙線性變換法雙線性變換法一、設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)原理原理二、映射關(guān)系三、主要特點(diǎn)與適用范圍四、雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)舉例五、總結(jié)：用模擬濾波器設(shè)計(jì)總結(jié)：用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟。數(shù)字濾波器的步驟。一、設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)原理原理 為了克服沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象，提出了雙線為了克服沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象，提出了雙線性變換法，它采用非線性的頻率壓縮方法，首先性變換法，它采用非線性的頻率壓縮方法，首先將整個(gè)頻率將整個(gè)頻率軸的頻率

29、范圍壓縮到軸的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到Z平面平面上，上，使使S平面與平面與Z平面建立起一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系。具體平面建立起一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系。具體的的變換變換規(guī)則如下：規(guī)則如下：（1）頻率壓縮：將整個(gè)）頻率壓縮：將整個(gè)S平面壓縮變換到某個(gè)中介平面壓縮變換到某個(gè)中介S1平面的平面的一橫帶里（寬度為一橫帶里（寬度為 ，即從，即從 到到 ） 。（2）數(shù)字化：將數(shù)字化：將S1 平面通過變換關(guān)系式平面通過變換關(guān)系式 映射到整映射到整個(gè)個(gè)Z Z平面上。這樣，平面上。這樣， S S平面與平面與Z Z平面就建立起了一一對應(yīng)的單平面就建立起了一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系

30、，無多值性，消除了頻譜的混疊失真。見下圖值映射關(guān)系，無多值性，消除了頻譜的混疊失真。見下圖2 /T(/ )T( / )T1sTze二、二、映射關(guān)系映射關(guān)系上圖映射關(guān)系的數(shù)學(xué)表示：上圖映射關(guān)系的數(shù)學(xué)表示：頻率壓縮：將頻率壓縮：將S平面上整個(gè)頻率平面上整個(gè)頻率 軸映射到軸映射到S1平面的橫平面的橫帶里（即從帶里（即從 到到 ） ，可采用如下變換關(guān)系：，可采用如下變換關(guān)系： 其中其中c為常數(shù)。為常數(shù)。 /T/T1tan()2Tc j1:/TT 數(shù)字化：數(shù)字化： 由由 得到：得到：11111111111/ 2-/ 2/ 2-/ 2/ 2-/ 2/ 2-/ 2tan()2sin(/ 2)cos(/ 2)

31、 /(2) / 2jTjTjTjTjTjTjTjTTjjcTjcTeejjceeeecee 1tan()2Tc 用歐拉公式展開用歐拉公式展開1111/ 2-/ 2/ 2-/ 2jTjTjTjTeejcee 得到：得到：將上述關(guān)系式延拓到整個(gè)將上述關(guān)系式延拓到整個(gè)S S平面和平面和S1S1平面，即：平面，即：11,js js 111111111111s/2-s/2s/2-s/2-s/2s/2-s/2-s-s/2s/2-s/2-s()1()1TTTTTTTTTTTTeesceeeeeecceeee二、二、映射關(guān)系映射關(guān)系再將再將S1 平面通過變換關(guān)系式平面通過變換關(guān)系式 映射到整個(gè)映射到整個(gè)Z Z

32、平面上。平面上。得到：得到：1sTze111-1-11111-s Ts Ts Tezcszescczezcs 或：所謂所謂“雙線性雙線性”變換，是指變換公式：變換，是指變換公式：-1-111-zcssczzc s 或：中中s s與與z z的關(guān)系無論是分子部分，還是分母部分都是的關(guān)系無論是分子部分，還是分母部分都是“線性線性”的。的?？偨Y(jié)：雙線性變換法的變換公式為：總結(jié)：雙線性變換法的變換公式為：1111( )( )zasczH zHstan2()()jacH eHj 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)：二、二、映射關(guān)系映射關(guān)系關(guān)于上述關(guān)系式中變換常數(shù)關(guān)于上述關(guān)系式中變換常數(shù)c的選擇，有的選擇，有2 2種常用方

33、法：種常用方法：方法方法1 1：根據(jù)模擬濾波器和數(shù)字濾波器在低頻處的頻率近似：根據(jù)模擬濾波器和數(shù)字濾波器在低頻處的頻率近似相等，即有：相等，即有：將這一近似關(guān)系代入到將這一近似關(guān)系代入到111,tan22TT 1tan2Tc 得到：得到：11111tan222,22sTTccTccfT（采樣頻率）（采樣頻率）二、映射關(guān)系二、映射關(guān)系嚴(yán)格對應(yīng)。嚴(yán)格對應(yīng)。例如例如1 1：按照按照3dB3dB截止頻率來嚴(yán)格對應(yīng)，得到：截止頻率來嚴(yán)格對應(yīng)，得到：方法方法2 2：使模擬濾波器的某一頻率和數(shù)字濾波器的相應(yīng)：使模擬濾波器的某一頻率和數(shù)字濾波器的相應(yīng)數(shù)字頻率按照頻率變換公式：數(shù)字頻率按照頻率變換公式：11ta

34、ntan(,)22TccT 模 擬 頻 率數(shù) 字 頻 率ta n/ ta n22cccccc 例如例如2 2：按照通帶頻率來嚴(yán)格對應(yīng)，得到：按照通帶頻率來嚴(yán)格對應(yīng)，得到：ta n/ ta n22ppppcc 例如例如3 3：按照阻帶頻率來嚴(yán)格對應(yīng)，得到：按照阻帶頻率來嚴(yán)格對應(yīng)，得到：ta n/ ta n22sssscc 三、主要特點(diǎn)與適用范圍優(yōu)點(diǎn)：不存在頻率混疊現(xiàn)象，幾乎適合所有的濾波器（低通、優(yōu)點(diǎn)：不存在頻率混疊現(xiàn)象，幾乎適合所有的濾波器（低通、帶通、高通和帶阻）；帶通、高通和帶阻）；缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 即模擬頻率和數(shù)字頻率之間是非線性關(guān)系，會產(chǎn)生相即模擬頻率和數(shù)字頻率之間是非線性關(guān)系，會產(chǎn)生相頻

35、特性失真，影響數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器頻響的逼真程頻特性失真，影響數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器頻響的逼真程度。如果對濾波器的相頻特性要求較高，則不適合采用雙線度。如果對濾波器的相頻特性要求較高，則不適合采用雙線性變換法。性變換法。ta n2c三、主要特點(diǎn)與適用范圍優(yōu)點(diǎn)：不存在頻率混疊現(xiàn)象，幾乎適合所有的濾波器（低通、優(yōu)點(diǎn)：不存在頻率混疊現(xiàn)象，幾乎適合所有的濾波器（低通、帶通、高通和帶阻）；帶通、高通和帶阻）；缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 即模擬頻率和數(shù)字頻率之間是非線性關(guān)系，會產(chǎn)生相即模擬頻率和數(shù)字頻率之間是非線性關(guān)系，會產(chǎn)生相頻特性失真，影響數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器頻響的逼真程頻特性失真，影響數(shù)字濾波器模仿模擬

36、濾波器頻響的逼真程度。如果對濾波器的相頻特性要求較高，則不適合采用雙線度。如果對濾波器的相頻特性要求較高，則不適合采用雙線性變換法。性變換法。ta n2c四、雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)舉例當(dāng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為有理分式時(shí)，即：當(dāng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為有理分式時(shí)，即： 20112012( )NNaNNAA sA sA sHsBB sB sB s采用雙線性變換法，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為：采用雙線性變換法，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為：1111120121212( )( )|1azs czNNNNH zH saa za za zbzb zb z上式中上式中a(s

37、)的系數(shù)與的系數(shù)與H( (z) )的系數(shù)之間的關(guān)系，見下表的系數(shù)之間的關(guān)系，見下表 例例1 1 采用雙線性變換法設(shè)計(jì)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采用雙線性變換法設(shè)計(jì)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為采樣頻率為fs=4 kHz=4 kHz，其，其3dB3dB截止頻率為截止頻率為fc=1 kHz=1 kHz。 三階模三階模擬巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為擬巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH是模擬濾波器的是模擬濾波器的3dB3dB截止頻率截止頻率c解解: : 把把3dB3dB截止頻率截止頻率fc=1kHz =1kHz 轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的數(shù)字頻率轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的數(shù)字

38、頻率c=2fcT=2fc /fs=0.5由于采用雙線性變換法，則對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率為由于采用雙線性變換法，則對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率為 0.5tantan22ccccc 將將cc代入到三階模擬巴特沃思濾波器的代入到三階模擬巴特沃思濾波器的Ha(s)，得到，得到 231( )12( / )2( / )( / )aHss cs cs c采用雙線性變換法，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為采用雙線性變換法，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為11111123111232( )( )1=12( /)2( /)( /)1 133=23azsczzsczH zHss cs cs czzzz數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為數(shù)

39、字濾波器的頻率響應(yīng)為2321133()=( )=23jjjjjjz eeeeH eH ze1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz 用雙線性變換法設(shè)計(jì)得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性 例例2 2 已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 其其3dB3dB通帶角頻率通帶角頻率 。用雙線性變換法設(shè)計(jì)對應(yīng)。用雙線性變換法設(shè)計(jì)對應(yīng)的數(shù)字低通濾波器，給定其采樣角頻率為的數(shù)字低通濾波器，給定其采樣角頻率為 ， 3dB 3dB通帶角頻率通帶角頻率 1()1aHss解解: : 把數(shù)字低通濾波器的把數(shù)字低通濾波器的3dB3dB通帶角頻率轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的數(shù)字頻率通帶角頻

40、率轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的數(shù)字頻率由于采用雙線性變換法，求出系數(shù)由于采用雙線性變換法，求出系數(shù)c c為：為：1tan3.0776840.22tantan22ppppcc1/prad s1000/srads100/rads22100(/ ) ( )1001000.21000psrad s T s采用雙線性變換法，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為采用雙線性變換法，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為11113.07768411111( )( )=11114.0446842.0776843.077684110.245237(1)10.2452370.50952510.509525azzssczzH zHsszzzzzzzz-1

41、-1113.07768411zzsczz五、總結(jié)：用模擬濾波器設(shè)計(jì)總結(jié)：用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟數(shù)字濾波器的步驟 (1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：例如通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s等。 (2)將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 如果采用雙線性變換法，則：如果采用沖激響應(yīng)不變法，則：/T tan()2c (3)按照模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器。 (4)用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將模擬濾波器Ha(s)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻率響應(yīng)。和頻率響應(yīng)。6.5 數(shù)字頻率變換法數(shù)字頻率變換法一、原理二、數(shù)字

42、頻率變換的計(jì)算公式數(shù)字頻率變換的計(jì)算公式三、舉例一、原理數(shù)字頻率變換數(shù)字頻率變換法分兩步法分兩步：1、先將歸一化的將歸一化的模擬原型模擬原型低通濾波器濾波器(通帶截止頻率通帶截止頻率c=1)通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器；通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器；2、然后通過數(shù)字域的頻、然后通過數(shù)字域的頻率率變換，把變換，把數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為所需類型（數(shù)字低通、數(shù)字高通、數(shù)字帶通、數(shù)字帶阻等）所需類型（數(shù)字低通、數(shù)字高通、數(shù)字帶通、數(shù)字帶阻等）的數(shù)字濾波器。的數(shù)字濾波器。 其中第其中第1步前面已經(jīng)討論了，下面主要討論第步前面已經(jīng)討論了，下

43、面主要討論第2步如何實(shí)現(xiàn)。步如何實(shí)現(xiàn)。表示表示原型數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，表示轉(zhuǎn)換后的其他類型的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)表示轉(zhuǎn)換后的其他類型的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則轉(zhuǎn)換函數(shù)可以表示成函數(shù)，則轉(zhuǎn)換函數(shù)可以表示成:1( Z)zG- 11L()Hz1()dHZ其中其中 ：z 表示原來的表示原來的原型數(shù)字低通濾波器所在的數(shù)字低通濾波器所在的z 平面，平面， Z 表示新的其他類型的數(shù)字濾波器所在的表示新的其他類型的數(shù)字濾波器所在的z 平面。平面。1111()()|dLzG ZHZHz問題：原型數(shù)字低通濾波器如何轉(zhuǎn)換成其他類型的數(shù)字濾波器？數(shù)字低通濾波器如何轉(zhuǎn)換成其他類型的數(shù)字濾波器

44、？設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：二、數(shù)字頻率變換的計(jì)算公式數(shù)字頻率變換的計(jì)算公式條件條件1 1：由于數(shù)字濾波器的由于數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)都是復(fù)變量的系統(tǒng)函數(shù)都是復(fù)變量的有理函數(shù)，有理函數(shù)，所以轉(zhuǎn)換后的所以轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)仍要是仍要是Z Z-1-1 的有理函數(shù)，即要求的有理函數(shù)，即要求轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換函數(shù)函數(shù)G(G(Z Z-1-1) )也必須是也必須是Z Z-1-1 的有理函數(shù)；的有理函數(shù)；條件條件2 2：轉(zhuǎn)換后要保證數(shù)字濾波器還是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，即：轉(zhuǎn)換后要保證數(shù)字濾波器還是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，即：原來的原來的 z z 平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)映射到新的平面單位圓內(nèi)的點(diǎn)映射到新的Z Z平面之后平面之后, ,還在單還在單位圓之內(nèi)位圓之內(nèi); ;條件條件3 3： 頻率軸應(yīng)能對應(yīng)起來頻率軸應(yīng)能對應(yīng)起來, ,即：原來即：原來z z平面的單位圓還能平面的單位圓還能映射到新的映射到新的Z Z平面的單位圓上。平面的單位圓上。1）轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換應(yīng)滿足的條件：）轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換應(yīng)滿足的條件：按按條件條件3，在單位圓上，有：,jjzeZearg()()|() |jjjjjGeeG eG ee即 ：1-1|() |jjzeZezG Z|()| 1,arg()jj