專(zhuān)題05相似三角形的存在性問(wèn)題解題策略解析版

1、專(zhuān)題05 相似三角形的存在性問(wèn)題解題策略專(zhuān)題攻略相似三角形的判定定理有3個(gè)，其中判定定理1和判定定理2都有對(duì)應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個(gè)三角形相似的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，一般情況下首先尋找一組對(duì)應(yīng)角相等判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)，如例題1、2、3、4應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對(duì)應(yīng)角相等，如例題6應(yīng)用判定定理3解題不多見(jiàn)，如例題5，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例列連比式解方程（組）例題解析例 如圖1-1，拋物線(xiàn)與x軸交于a、b兩點(diǎn)（a點(diǎn)在b點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)c動(dòng)直線(xiàn)ef（ef/x軸）從點(diǎn)c開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位的速度沿y

2、軸負(fù)方向平移，且分別交y軸、線(xiàn)段bc于e、f兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p同時(shí)從點(diǎn)b出發(fā)，在線(xiàn)段ob上以每秒2個(gè)單位的速度向原點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)是否存在t，使得bpf與abc相似若存在，試求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1-1【解析】bpf與abc有公共角b，那么我們梳理兩個(gè)三角形中夾b的兩條邊abc是確定的由，可得a(4, 0)、b(8, 0)、c(0, 4)于是得到ba4，bc還可得到bpf中，bp2t，那么bf的長(zhǎng)用含t的式子表示出來(lái)，問(wèn)題就解決了在rtefc中，cet，ef2t，所以因此于是根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程：當(dāng)時(shí)，解得（如圖1-2）當(dāng)時(shí)，解得（如圖1-3） 圖1-2 圖1-3例 如圖2-1，

3、在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為m的拋物線(xiàn)yax2bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)a和x軸正半軸上的點(diǎn)b，aobo2，aob120（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；（2）連結(jié)om，求aom的大?。唬?）如果點(diǎn)c在x軸上，且abc與aom相似，求點(diǎn)c的坐標(biāo) 圖2-1 【解析】abc與aom中相等的一組角在哪里呢？本題由簡(jiǎn)到難，層層深入第（1）題求出拋物線(xiàn)的解析式，得到頂點(diǎn)m的坐標(biāo)，為第（2）題求aom的大小作鋪墊；求得了aom的大小，第（3）題暗示了要在abc中尋找與aom相等的角（1）如圖2-2，過(guò)點(diǎn)a作ahy軸，垂足為h容易得到a再由a、b(2,0)兩點(diǎn)，可求得拋物線(xiàn)的解析式為（2）由，得頂點(diǎn)m 所以所以bom30所

4、以aom150圖2-2（3）由a、b(2,0)，可得abo30因此當(dāng)點(diǎn)c在點(diǎn)b右側(cè)時(shí)，abcaom150所以abc與aom相似，存在兩種情況：當(dāng)時(shí)，此時(shí)c(4,0)（如圖2-3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)c(8,0)（如圖2-4） 圖2-3 圖2-4例 如圖3-1，拋物線(xiàn)yax2bx3與x軸交于a(1, 0)、b(3, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)d，頂點(diǎn)為c（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）在x軸下方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)m，過(guò)m作mnx軸于點(diǎn)n，使以a、m、n為頂點(diǎn)的三角形與bcd相似？若存在，求出點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖3-1【解析】amn是直角三角形，因此必須先證明bcd是直角三角形一般情況下，根據(jù)直

5、角邊對(duì)應(yīng)成比例分兩種情況列方程（1）拋物線(xiàn)的解析式為yx24x3（2）由yx24x3(x2)21，得d(0,3)，c(2, 1)如圖3-2，由b(3, 0)、d(0,3)、c(2, 1)，可知cbo45，dbo45所以cbd90，且圖3-2 圖3-3 圖3-4設(shè)點(diǎn)m、n的橫坐標(biāo)為x，那么nmym，而na的長(zhǎng)要分n在a的右邊或左邊兩種情況，因此列方程要“兩次分類(lèi)”：當(dāng)n在a右側(cè)時(shí)，nax1，分兩種情況列方程：當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)m（如圖3-3）當(dāng)時(shí)，解得x6此時(shí)m(6,15)（如圖3-5）當(dāng)n在a左側(cè)時(shí)，na1x，也要分兩種情況列方程：當(dāng)時(shí)，解得1，不符合題意（如圖3-4）當(dāng)時(shí)，解得x0，此時(shí)m(0,

6、3)（如圖3-6）圖3-5 圖3-6例 如圖4-1，在平面直角坐標(biāo)系中，a(8,0)，b(0,6)，點(diǎn)c在x軸上，bc平分oba點(diǎn)p在直線(xiàn)ab上，直線(xiàn)cp與y軸交于點(diǎn)f，如果acp與bpf相似，求直線(xiàn)cp的解析式圖4-1【解析】首先求得點(diǎn)c(3,0)acp與bpf中，相等的角在哪里??？如圖4-2，當(dāng)點(diǎn)p在線(xiàn)段ab上時(shí)，acp與bpf中，apc與bpf是鄰補(bǔ)角，如果這兩個(gè)鄰補(bǔ)角一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角，兩個(gè)三角形怎么可能相似呢？因此cp與ab是垂直的可以求得f(0,4)，于是直線(xiàn)cf(cp)為如圖4-3，當(dāng)點(diǎn)p在ab的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，acp與bpf有公共角p于是ofcpfba，可以求得f(0, 4)，

7、因此直線(xiàn)cf(cp)為如圖4-4，當(dāng)點(diǎn)p在ba的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，b與pca不可能相等在aob中，根據(jù)大邊對(duì)大角，bbao；bao又是pca的一個(gè)外角，baopca圖4-2 圖4-3 圖4-4例 如圖5-1，二次函數(shù)yx23x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(1,a)，線(xiàn)段ad平行于x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)d在y軸上取一點(diǎn)c(0, 2)，直線(xiàn)ac交拋物線(xiàn)于點(diǎn)b，連結(jié)oa、ob、od、bd求坐標(biāo)平面內(nèi)使eodaob的點(diǎn)e的坐標(biāo)；圖5-1【解法一】點(diǎn)a、d、b都是確定的，可以求得a(1, 4)，d(4, 4)，b(2,2)所以，eodaob，對(duì)應(yīng)邊已經(jīng)確定，因此我們可以根據(jù)判定定理3列方程由，得所以，設(shè)點(diǎn)e的坐標(biāo)為(x, y)

8、，根據(jù)eo268，de2180，列方程組解得 所以點(diǎn)e的坐標(biāo)為(8,2)或(2, 8)上面的解題過(guò)程是“盲解”，我們并不明白兩個(gè)三角形的位置關(guān)系【解法二】如圖5-2，aob是確定的，aob與eod有公共點(diǎn)o，obod12，bod90如果eodaob，我們可以把a(bǔ)ob繞著點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)b落在od上，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為90，點(diǎn)b恰好落在od的中點(diǎn)按照這個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)則，點(diǎn)a(1, 4) 繞著點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到點(diǎn)a(4,1)，點(diǎn)a是線(xiàn)段oe的中點(diǎn)，因此點(diǎn)e的坐標(biāo)為(8,2)如圖5-3，點(diǎn)e(8,2)關(guān)于直線(xiàn)od（即直線(xiàn)yx）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為e(2,8)圖5-2 圖5-3例 如圖6-1，在abc中，aba

9、c4，bc8a的半徑為2，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)沿bc方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)延長(zhǎng)ba交a于點(diǎn)d，連結(jié)ap交a于點(diǎn)e，連結(jié)de并延長(zhǎng)交bc于點(diǎn)f設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)abp與fbd相似時(shí)，求t的值圖6-1【解析】abc是等腰直角三角形，a是確定的，先按照題意把圖形補(bǔ)充完整如圖6-2，容易發(fā)現(xiàn)abp與fbd有公共角b，如果根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列方程或，其中ba4，bpt，bd42，但是用含t的式子表示bf困難重重啊！圖6-2 圖6-3 圖6-4我們另起爐灶，按照判定定理1來(lái)解決abp與fbd有公共角b，我們以d為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論它們相似：第一種情況，如圖6-3，bapd是不可能的，這是因?yàn)閎ap是等腰三角形ade的外角，bap2d第二種情況，如圖6-4，當(dāng)bpad時(shí)，在abp中，由于bap2d