數(shù)學(xué)建模題目及答案解析

1、09級數(shù)模試題1. 把四只腳的連線呈長方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然后稍微挪動(dòng)幾次，就可以使四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。試作合理的假設(shè)并建立數(shù)學(xué)模型說明這個(gè)現(xiàn)象。（15分）解：對于此題，如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對這個(gè)問題我們假設(shè) ：（1）地面為連續(xù)曲面 （2）長方形桌的四條腿長度相同（3）相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的（4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時(shí)接觸到地面?，F(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如圖所示，方桌的四條腿分別在a、b

2、、c、d處，a、b,c、d的初始位置在與x軸平行，再假設(shè)有一條在x軸上的線ab,則ab也與a、b，c、d平行。當(dāng)方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對角線 ab與x軸的夾角記為。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 為a、b離地距離之和，為c、d離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設(shè)（1），,均為的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)（3），三條腿總能同時(shí)著地， 故=0必成立（）。不妨設(shè),g（若也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：已知,均為的連續(xù)函數(shù)，,且對任意有，求證存在某一，使。證明：當(dāng)=時(shí)，ab與cd互換位置，故，。作，顯然，也是的連續(xù)函數(shù)，而，由

3、連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在，使得，即。又由于，故必有，證畢。 2.學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。學(xué)生 們要組織一個(gè)10人的委員會，試用合理的方法分配各宿舍的委員數(shù)。（15分）解：按各宿舍人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比列分配各宿舍的委員數(shù)。設(shè)：a宿舍的委員數(shù)為x人，b宿舍的委員數(shù)為y人，c宿舍的委員數(shù)為z人。計(jì)算出人數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面的小數(shù)部分最大的整數(shù)進(jìn)1，其余取整數(shù)部分。則 x+y+z=10； x/10=235/1000； y/10=333/1000； z/10=432/1000； ，x,y,z為正整數(shù)；解得：x=3 y=3 z=43.一飼養(yǎng)場每天投入5元資金

4、用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每 天增加2公斤。目前生豬出售的市場價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問該場應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬可以獲得最大利潤。（15分）解：設(shè)在第t天出售這樣的生豬（初始重80公斤的豬）可以獲得的利潤為z元。每頭豬投入：5t元產(chǎn)出：（8-0.1t）（80+2t）元利潤：z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t2 + 13t +640 =-0.2（t2-65t+4225/4）+3405/4當(dāng)t=32或t=33時(shí)，zmax=851.25(元)因此，應(yīng)該在第32天過后賣出這樣的生豬，可以獲得最大利潤。 4. 一奶制品加工廠用

5、牛奶生產(chǎn)a1，a2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用12小時(shí)加工成3公斤a1，或者在設(shè)備乙上用8小時(shí)加工成4公斤a2。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的a1，a2全部能售出，且每公斤a1獲利24元，每公斤a2獲利16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天工人總的勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí)，并且設(shè)備甲每天至多能加工100公斤a1，設(shè)備乙的加工能力沒有限制。（1）試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大。（2）33元可買到1桶牛奶，買嗎？（3）若買，每天最多買多少?（4）可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? (5)a1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？（15分）解：設(shè)：每天生產(chǎn)將x桶牛奶加

6、工成a1，y桶牛奶加工成a2，所獲得的收益為z元。 加工每桶牛奶的信息表:產(chǎn)品a1a2所需時(shí)間12小時(shí)8小時(shí)產(chǎn)量3公斤4公斤獲利/公斤24元16元(1) x+y0則，牛奶33元/桶 可以買。(3)若不限定牛奶的供應(yīng)量，則其優(yōu)化條件變?yōu)椋?w=39x+31y解得，當(dāng)x=0，y=60時(shí) ， wmax=1860元?jiǎng)t最多購買60桶牛奶。(4) 若將全部的利潤用來支付工人工資，設(shè)工資最高為n元。 n=wmax/480=3.875（元）(5)若a1的獲利為30元，則其優(yōu)化條件不變。z1=90x+64y解得， 當(dāng)x=0，y=60時(shí)，z1max=3840（元）因此，不必改變生產(chǎn)計(jì)劃。 5. 在冷卻過程中，物體

7、的溫度在任何時(shí)刻變化的速率大致正比于它的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個(gè)煮硬了的雞蛋有98，將它放在18的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38，假定沒有感到水變熱，問雞蛋達(dá)到20，還需多長時(shí)間?（15分）解：題意沒有感到水變熱，即池水中水溫不變。設(shè):雞蛋的溫度為t，溫度變化率就是 dt/dt 其中t為時(shí)間，水的溫度為t1，則雞蛋與水溫差為 t-t1由題意有： t- t1=kdt/dt (其中k為比例常數(shù)) (1)方程(1)化為 ： dt=kdt/（t- t1） （2）對（2）兩邊同時(shí)積分之后并整理一下就得到： t=k*ln（t- t1）+c則 k*l

8、n（98-18）+ c=05=k*ln（38-18）+c t1=k*ln(20-18)+c-k*ln(38-18)+c=8.3（min）所以，還需8.3（min）。6. 報(bào)童每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣完的報(bào)紙退回。設(shè)每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為，零售價(jià)為，退回價(jià)為，應(yīng)該自然地假設(shè)。這就是說，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺，退回一份報(bào)紙賠。報(bào)童如果每天購進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣的，會少賺錢；如果購進(jìn)太多，賣不完，將要賠錢。請你為報(bào)童籌劃一下，他應(yīng)該如何確定每天購進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。（15分）解：設(shè)：報(bào)紙具有時(shí)效性每份報(bào)紙進(jìn)價(jià)b元，賣出價(jià)a元，賣不完退回份報(bào)紙c元。設(shè)每日的訂購量為n，如果訂購的多

9、了，報(bào)紙剩下會造成浪費(fèi)，甚至陪錢。訂的少了，報(bào)紙不夠賣，又會少賺錢。為了獲得最大效益，現(xiàn)在要確定最優(yōu)訂購量n。n的意義。n是每天購進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，確定n一方面可以使報(bào)童長期以內(nèi)擁有一個(gè)穩(wěn)定的收入，另一方面也可以讓報(bào)社確定每日的印刷量，避免紙張浪費(fèi)。所以，筆者認(rèn)為n的意義是雙重的。本題就是讓我們根據(jù)a、b、c及r來確定每日進(jìn)購數(shù)n?；炯僭O(shè)1、假設(shè)報(bào)童現(xiàn)在要與報(bào)社簽定一個(gè)長期的訂購合同，所以要確定每日的訂購量n。2、假設(shè)報(bào)紙每日的需求量是r，但報(bào)童是一個(gè)初次涉足賣報(bào)行業(yè)的菜鳥，毫無經(jīng)驗(yàn)，無法掌握需求量r的分布函數(shù),只知道每份報(bào)紙的進(jìn)價(jià)b、售價(jià)a及退回價(jià)c。3、假設(shè)每日的定購量是n。4、報(bào)童的目的是

10、盡可能的多賺錢。建立模型應(yīng)該根據(jù)需求量r確定需求量n，而需求量r是隨機(jī)的，所以這是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)決策問題。而報(bào)童卻因?yàn)樽陨淼木窒?，無法掌握每日需求量的分布規(guī)律，已確定優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。但是要得到n值，我們可以從賣報(bào)紙的結(jié)果入手，結(jié)合r與n的量化關(guān)系，從實(shí)際出發(fā)最終確定n值。由常識可以知道賣報(bào)紙只有賺錢、不賺錢不賠錢、賠錢會有三種結(jié)果?，F(xiàn)在用簡單的數(shù)學(xué)式表示這三種結(jié)果。1、賺錢。賺錢又可分為兩種情況:rn，則最終收益為(a-b)n(1)r0整理得：r/n(b-c)/(a-c)(2)2、由(2)式容易得出不賺錢不賠錢。r/n=(b-c)/(a-c)(3)3、賠錢。r/nbc,可得a-ca-b，而(a-

11、b)恰好是賣一份報(bào)紙賺得的錢。然后采用放縮法，把(2)式中的(a-c)換成(a-b)，得到r/n(b-c)/(a-b)(5)不等式依然成立。由(5)式再結(jié)合(1)式可知收益與n正相關(guān)，所以要想使訂購數(shù)n的份數(shù)越多，報(bào)童每份報(bào)紙賠錢(b-c)與賺錢(a-b)的比值就應(yīng)越小。當(dāng)報(bào)社與報(bào)童簽訂的合同使報(bào)童每份報(bào)紙賠錢與賺錢之比越小，訂購數(shù)就應(yīng)越多。7. 談?wù)勀銓?shù)學(xué)建模的認(rèn)識，你認(rèn)為數(shù)學(xué)建模過程中哪些步驟是關(guān)鍵的。（10分） 簡單地說：數(shù)學(xué)模型就是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述。 具體一點(diǎn)說：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為某種目的的一個(gè)抽象的簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 更確切地說：數(shù)學(xué)模型就是對于一個(gè)特定的對象為了一

12、個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。 數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程（見數(shù)學(xué)建模過程流程圖）。 數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過程 1 模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。 2 模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。 3 模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)