基本立體及表面交線課件

1、 本章主要學(xué)習(xí)、本章主要學(xué)習(xí)、理解立體的投理解立體的投影圖，能夠繪制立體的投影及表面影圖，能夠繪制立體的投影及表面交線交線?；玖Ⅲw及其表面交線的投影基本立體及其表面交線的投影本章學(xué)習(xí)目的本章學(xué)習(xí)目的1 . 掌握平面立體和曲面立體的投影。掌握平面立體和曲面立體的投影。2 . 掌握立體表面上的點(diǎn)和線的投影及作圖。掌握立體表面上的點(diǎn)和線的投影及作圖。3 . 掌握平面立體的截交線。掌握平面立體的截交線。4 . 掌握回轉(zhuǎn)體的截交線。掌握回轉(zhuǎn)體的截交線。5 . 掌握回轉(zhuǎn)體的相貫線。掌握回轉(zhuǎn)體的相貫線。6 . 掌握相貫線的特殊情況。掌握相貫線的特殊情況。3.1 平面立體的投影平面立體的投影3.4 回轉(zhuǎn)體的

2、截交線回轉(zhuǎn)體的截交線3.5 回轉(zhuǎn)體的相貫線回轉(zhuǎn)體的相貫線3.2 回轉(zhuǎn)曲面立體的投影回轉(zhuǎn)曲面立體的投影3.3 平面立體的截交線平面立體的截交線概述概述基本立體平面立體平面立體 曲面立體曲面立體棱柱棱錐圓柱圓錐圓環(huán)球物體的組成物體的組成基本立體基本立體表面表面線線點(diǎn)點(diǎn) 常常見(jiàn)見(jiàn)的的基基本本立立體體平平面面立立體體曲曲面面立立體體棱柱棱柱棱錐棱錐圓柱圓柱圓錐圓錐球球圓環(huán)圓環(huán)平面平面+ +平面平面曲面曲面+ +平面平面曲面曲面+ +曲面曲面圍成立體的各類表面相交形成不同的表面交線。圍成立體的各類表面相交形成不同的表面交線。2）相貫線：立體與立體表面相交所形成的交線。相貫線：立體與立體表面相交所形成的交

3、線。立體表面上的交線可分為兩大類：立體表面上的交線可分為兩大類：1）截交線：平面與立體表面相交后形成的交線；截交線：平面與立體表面相交后形成的交線；可見(jiàn)可見(jiàn)的輪廓線畫(huà)的輪廓線畫(huà)粗實(shí)粗實(shí)線，線， 不可見(jiàn)不可見(jiàn)的輪廓線畫(huà)的輪廓線畫(huà)細(xì)虛細(xì)虛線。線。3.1 平面立體的投影平面立體的投影 平面立體的投影是平面立體各表面投影的集合平面立體的投影是平面立體各表面投影的集合-由由直線段組成的直線段組成的封閉圖形封閉圖形。平面立體側(cè)面的交線稱為平面立體側(cè)面的交線稱為棱線棱線。棱柱棱柱棱錐棱錐平面立體基本知識(shí)：平面立體基本知識(shí)：棱線棱線若平面立體所有棱線互相平行，稱為若平面立體所有棱線互相平行，稱為棱柱棱柱。若平

4、面立體所有棱線交于一點(diǎn)，稱為若平面立體所有棱線交于一點(diǎn)，稱為棱錐棱錐。一、棱柱的投影一、棱柱的投影 將三棱柱分別向三個(gè)投影面作正投射，得到將三棱柱分別向三個(gè)投影面作正投射，得到H、V、W面三個(gè)投影。面三個(gè)投影。 再按規(guī)定方向，將再按規(guī)定方向，將H、W面展開(kāi)到與面展開(kāi)到與V面重合的位置上，便得三棱柱面重合的位置上，便得三棱柱的三面投影圖。的三面投影圖。 XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )三個(gè)投影之間存三個(gè)投影之間存在著下列投影規(guī)在著下列投影規(guī)律：律：1）投影之間的度量關(guān)系）投影之間的度量關(guān)系 ：V面投影與面投影與H面投影沿面投影沿O

5、X軸方向的坐標(biāo)相等；軸方向的坐標(biāo)相等；V面投影與面投影與W面投影沿面投影沿OZ軸方向的坐標(biāo)相等；軸方向的坐標(biāo)相等；H面投影與面投影與W面投影沿面投影沿OY軸方向的坐標(biāo)相等。軸方向的坐標(biāo)相等。XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )2）投影之間的位置關(guān)系）投影之間的位置關(guān)系 ：H面投影反映物體前、后和左、右的位置關(guān)系；面投影反映物體前、后和左、右的位置關(guān)系；V面投影反映物體上、下和左、右的位置關(guān)系；面投影反映物體上、下和左、右的位置關(guān)系；W面投影反映物體上、下和前、后的位置關(guān)系。面投影反映物體上、下和前、后的位置關(guān)系。投影規(guī)律適用于所投影

6、規(guī)律適用于所有物體的投影有物體的投影XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )平面立體投影的可見(jiàn)性判別平面立體投影的可見(jiàn)性判別 1）外形輪廓線都是可見(jiàn)的。）外形輪廓線都是可見(jiàn)的。 XZOYWYHacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )2）外形輪廓線內(nèi)的相交直線，可利用重影點(diǎn)來(lái)判別可見(jiàn)性。）外形輪廓線內(nèi)的相交直線，可利用重影點(diǎn)來(lái)判別可見(jiàn)性。 3）若外形輪廓線內(nèi)的多條棱線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)可見(jiàn)，則這些棱線均）若外形輪廓線內(nèi)的多條棱線交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)可見(jiàn)，則這些棱線均 可見(jiàn)，否則均不可見(jiàn)?？梢?jiàn)，否則均不

7、可見(jiàn)。 4）若外形輪廓線內(nèi)的兩可見(jiàn)表面相交，其交線為可見(jiàn)。）若外形輪廓線內(nèi)的兩可見(jiàn)表面相交，其交線為可見(jiàn)。 兩不可見(jiàn)表面的交線為不可見(jiàn)。兩不可見(jiàn)表面的交線為不可見(jiàn)。 acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )XZOYWYH 由于物體投影圖的形狀和大小，與物體對(duì)投影面的距由于物體投影圖的形狀和大小，與物體對(duì)投影面的距離無(wú)關(guān)，所以在畫(huà)圖時(shí)為了合理布置圖幅，通常離無(wú)關(guān)，所以在畫(huà)圖時(shí)為了合理布置圖幅，通常去掉投影去掉投影軸。軸。但它們之間的投影關(guān)系，仍應(yīng)嚴(yán)格遵守。但它們之間的投影關(guān)系，仍應(yīng)嚴(yán)格遵守。acba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a

8、1( )b b1( )例例1：在三棱柱表面上有點(diǎn)：在三棱柱表面上有點(diǎn)K，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)K的的V面投影面投影k，求作它的另外兩面投影。，求作它的另外兩面投影。分析：分析：1）由于點(diǎn)）由于點(diǎn)K的的V面投影面投影k是可見(jiàn)的，所以點(diǎn)是可見(jiàn)的，所以點(diǎn)K位于側(cè)表面位于側(cè)表面AA1B1B上；上；HVWkABCA1B1C12）側(cè)表面）側(cè)表面AA1B1B是鉛垂面，其是鉛垂面，其H面投影積聚為直線段，所以點(diǎn)面投影積聚為直線段，所以點(diǎn)K的的 H面投影面投影k 必在該直線段上；必在該直線段上；aa1bb1kKacba1b1c1( )acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )分析：分析：3）根據(jù)點(diǎn)的投

9、影規(guī)律，先求出點(diǎn)）根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，先求出點(diǎn)K的的H面投影面投影k，然后由，然后由k、k求出求出 其其W面投影面投影k；4）因側(cè)表面）因側(cè)表面AA1B1B的的W面投影為可見(jiàn)，故面投影為可見(jiàn)，故k也為可見(jiàn)。也為可見(jiàn)。kABCA1B1C1aa1bb1kkY2Y2kHVWK例例1：在三棱柱表面上有點(diǎn)：在三棱柱表面上有點(diǎn)K，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)K的的V面投影面投影k，求作它的另外兩面投影。，求作它的另外兩面投影。acba1b1( )c1acba1b1c1c c1( )a a1( )b b1( )例例2：在三棱柱表面上有點(diǎn)：在三棱柱表面上有點(diǎn)M，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)M 的的H 面投影面投影m，求作它的另外兩面投影，

10、求作它的另外兩面投影m、m。分析：分析：1）由于點(diǎn)）由于點(diǎn)M的的H面投影面投影m是可見(jiàn)的，所以點(diǎn)是可見(jiàn)的，所以點(diǎn)M位于頂面位于頂面ABC內(nèi)；內(nèi)；HVWmABCA1B1C12）頂面）頂面ABC為水平面，其為水平面，其V、W面投影均積聚為直線段，面投影均積聚為直線段，Mabcacbmm可由點(diǎn)可由點(diǎn)M的的H面投影面投影m，利用點(diǎn)的投影規(guī)律，求出其，利用點(diǎn)的投影規(guī)律，求出其V、W面投影面投影m、m。 mY3Y3mHVWABCScabsabcsb(c)a二、棱錐二、棱錐特點(diǎn)：棱錐各棱相交于錐頂。特點(diǎn)：棱錐各棱相交于錐頂。 a ( )abcbcssabcss分析：側(cè)表面分析：側(cè)表面SAB及及SBC為一般位

11、置平面，側(cè)表面為一般位置平面，側(cè)表面SAC為側(cè)垂面，底面為側(cè)垂面，底面ABC為水平面；三條棱線中為水平面；三條棱線中SA和和SC為一般位置直線，而為一般位置直線，而SB為側(cè)平線。為側(cè)平線。ba ( )abcbcssabcs例例3：在三棱錐表面上有點(diǎn)：在三棱錐表面上有點(diǎn)N，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)N 的的H面投影面投影n，求作它的另外兩面投影。，求作它的另外兩面投影。分析：分析：1）由于點(diǎn)由于點(diǎn)N的的H面投影面投影n是不可見(jiàn)的，所以點(diǎn)是不可見(jiàn)的，所以點(diǎn)N位于底面位于底面ABC內(nèi)；內(nèi)；2）底面）底面ABC為水平面，其為水平面，其V、W面投影均積聚為直線段，面投影均積聚為直線段，可由點(diǎn)可由點(diǎn)N的的H面投影面投

12、影n，利用點(diǎn)的投影規(guī)律，求出其，利用點(diǎn)的投影規(guī)律，求出其V、W面投影面投影n、n。 (n)nYnYHVWABCScabsabcsN(c)asHVWABCScab(c )sabcsdbca ( )abbcssabcssa例例4：在三棱錐表面上有點(diǎn)：在三棱錐表面上有點(diǎn)K，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)K 的的V 面投影面投影k ，求作，求作K的另外兩面投影。的另外兩面投影。分析：分析：1）由于點(diǎn)）由于點(diǎn)K的的V面投影面投影k為可見(jiàn)，所以點(diǎn)為可見(jiàn)，所以點(diǎn)K在一般位置平面在一般位置平面SAB內(nèi)；內(nèi)；2）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)K作輔助直線作輔助直線SD，其，其V面投影面投影sd必通過(guò)必通過(guò)k； 3）求出輔助線）求出輔助線SD的的H

13、、W面投影面投影sd、sd，則點(diǎn)，則點(diǎn)的的H、W面投影面投影k、k必在必在sd、sd上。上。 YYKDdd YKYKkkk輔助線法輔助線法1HVWABCScab(c)sabcsb ( )abacbcssabcsasKYKYKkk輔助線法輔助線法22）求出）求出EF的的H、W面投影面投影ef、ef，則點(diǎn)，則點(diǎn)K的的H、W面投影面投影k、k必在必在ef、 ef上。上。 1）通過(guò)點(diǎn)）通過(guò)點(diǎn)K作水平輔助線作水平輔助線EFAB，則，則ef通過(guò)通過(guò)k且且ab；efefkEF例例4：在三棱錐表面上有點(diǎn)：在三棱錐表面上有點(diǎn)K，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)K 的的V面投影面投影k ，求作，求作K的另外兩面投影。的另外兩面投影

14、。3.2 回轉(zhuǎn)曲面立體的投影回轉(zhuǎn)曲面立體的投影本節(jié)介紹常見(jiàn)的回轉(zhuǎn)曲面立體，簡(jiǎn)稱本節(jié)介紹常見(jiàn)的回轉(zhuǎn)曲面立體，簡(jiǎn)稱回轉(zhuǎn)體?；剞D(zhuǎn)體。 回轉(zhuǎn)曲面回轉(zhuǎn)曲面由由母線母線繞定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)生成。繞定軸線作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)生成。直母線直母線直線回轉(zhuǎn)面直線回轉(zhuǎn)面圓柱面、圓錐面圓柱面、圓錐面曲母線曲母線曲線回轉(zhuǎn)面曲線回轉(zhuǎn)面球面、圓環(huán)面球面、圓環(huán)面 軸線軸線母線母線素線素線一、圓柱一、圓柱1.圓柱的投影圓柱的投影（1） 圓柱表面的組成：圓柱面圓柱表面的組成：圓柱面+上底面上底面+下底面。下底面。（2） 圓柱面的形成：可看成是由一條直母線圓柱面的形成：可看成是由一條直母線AA1，繞與它，繞與它平行的軸線平行的軸線OO1旋轉(zhuǎn)形

15、成的。旋轉(zhuǎn)形成的。 AA1OO1上底面上底面下底面下底面圓柱面圓柱面HVW如一圓柱直立，則：如一圓柱直立，則：1）上、下底面是水平面，在）上、下底面是水平面，在H面上的投影面上的投影反映底的實(shí)形；反映底的實(shí)形；在在V、W面上的投影積聚為一直線；面上的投影積聚為一直線；2）圓柱的軸線垂直于）圓柱的軸線垂直于H面，圓柱面在面，圓柱面在H面上的投影積聚為圓周；面上的投影積聚為圓周；在在V、W面上的投影收縮為一矩形線框。面上的投影收縮為一矩形線框。 AA1O1BC1DD1CB1O一、圓柱一、圓柱H V WAA1O1BC1DD1CB1O（3） 注意：注意： 界限素線界限素線是回轉(zhuǎn)曲面是回轉(zhuǎn)曲面對(duì)投影面可

16、見(jiàn)和不可見(jiàn)對(duì)投影面可見(jiàn)和不可見(jiàn)部分的部分的分界線分界線。 cc1dd1如如AA1、BB1、 CC1、DD1。aa1bb1cc1dd1HVWAA1O1BC1DD1CB1Oaa1bb1cc1dd1（4）圓柱的投影圖）圓柱的投影圖1）V、W面投影，必須用細(xì)點(diǎn)畫(huà)線畫(huà)出回轉(zhuǎn)軸線；面投影，必須用細(xì)點(diǎn)畫(huà)線畫(huà)出回轉(zhuǎn)軸線；2）H面投影，必須畫(huà)出對(duì)稱中心線。面投影，必須畫(huà)出對(duì)稱中心線。 2. 圓柱面上的點(diǎn)圓柱面上的點(diǎn)p（k）d例例5：圓柱面上有兩點(diǎn)圓柱面上有兩點(diǎn)P和和K，已知其，已知其V面投影面投影p和和k，求另外兩面投影，求另外兩面投影p、p和和k、k 分析：分析：1）由于）由于p點(diǎn)位于圓柱面最左邊界限素線上，

17、其另外兩面投影點(diǎn)位于圓柱面最左邊界限素線上，其另外兩面投影p、p可直接求出。可直接求出。 2）點(diǎn)）點(diǎn)K須利用圓柱面有須利用圓柱面有積聚性的積聚性的H面投影，先求出點(diǎn)面投影，先求出點(diǎn)K的的H面投影面投影k，再求出，再求出k。kYKYK 3）點(diǎn)）點(diǎn)K的可見(jiàn)性判別的可見(jiàn)性判別:由由于點(diǎn)于點(diǎn)K位于圓柱面的前面右半位于圓柱面的前面右半部分，其部分，其W面投影面投影k不可見(jiàn)。不可見(jiàn)。P3. 圓柱面上的曲線圓柱面上的曲線 求圓柱面上的曲線時(shí)，通常采用取點(diǎn)的方法。求圓柱面上的曲線時(shí)，通常采用取點(diǎn)的方法。求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)求一般點(diǎn)求一般點(diǎn)順序連接順序連接步驟：步驟：回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體界限素線界限素線上的點(diǎn)上的點(diǎn)其他對(duì)作

18、圖有意義的點(diǎn)其他對(duì)作圖有意義的點(diǎn)（如橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)）（如橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)）最左最左最右最右最高最高最低最低最前最前最后最后例例6：已知圓柱面上的曲線已知圓柱面上的曲線AE的的V面投影面投影ae，試求其另外兩投影，試求其另外兩投影 。分析：分析：此圓柱面的軸線垂直于此圓柱面的軸線垂直于W面，故其面，故其W面投影積聚為圓。曲線面投影積聚為圓。曲線AE在圓柱面在圓柱面上，其上的點(diǎn)必然也在這個(gè)圓上。上，其上的點(diǎn)必然也在這個(gè)圓上。 作圖步驟：作圖步驟：1）在）在ae上選取若干點(diǎn)，如上選取若干點(diǎn)，如a、b、c、d、e（其中（其中A、C 為特殊點(diǎn)）。為特殊點(diǎn)）。2）利用積聚性，先求出各個(gè)點(diǎn)的）利用積聚

19、性，先求出各個(gè)點(diǎn)的W面投影：面投影：a、b、c、d、e。aeeaeabcdbcd3）由各點(diǎn)的）由各點(diǎn)的V、W面投影，求各個(gè)點(diǎn)的面投影，求各個(gè)點(diǎn)的H面投影：面投影：a、b、c、d、e。4）用曲線板依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影；由于）用曲線板依次光滑連接各點(diǎn)的同面投影；由于AC在圓柱面之上半部，而在圓柱面之上半部，而CE在在下半部，下半部，c是曲線是曲線H面投影可見(jiàn)性的分界點(diǎn)面投影可見(jiàn)性的分界點(diǎn)(水平投影界限素線上的點(diǎn)水平投影界限素線上的點(diǎn))，故其，故其H面面投影投影abc為可見(jiàn)，畫(huà)粗實(shí)線，為可見(jiàn)，畫(huà)粗實(shí)線，cde為不可見(jiàn)，畫(huà)細(xì)虛線。為不可見(jiàn)，畫(huà)細(xì)虛線。aeeaeabcdbcdabcde例例6：已知

20、圓柱面上的曲線：已知圓柱面上的曲線AE的的V面投影面投影ae，試求其另外兩投影，試求其另外兩投影 。二、圓錐二、圓錐1. 圓錐的投影圓錐的投影（1）圓錐表面的組成：圓錐面）圓錐表面的組成：圓錐面+底面（圓形）底面（圓形） 。（2）圓錐面的形成：可看成是由一條直母線）圓錐面的形成：可看成是由一條直母線SA，繞與它相交，繞與它相交的軸線的軸線OO1旋轉(zhuǎn)形成的。旋轉(zhuǎn)形成的。 圓錐面上任意位置的素線，均交于錐頂圓錐面上任意位置的素線，均交于錐頂S。SAOO1底面底面圓錐面圓錐面HVW二、圓錐二、圓錐圓錐面上任意位置的素線，均交于錐頂圓錐面上任意位置的素線，均交于錐頂S。如一圓錐直立，則：如一圓錐直立，

21、則：1）底面是水平面，在）底面是水平面，在H面上的投影反映底的實(shí)形；面上的投影反映底的實(shí)形；在在V、W面上的投影積聚為一直線。面上的投影積聚為一直線。2）圓錐的軸線垂直于）圓錐的軸線垂直于H面，圓錐面在面，圓錐面在H面面上的投影收縮為平面圓。上的投影收縮為平面圓。在在V、W面上的投影收縮為一等腰三角形線框。面上的投影收縮為一等腰三角形線框。 SH V W（3） 注意：注意： 界限素線界限素線是回轉(zhuǎn)曲面對(duì)投是回轉(zhuǎn)曲面對(duì)投影面可見(jiàn)和不可見(jiàn)部分的影面可見(jiàn)和不可見(jiàn)部分的分分界線。界線。 cd如如:SA、SB、 SC、SD。sabcd（4）圓）圓錐錐的投影圖的投影圖1）V、W面投影，必須用細(xì)點(diǎn)面投影，必

22、須用細(xì)點(diǎn)畫(huà)畫(huà)線畫(huà)出回轉(zhuǎn)軸線；線畫(huà)出回轉(zhuǎn)軸線；2）H面投影，必須畫(huà)出對(duì)稱中心線。面投影，必須畫(huà)出對(duì)稱中心線。 H VWcds2. 圓錐面上的點(diǎn)圓錐面上的點(diǎn)m（k）例例7：圓錐面上有兩點(diǎn)圓錐面上有兩點(diǎn)M和和K，已知其，已知其V面投影面投影m和和k，求另外兩投影，求另外兩投影m、m和和k、k分析：分析：1）由于）由于m點(diǎn)位于圓錐面最左邊界限素線上，其另外兩投影點(diǎn)位于圓錐面最左邊界限素線上，其另外兩投影m、m可直接求出；可直接求出； 2）點(diǎn)）點(diǎn)K 投影投影k 須用作輔助線須用作輔助線的方法，過(guò)的方法，過(guò)K 作作SA（過(guò)（過(guò)k作作sa）有）有積聚性的積聚性的H面投影，先求出點(diǎn)面投影，先求出點(diǎn)K的的H 面

23、投影面投影k，再求出，再求出k；k 3）點(diǎn)）點(diǎn)K 的可見(jiàn)性判別：由的可見(jiàn)性判別：由于點(diǎn)于點(diǎn)K 位于圓錐面的前面右半部位于圓錐面的前面右半部分，其分，其W 面投影面投影k不可見(jiàn)。不可見(jiàn)。sa（k）sks求點(diǎn)求點(diǎn)K的投影的投影k方法二方法二作輔助圓的方法作輔助圓的方法：2）畫(huà)緯線圓的水平投影；）畫(huà)緯線圓的水平投影； 為實(shí)形為實(shí)形圓，半徑為圓，半徑為R ;R3）求）求k、k ； 由由k向下引垂線與緯線圓交于點(diǎn)向下引垂線與緯線圓交于點(diǎn)k，再，再由由k及及k求出求出k。1）過(guò)）過(guò)k作水平線；作水平線； 過(guò)過(guò)K作在圓錐面上作一水平輔助圓。作在圓錐面上作一水平輔助圓。 該圓所在的平面與圓錐的軸線垂直，此圓稱

24、為緯線圓。該圓所在的平面與圓錐的軸線垂直，此圓稱為緯線圓。 點(diǎn)點(diǎn)K 的各投影必在緯線圓的同面投影上。的各投影必在緯線圓的同面投影上。P3. 圓錐面上的曲線圓錐面上的曲線 求圓錐面上的曲線時(shí)，通常也采用取點(diǎn)的方法。求圓錐面上的曲線時(shí)，通常也采用取點(diǎn)的方法。求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)求一般點(diǎn)求一般點(diǎn)順序連接順序連接步驟：步驟：回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體界限素線界限素線上的點(diǎn)上的點(diǎn)其他對(duì)作圖有意義的點(diǎn)其他對(duì)作圖有意義的點(diǎn)（如橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)）（如橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)）最右最右最高最高最后最后最左最左最低最低最前最前bea例例8：已知圓錐表面上的曲線已知圓錐表面上的曲線AE的的V面投影面投影ae，試求其另外兩投影。，試求其另

25、外兩投影。 分析：分析：此圓錐面的軸線垂直于此圓錐面的軸線垂直于H 面，故其面，故其H 面投影積聚為圓。曲線面投影積聚為圓。曲線AE在圓錐面上，其在圓錐面上，其上的點(diǎn)可通過(guò)作輔助線或上的點(diǎn)可通過(guò)作輔助線或輔助圓輔助圓的方法求得。的方法求得。1）在）在ae上選取若干點(diǎn)，其中上選取若干點(diǎn)，其中C為特殊點(diǎn)，先求出為特殊點(diǎn)，先求出c，再求出，再求出c；2）利用緯線圓，先求出各個(gè)點(diǎn)的）利用緯線圓，先求出各個(gè)點(diǎn)的H 面投影面投影e（a、b、d）；）；bcdea3）再求出各個(gè)點(diǎn)）再求出各個(gè)點(diǎn)的的W 投影投影e（a、 b、d）；）；ee作圖步驟：作圖步驟：aabcdd（ ）（ ）4）判斷）判斷可見(jiàn)性；可見(jiàn)性；

26、5）順序連接。）順序連接。e（ ）eaac三、球三、球1.球的投影球的投影（1）球的組成：球。）球的組成：球。（2）球面的形成：由一圓作母線，以它的直徑為回轉(zhuǎn)軸旋）球面的形成：由一圓作母線，以它的直徑為回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的。轉(zhuǎn)形成的。球的三個(gè)投影球的三個(gè)投影球直徑相等的圓。球直徑相等的圓。球面球面OO1HVW球的三個(gè)投影球的三個(gè)投影球直徑相等的圓。球直徑相等的圓。O正面最大圓正面最大圓V面投影面投影圓圓其其H、W面面投影積聚在相應(yīng)軸線上投影積聚在相應(yīng)軸線上直線段直線段前半前半球可見(jiàn)，后半球不可見(jiàn)；球可見(jiàn)，后半球不可見(jiàn)； 水平最大圓水平最大圓H面投影面投影圓圓其其V、W面面投影積聚在相應(yīng)軸線上投影積

27、聚在相應(yīng)軸線上直線段直線段上半上半球可見(jiàn)，下半球不可見(jiàn)；球可見(jiàn)，下半球不可見(jiàn)；側(cè)面最大圓側(cè)面最大圓W面投影面投影圓圓其其H、V面面投影積聚在相應(yīng)軸線上投影積聚在相應(yīng)軸線上直線段直線段左半左半球可見(jiàn)，右半球不可見(jiàn)。球可見(jiàn)，右半球不可見(jiàn)。三、球三、球（3）球的投影圖）球的投影圖必須畫(huà)出所有軸線和對(duì)稱中心線。必須畫(huà)出所有軸線和對(duì)稱中心線。 HVWO3）點(diǎn)）點(diǎn)C為球面上一般點(diǎn)，可選水平緯線圓為球面上一般點(diǎn)，可選水平緯線圓為輔助線：為輔助線：2. 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn)例例9：已知已知球面上的三個(gè)點(diǎn)球面上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C的的V面投影，求面投影，求A、B、C點(diǎn)的另外兩面點(diǎn)的另外兩面投影。投影。分析：分析：

28、1）兩點(diǎn)兩點(diǎn)A、B 均為界限素線上的點(diǎn)，可直接求出其另外兩投影。均為界限素線上的點(diǎn)，可直接求出其另外兩投影。 2）點(diǎn)點(diǎn)C 是一般位置點(diǎn)，其投影是一般位置點(diǎn)，其投影c 需作水平緯線圓輔助求解。需作水平緯線圓輔助求解。a（b）c作圖步驟：作圖步驟：1）因）因a位于正面最大圓的位于正面最大圓的V 面投影上，故面投影上，故a 在水平對(duì)稱中心線上，在水平對(duì)稱中心線上，a在垂直對(duì)稱中心在垂直對(duì)稱中心線上，因它位于左、上半球，所以線上，因它位于左、上半球，所以a 和和a均均可見(jiàn)可見(jiàn); 2）b位于垂直對(duì)稱中心線上且不可見(jiàn)，故位于垂直對(duì)稱中心線上且不可見(jiàn)，故b在側(cè)面最大圓在側(cè)面最大圓W面投影的左半部分，可面投影

29、的左半部分，可直接求出直接求出b，再求出，再求出b，點(diǎn)，點(diǎn)B在后、下半球在后、下半球上，故上，故b不可見(jiàn)；不可見(jiàn)； aab(b)過(guò)過(guò)c作水平線與圓交于點(diǎn)作水平線與圓交于點(diǎn)e、f；以以ef為直徑，在為直徑，在H面投影上作水平圓，面投影上作水平圓，c在此圓上；在此圓上；由由c、c求出求出c；點(diǎn)點(diǎn)C在右、下半球上，在右、下半球上，c、c不可見(jiàn)。不可見(jiàn)。ccef（ ）（ ）bda例例10：已知球面上曲線已知球面上曲線AD的的V面投影面投影ad，求其另兩投影。，求其另兩投影。分析：分析：在曲線在曲線AD上，選若干點(diǎn)上，選若干點(diǎn)A、B、C、D，其中點(diǎn)，其中點(diǎn)B和和C為特殊點(diǎn)，點(diǎn)為特殊點(diǎn)，點(diǎn)B在側(cè)面在側(cè)面最

30、大圓上，點(diǎn)最大圓上，點(diǎn)C在水平最大圓上，其另外兩投影可直接求出。曲線兩端點(diǎn)在水平最大圓上，其另外兩投影可直接求出。曲線兩端點(diǎn)A和和D為為一般點(diǎn)，需作輔助線求解。一般點(diǎn)，需作輔助線求解。1）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)B、C的的H、W面投影；面投影；2）過(guò)）過(guò)a和和d分別作水平緯線圓，求出分別作水平緯線圓，求出a和和d；bc3）由）由a、a及及d、d分別求出分別求出a及及d；作圖步驟：作圖步驟：d（ ）（ ）4）判斷可見(jiàn)性：判斷可見(jiàn)性：因因BD線段在球的左線段在球的左半部，半部，b是曲線是曲線W面投影可見(jiàn)性分界點(diǎn)，面投影可見(jiàn)性分界點(diǎn)，故故a不可見(jiàn)；因不可見(jiàn)；因AC線段在球的上半部，線段在球的上半部，C是曲

31、線是曲線H面投影可見(jiàn)性分界點(diǎn)，故面投影可見(jiàn)性分界點(diǎn)，故d為不可見(jiàn)；為不可見(jiàn)；3. 球面上的曲線球面上的曲線aadcbcdabc（ ）（ ）bc細(xì)虛線細(xì)虛線粗實(shí)線粗實(shí)線細(xì)虛線細(xì)虛線粗實(shí)線粗實(shí)線acbdad3.3 平面立體的截交線平面立體的截交線 截交線截交線截平面與立體表面的交線。截平面與立體表面的交線。、平面立體的截交線、平面立體的截交線多邊形的各邊：截平面與立體表面上不同平面的交線。多邊形的各邊：截平面與立體表面上不同平面的交線。截交線的性質(zhì)：截交線的性質(zhì)：是截平面與立體表面的共有線。是截平面與立體表面的共有線。平面立體截交線：平面立體截交線：由直線段圍成的平面多邊形。由直線段圍成的平面多邊

32、形。截平面截平面截交線截交線多邊形的頂點(diǎn)：立體棱線與截平面的交點(diǎn)；多邊形的頂點(diǎn)：立體棱線與截平面的交點(diǎn)；求：平面立體的截交線求：平面立體的截交線方法一方法一線面交點(diǎn)法：線面交點(diǎn)法：1）求平面立體棱線與截平面的交點(diǎn)；）求平面立體棱線與截平面的交點(diǎn)；2）順序連接各交點(diǎn)，即得截交線。）順序連接各交點(diǎn)，即得截交線。方法二方法二面面交線法：面面交線法：求截平面與平面立體表面的交線。求截平面與平面立體表面的交線。 當(dāng)截平面與平面立體表面上的某個(gè)面平行時(shí)，要當(dāng)截平面與平面立體表面上的某個(gè)面平行時(shí)，要特別注意截特別注意截交線與原有棱邊的平行關(guān)系。交線與原有棱邊的平行關(guān)系。注意注意 截平面的位置可以是特殊位置，

33、也可以是一般位置。本書(shū)主要截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。本書(shū)主要以以特殊位置截平面特殊位置截平面為例說(shuō)明求解平面立體截交線的方法和步驟。為例說(shuō)明求解平面立體截交線的方法和步驟。PVcsa( )b dssabdc例例11：四棱錐四棱錐SABCD被正垂面被正垂面P切割，求其截交線的投影。切割，求其截交線的投影。 作圖步驟：作圖步驟：1）標(biāo)出）標(biāo)出1、2、3、4；2）求）求1、2、3、4； 求求1、2、3、4；4）順序連接。）順序連接。db( )a cSABCD12342 4( )1333）判斷可見(jiàn)性判斷可見(jiàn)性 四棱錐的上部被四棱錐的上部被P平面切去，因平面切去，因而截交線的三個(gè)投影

34、均可見(jiàn)；注而截交線的三個(gè)投影均可見(jiàn)；注意棱線意棱線SC的的W面投影為細(xì)虛線；面投影為細(xì)虛線；1432421分析：分析：截平面截平面P與四棱錐的四個(gè)側(cè)表面相交，截交線為四邊形；由于截平面與四棱錐的四個(gè)側(cè)表面相交，截交線為四邊形；由于截平面P是正垂面，其是正垂面，其V面投影積聚為一直線，故截交線的面投影積聚為一直線，故截交線的V面投影為直線段，可直面投影為直線段，可直接求出；再由其接求出；再由其V面投影求出面投影求出W面投影，由面投影，由V、W面投影確定其面投影確定其H面投影。面投影。例例12：求求P、Q兩平面與三棱錐兩平面與三棱錐SABC截交線的投影截交線的投影 。 作圖步驟：作圖步驟：1）直接

35、標(biāo)出）直接標(biāo)出1、4及及2(3)；3）作）作42ab、43ac，根據(jù)，根據(jù)V面投影面投影2(3)求出求出H面投影點(diǎn)面投影點(diǎn)2和和3；6) 順序連接。順序連接。4）由）由2、2求出求出2； 由由3、3求出求出3；2）求出）求出1、4和和1、4；12(3)4141234SABQVPVsab c （ ）sabc sabc142323分析：分析：正垂面正垂面P與三棱錐的兩側(cè)表面與三棱錐的兩側(cè)表面SAB和和SAC相交于兩段直線相交于兩段直線和和。水平面。水平面Q與與兩側(cè)表面兩側(cè)表面SAB和和SAC相交于水平線相交于水平線和和，它們分別與三棱錐底面的邊，它們分別與三棱錐底面的邊AB和和AC平行。平行。P、

36、Q兩截平面相交于直線兩截平面相交于直線。點(diǎn)。點(diǎn)和點(diǎn)和點(diǎn)位于位于SA棱線上，其棱線上，其V面投影面投影1和和4已知。已知。5）判斷可見(jiàn)性：判斷可見(jiàn)性： P、Q兩平面交線的兩平面交線的H面投影面投影23為不可見(jiàn)，畫(huà)為不可見(jiàn)，畫(huà)成細(xì)虛線；其他交線可見(jiàn)，畫(huà)成粗實(shí)線；成細(xì)虛線；其他交線可見(jiàn)，畫(huà)成粗實(shí)線；例例13：已知開(kāi)有燕尾槽的長(zhǎng)方體被一正垂面截切，求其已知開(kāi)有燕尾槽的長(zhǎng)方體被一正垂面截切，求其H面面投影。投影。 作圖步驟：作圖步驟：1）截交線的）截交線的H、W面投影已知；面投影已知；3）判斷可見(jiàn)性）判斷可見(jiàn)性 ： 燕尾槽在長(zhǎng)方體底部，不可燕尾槽在長(zhǎng)方體底部，不可見(jiàn)，畫(huà)成細(xì)虛線；其他交線可見(jiàn)，見(jiàn)，畫(huà)成細(xì)

37、虛線；其他交線可見(jiàn)，畫(huà)成粗實(shí)線；畫(huà)成粗實(shí)線；2）根據(jù)）根據(jù)V、W面投影求出面投影求出H面投影；面投影；分析：分析：物體是由開(kāi)有燕尾槽的長(zhǎng)方體被一個(gè)正垂截切平面切割后而形成物體是由開(kāi)有燕尾槽的長(zhǎng)方體被一個(gè)正垂截切平面切割后而形成的，其交線的的，其交線的V面投影有積聚性，可直接得知。截交線的面投影有積聚性，可直接得知。截交線的W面投影與立體的面投影與立體的輪廓線重合，為已知?？梢愿鶕?jù)截交線的輪廓線重合，為已知。可以根據(jù)截交線的V、W面投影求得其面投影求得其H面投影面投影 。4）注意）注意 ： 俯視圖左側(cè)，因開(kāi)燕尾槽，俯視圖左側(cè)，因開(kāi)燕尾槽，應(yīng)擦去線條。應(yīng)擦去線條。Y1Y2Y1Y23.4 回轉(zhuǎn)體的截

38、交線回轉(zhuǎn)體的截交線 、圓柱的截交線、圓柱的截交線回轉(zhuǎn)體截交線：回轉(zhuǎn)體截交線：由由曲線曲線或或曲線曲線+直線直線圍成的平面多邊形。圍成的平面多邊形?；剞D(zhuǎn)體截交線求解：回轉(zhuǎn)體截交線求解：1）利用積聚性；）利用積聚性； 2）作輔助面。）作輔助面。 截平面與軸線截平面與軸線垂直垂直圓圓； 圓圓柱柱面面的的截截交交線線截平面與軸線截平面與軸線平行平行矩形矩形； 截平面與軸線截平面與軸線傾斜傾斜橢圓橢圓。 是截平面與回轉(zhuǎn)立體表面的是截平面與回轉(zhuǎn)立體表面的共有點(diǎn)共有點(diǎn)集合。集合。截平面：截平面：以特殊位置為例。以特殊位置為例。求平面與回轉(zhuǎn)體截交線的一般步驟：求平面與回轉(zhuǎn)體截交線的一般步驟：1. 空間及投影分

39、析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀。置，以便確定截交線的形狀。 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確截交線的投影分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確截交線的投影特性，如積聚性、相仿性等。找出截交線的已知投影，特性，如積聚性、相仿性等。找出截交線的已知投影，預(yù)見(jiàn)未知投影。預(yù)見(jiàn)未知投影。2. 畫(huà)出截交線的投影畫(huà)出截交線的投影當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：* 光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的可見(jiàn)性。光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的可見(jiàn)性。 * 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充

40、中間點(diǎn)。先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。例例14：圓柱被圓柱被P、Q兩平面截切，試完成其三個(gè)投影圖兩平面截切，試完成其三個(gè)投影圖 。分析：分析：圓柱軸線圓柱軸線V面，被水平面面，被水平面P和側(cè)平面和側(cè)平面Q所截切；截平面所截切；截平面P圓柱的軸線，圓柱的軸線，與圓柱面的交線為兩條側(cè)垂線。截平面與圓柱面的交線為兩條側(cè)垂線。截平面Q垂直于圓柱的軸線，與圓柱面的交線為垂直于圓柱的軸線，與圓柱面的交線為平行于平行于W面的一段圓弧。平面面的一段圓弧。平面P和和Q的交線為正垂線?？衫媒仄矫娴慕痪€為正垂線?？衫媒仄矫鍼、Q和圓柱面和圓柱面投影的積聚性，直接求圓柱截交線的投影。投影的積聚性，直接求圓柱截交線的投影

41、。 作圖步驟：作圖步驟：1）畫(huà)出截平面）畫(huà)出截平面P、Q的的V面投影面投影PV、QV；2）找出截平面）找出截平面P與圓柱面交線的與圓柱面交線的V面投面投影影ab、cd及及W面投影面投影a(b)、c(d)，求出兩交線求出兩交線AB、CD的的H面投影面投影ab、cd；4）順序連接。）順序連接。3）找出截平面）找出截平面Q與圓柱面交線的與圓柱面交線的W面投影面投影bed及及V面投影面投影bed，求出，求出H面投影面投影bed；ePQABEDCQVba（ ）cd（ ）badcPVeeac( )d( )b例例15：圓柱被正垂面截切，試完成其圓柱被正垂面截切，試完成其H面面投影。投影。 作圖步驟：作圖步驟

42、：1）找出特殊點(diǎn)）找出特殊點(diǎn)A、B、C、D的三面投影；的三面投影； 2）確定若干一般點(diǎn)：求點(diǎn)）確定若干一般點(diǎn)：求點(diǎn)E及其對(duì)稱及其對(duì)稱的三點(diǎn)：在的三點(diǎn)：在W面投影上確定面投影上確定e，由，由e在在V面投影上求出面投影上求出e，由，由e和和e求出求出H面投影上的點(diǎn)面投影上的點(diǎn)e ； 方法二：方法二：先求出截交線在先求出截交線在H面上的面上的橢圓長(zhǎng)、短軸橢圓長(zhǎng)、短軸ab和和cd，再利用四心法，再利用四心法畫(huà)近似橢圓。畫(huà)近似橢圓。3）求出足夠的一般點(diǎn)，然后順序光）求出足夠的一般點(diǎn)，然后順序光滑連接起來(lái)，即得截交線的滑連接起來(lái)，即得截交線的H面投影。面投影。d( )aPVABCDbcdabcabcdee

43、e分析：分析：截平面與圓柱的軸線傾斜相交，截交線為一橢圓。由于截平面與圓柱的軸線傾斜相交，截交線為一橢圓。由于P平面為正垂面，截平面為正垂面，截交線在交線在V面投影面上有積聚性。圓柱面的面投影面上有積聚性。圓柱面的W面投影具有積聚性，故截交線的面投影具有積聚性，故截交線的W面投面投影與圓柱面的影與圓柱面的W面投影重合。由于面投影重合。由于P平面與平面與H面傾斜，所以截交線的面傾斜，所以截交線的H面投影與其面投影與其本身具有相仿性，一般仍為橢圓。本身具有相仿性，一般仍為橢圓。 截平面與圓柱軸線斜交，截交線隨截平面與圓柱軸線夾角截平面與圓柱軸線斜交，截交線隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而變化。的變化

44、而變化。45時(shí)，時(shí)，截交線的截交線的H面投影為圓面投影為圓4545例例16：圓柱上部有一切口，若已知其圓柱上部有一切口，若已知其V面投影，試求面投影，試求H、W面投影。面投影。 分析：分析：圓柱上部被左右對(duì)稱的兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面截切。兩側(cè)平面平行于圓柱上部被左右對(duì)稱的兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面截切。兩側(cè)平面平行于圓柱軸線，與圓柱面的交線為平行于圓柱軸線的鉛垂線。水平面垂直于圓柱軸圓柱軸線，與圓柱面的交線為平行于圓柱軸線的鉛垂線。水平面垂直于圓柱軸線，與圓柱面的交線為水平的兩段圓弧。線，與圓柱面的交線為水平的兩段圓弧。例例17：空心圓柱上部有一切口，若已知其空心圓柱上部有一切口，若已知其V面投影

45、，求面投影，求H、W面投影。面投影。 分析：分析：空心圓柱的上部被兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面截切，形成一個(gè)空心圓柱的上部被兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面截切，形成一個(gè)長(zhǎng)方槽。三個(gè)截平面與圓柱的內(nèi)、外表面分別相交，和外表面交線長(zhǎng)方槽。三個(gè)截平面與圓柱的內(nèi)、外表面分別相交，和外表面交線的求法和上例相同。三個(gè)截平面和空心圓柱內(nèi)表面截交線的求法，的求法和上例相同。三個(gè)截平面和空心圓柱內(nèi)表面截交線的求法，與求外表面截交線相同。與求外表面截交線相同。二、圓錐的截交線二、圓錐的截交線 當(dāng)平面與圓錐面相交時(shí)，隨著截平面與圓錐軸線相對(duì)位置的不同，截交當(dāng)平面與圓錐面相交時(shí)，隨著截平面與圓錐軸線相對(duì)位置的不同，截交線的形狀有五

46、種：線的形狀有五種： 截平面垂截平面垂直于圓錐軸直于圓錐軸線時(shí)，截交線時(shí)，截交線為圓。線為圓。截平面與圓錐軸截平面與圓錐軸線的夾角線的夾角/2時(shí)，時(shí)，截交線為橢圓。截交線為橢圓。截平面與圓錐軸截平面與圓錐軸線夾角線夾角/2時(shí)，時(shí)，截交線為拋物線。截交線為拋物線。當(dāng)當(dāng)/2，故截交線為橢圓。，故截交線為橢圓。截交線的截交線的V面投影積聚為直線段，而其面投影積聚為直線段，而其H面投影和面投影和W面投影仍面投影仍為橢圓。先求特殊點(diǎn)，再求一般點(diǎn)。為橢圓。先求特殊點(diǎn)，再求一般點(diǎn)。PV作圖步驟：作圖步驟：1）找出特殊點(diǎn)）找出特殊點(diǎn)A、B、C、D的的V面投影，這面投影，這是截交線橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，所以是截交

47、線橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，所以c、(d)位于位于ab的中點(diǎn)；的中點(diǎn)；2）求出）求出A、B的的H、W面投影；面投影；3）過(guò)）過(guò)C、D作水平緯線圓，求其作水平緯線圓，求其H面投影面投影c、d，并根據(jù)投影關(guān)系求出，并根據(jù)投影關(guān)系求出c、d；4）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)E、F，這兩點(diǎn)是，這兩點(diǎn)是W面投影界限面投影界限素線上的點(diǎn)，找出其素線上的點(diǎn)，找出其V面投影面投影e、fe、f e、f；5）采用緯線圓法求一般點(diǎn)）采用緯線圓法求一般點(diǎn)G、H；6）畫(huà)出）畫(huà)出H、W面投影上面的橢圓。在面投影上面的橢圓。在W面面投影上，橢圓應(yīng)與圓錐的界限素線的投影切于投影上，橢圓應(yīng)與圓錐的界限素線的投影切于e、f 。ABCDd( )b

48、abceaabcdcdf( )efegh( )ghPVd( )babceaabcdcdf( )efefgh( )ghf例例19：正平面正平面P截切圓錐，求截交線的投影。截切圓錐，求截交線的投影。 分析：分析：P平面平行于圓錐的平面平行于圓錐的軸線，截交線為雙曲線，其軸線，截交線為雙曲線，其H面面投影積聚在投影積聚在PH上，上，W面投影積面投影積聚在聚在PW上，截交線的上，截交線的H、W面兩面兩個(gè)投影已知，可求出個(gè)投影已知，可求出V面投影。面投影。 作圖步驟：作圖步驟： 先求特殊點(diǎn)先求特殊點(diǎn)1、2、3，再用，再用緯線圓法求一般點(diǎn)。緯線圓法求一般點(diǎn)。 231PWPHPWPH1(3)33321211

49、1(3)333221kk1例例20：圓錐被正垂面圓錐被正垂面P和側(cè)平面和側(cè)平面Q截切，已知其截切，已知其V面投影，求作面投影，求作H、W面投影。面投影。分析：分析：截平面截平面P為正垂面且過(guò)錐頂，其與圓錐面的交線為兩段相交直線，截平面為正垂面且過(guò)錐頂，其與圓錐面的交線為兩段相交直線，截平面Q為側(cè)平面，垂直于圓錐的軸線，與圓錐面的交線為一段圓弧。面為側(cè)平面，垂直于圓錐的軸線，與圓錐面的交線為一段圓弧。面P與面與面Q 相交相交于一直線（正垂線）。于一直線（正垂線）。 作圖步驟：作圖步驟：1）在）在V面投影上過(guò)面投影上過(guò)s、k 、(k1)作直線，作直線，交圓錐底圓周的交圓錐底圓周的V面投影于面投影于

50、1(2)點(diǎn)；點(diǎn)；2）由此可求出）由此可求出s1、s2和和s1、s2；空間空間點(diǎn)點(diǎn)K和和K1分別位于分別位于S和和S兩條直線上，兩條直線上，可求出其可求出其W面投影面投影k、k1和和H面投影面投影k、k1；3）在）在W面投影上，以面投影上，以s為圓心，以為圓心，以sk為為半徑畫(huà)弧半徑畫(huà)弧kek1，即為其，即為其W面投影，且反面投影，且反映實(shí)形。其映實(shí)形。其H面投影積聚為直線段面投影積聚為直線段kek1；4）作出平面）作出平面P與與Q交線的交線的W面投影面投影kk1，完成圓錐的完成圓錐的H、W面投影。面投影。QVPVsss121(2)ek(k1)kk1e21 平面與球相交，其截交線總是一個(gè)圓。平面

51、與球相交，其截交線總是一個(gè)圓。三、球的截交線三、球的截交線截平面截平面投影面投影面截交線的投影是截交線的投影是圓圓、直線、直線截平面截平面投影面投影面截交線的投影是截交線的投影是橢圓橢圓、直線、直線例例21：正垂面正垂面P與球面相交，求其截交線的投影。與球面相交，求其截交線的投影。分析：分析：P平面與球面相交的平面與球面相交的截交線為圓，其截交線為圓，其V面投影有面投影有積聚性，積聚性，H面投影和面投影和W面投面投影均為橢圓。影均為橢圓。PV1234例例21：正垂面正垂面P與球面相交，求其截交線的投影。與球面相交，求其截交線的投影。 分析：分析：P平面與球面相交的截交線為圓，其平面與球面相交的

52、截交線為圓，其V面面投影有積聚性，投影有積聚性，H面投影和面投影和W面投影均為橢圓。面投影均為橢圓。作圖步驟：作圖步驟：1）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)、，這六個(gè)點(diǎn)是界限素線上的這六個(gè)點(diǎn)是界限素線上的點(diǎn)；點(diǎn)；2）求特殊點(diǎn)）求特殊點(diǎn)、，這兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)是極限位置的點(diǎn)（最前、最后），是極限位置的點(diǎn)（最前、最后），同時(shí)也是同時(shí)也是H、W面投影橢圓的長(zhǎng)軸面投影橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)；端點(diǎn)；3）用緯線圓法求一般點(diǎn)）用緯線圓法求一般點(diǎn)A、B、C、D；4）順序光滑連接。）順序光滑連接。12341234（ ）8（ ）7（ ） 561212565678783434（ ） ab（ ）cdabcdabcd例例22：已知開(kāi)有通槽半球

53、的已知開(kāi)有通槽半球的V面投影，求其面投影，求其H、W面投影。面投影。 分析：分析：通槽是由兩側(cè)平面和一個(gè)水平面截切而成，與球面的交通槽是由兩側(cè)平面和一個(gè)水平面截切而成，與球面的交線均為圓弧。其中側(cè)平圓弧在線均為圓弧。其中側(cè)平圓弧在V、H面上的投影積聚為直線段，在面上的投影積聚為直線段，在W面上的投影反映實(shí)形。水平圓弧在面上的投影反映實(shí)形。水平圓弧在V、W面上的投影積聚為直線段，面上的投影積聚為直線段，在在H面上的投影反映實(shí)形。面上的投影反映實(shí)形。作圖步驟：作圖步驟：1）求出兩段水平圓弧的）求出兩段水平圓弧的H面面投影；投影；2）畫(huà)出兩段側(cè)平圓弧的）畫(huà)出兩段側(cè)平圓弧的W面面投影；投影；3）畫(huà)出通

54、槽水平底面的）畫(huà)出通槽水平底面的W面面投影，不可見(jiàn)部分畫(huà)細(xì)虛線；投影，不可見(jiàn)部分畫(huà)細(xì)虛線；4）擦除半球上部被切去的輪）擦除半球上部被切去的輪廓線，即得所求。廓線，即得所求。例例22：已知開(kāi)有通槽半球的已知開(kāi)有通槽半球的V面投影，求其面投影，求其H、W面投影。面投影。例例23：已知組合回轉(zhuǎn)體被兩個(gè)平面截切，完成其已知組合回轉(zhuǎn)體被兩個(gè)平面截切，完成其V面投影。面投影。分析：分析：該回轉(zhuǎn)體是由兩個(gè)圓柱面和一個(gè)半球面組合而成，左端半球與圓柱該回轉(zhuǎn)體是由兩個(gè)圓柱面和一個(gè)半球面組合而成，左端半球與圓柱2相相切，右邊為一大圓柱切，右邊為一大圓柱3，被正平面和側(cè)平面切割。，被正平面和側(cè)平面切割。作圖步驟：作圖

55、步驟：1）以）以o為圓心、為圓心、o1為半徑在為半徑在V面投面投影上畫(huà)出半圓；影上畫(huà)出半圓；2）求正平面與圓柱）求正平面與圓柱2的交線；的交線； 3）求正平面與圓柱）求正平面與圓柱3的交線；的交線； 4）求正平面與圓柱）求正平面與圓柱3左端面的交線左端面的交線GD和和EB，求出其，求出其V投影投影gd、eb；5）求出側(cè)平面與圓柱）求出側(cè)平面與圓柱3的表面交線的表面交線的的V面投影；面投影；6）完成圓柱）完成圓柱2與圓柱與圓柱3左端面的交線的左端面的交線的V面投影，中間一段面投影，中間一段bd為細(xì)虛線。為細(xì)虛線。從而完成作圖從而完成作圖 。3.5 回轉(zhuǎn)體的相貫線回轉(zhuǎn)體的相貫線 回轉(zhuǎn)體相貫線：回轉(zhuǎn)

56、體相貫線：兩個(gè)立體相交所形成的表面交線稱為相貫線。兩個(gè)立體相交所形成的表面交線稱為相貫線?；剞D(zhuǎn)體相貫線性質(zhì)：回轉(zhuǎn)體相貫線性質(zhì)：1）相貫線是兩個(gè)立體表面的共有線，共有線上的每一點(diǎn)都是兩立體表面的共）相貫線是兩個(gè)立體表面的共有線，共有線上的每一點(diǎn)都是兩立體表面的共有點(diǎn)；有點(diǎn)； 2）相貫線是兩個(gè)立體表面的分界線；）相貫線是兩個(gè)立體表面的分界線； 3）相貫線在一般情況下是封閉的空間曲線，特殊情況下為平面曲線或直線。）相貫線在一般情況下是封閉的空間曲線，特殊情況下為平面曲線或直線。 兩平面立體相交兩平面立體相交平面立體與曲面立體相交平面立體與曲面立體相交其相貫線，可歸結(jié)其相貫線，可歸結(jié)為求棱線與平面的交

57、點(diǎn)為求棱線與平面的交點(diǎn)問(wèn)題。問(wèn)題。 其相貫線，可歸結(jié)其相貫線，可歸結(jié)為求平面與曲面立體截為求平面與曲面立體截交線問(wèn)題。交線問(wèn)題。一、利用積聚性求相貫線一、利用積聚性求相貫線 當(dāng)兩個(gè)圓柱的軸線分別垂直于不同的投影面時(shí)，相交的兩圓柱的表面當(dāng)兩個(gè)圓柱的軸線分別垂直于不同的投影面時(shí)，相交的兩圓柱的表面相對(duì)于投影面有積聚性，可利用積聚性直接求出兩立體表面的相貫線。相對(duì)于投影面有積聚性，可利用積聚性直接求出兩立體表面的相貫線。例例24：試求兩軸線垂直相交圓柱相貫線的投影。試求兩軸線垂直相交圓柱相貫線的投影。分析：分析：兩個(gè)圓柱的圓柱面分兩個(gè)圓柱的圓柱面分別在俯視圖和左視圖上具有別在俯視圖和左視圖上具有積聚

58、性，因此它們的相貫線積聚性，因此它們的相貫線投影也分別處于這兩個(gè)積聚投影也分別處于這兩個(gè)積聚圓上，找出這兩個(gè)投影，其圓上，找出這兩個(gè)投影，其主視圖投影就很容易求出了。主視圖投影就很容易求出了。作圖步驟作圖步驟：1）求出相貫線）求出相貫線上的特殊點(diǎn)上的特殊點(diǎn)A、B、C 、D ；acd b1212bacd2）求出若干個(gè)一）求出若干個(gè)一般點(diǎn)般點(diǎn)、 等等；3）光滑且順次地）光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判相貫線，并且判別可見(jiàn)性；別可見(jiàn)性；4）整理輪廓線。）整理輪廓線。例例24：試求兩軸線垂直相交圓柱相貫線的投影。試求兩軸線垂直相交圓柱相貫線的投影。C12abcd1(2)()() 圓 柱 外 表 面 與圓 柱 外 表 面 與 圓柱內(nèi)表面相貫圓柱內(nèi)表面相貫兩圓柱內(nèi)表面相貫兩圓柱內(nèi)表面相貫 當(dāng)兩曲面立體表面相交，其相貫線不能用積聚性直接求當(dāng)兩曲面立體表面相交，其相貫線不能用積聚性直接求出時(shí)，可