線面角的求法總結(jié)

1、線面角的三種求法1直接法 ：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 （ 如圖1 ）四面體abcs中，sa,sb,sc 兩兩垂直，sba=45, sbc=60, m 為 ab的中點(diǎn)，求（1）bc與平面sab所成的角。（2）sc與平面abc所成的角。解:（1） scsb,scsa, 圖1sc平面sab 故 sb是斜線bc 在平面sab上的射影， sbc是直線bc與平面sab所成的角為60。（2） 連結(jié)sm,cm，則smab,又scab,ab平面scm,面

2、abc面scm過s作shcm于h, 則sh平面abcch即為 sc 在面abc內(nèi)的射影。 sch 為sc與平面abc所成的角。 sin sch=shscsc與平面abc所成的角的正弦值為77（“垂線”是相對的，sc是面 sab的垂線，又是面 abc 的斜線. 作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2. 利用公式sin=h其中是斜線與平面所成的角， h是 垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例2 （ 如圖2） 長方體abc

3、d-a1b1c1d1 , ab=3 ,bc=2, a1a= 4 ，求ab與面 ab1c1d 所成的角。解：設(shè)點(diǎn) b 到ab1c1d的距離為h,vbab1c1=vabb1c113 sab1c1h= 13 sbb1c1ab，易得h=125 設(shè)ab 與 面 a b1c1d 所成的角為,則sin=hab=45 圖2ab與面ab1c1d 所成的角為arcsin 45 3. 利用公式cos=cos1cos2 （如圖3） 若 oa為平面的一條斜線，o為斜足，ob為oa在面內(nèi)的射影，oc為面內(nèi)的一條直線，其中為oa與oc所成的角， 圖31為oa與ob所成的角，即線面角，2為ob與oc所成的角，那么 cos=c

4、os1cos2 （同學(xué)們可自己證明），它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）例3（如圖4） 已知直線oa,ob,oc 兩兩所成的角為60, ，求直線oa 與 面obc所成的角的余弦值。解：aob=aoc oa 在面obc 內(nèi)的射影在boc 的平分線od上，則aod即為oa與面obc所成的角，可知 doc=30 ,cosaoc=cosaodcosdoc cos60=cosaodcos30 cosaod= 33 oa 與 面obc所成的角的余弦值為33。 圖4（一）復(fù)習(xí)：1直線和平面的位置關(guān)系；（平行、相交和直線在平面內(nèi)）2思考：當(dāng)直線與平

5、面的關(guān)系是時(shí)，如何反映直線與平面的相對位置關(guān)系呢？ （可以用實(shí)物來演示，顯然不能用直線和平面的距離來衡量）（二）新課講解：1平面的斜線和平面所成的角： 已知，如圖，是平面的斜線，是斜足，垂直于平面，為垂足，則直線是斜線在平面內(nèi)的射影。設(shè)是平面內(nèi)的任意一條直線，且，垂足為，又設(shè)與所成角為，與所成角為，與所成角為，則易知：，又，可以得到：，注意：（若，則由三垂線定理可知，即；與“是平面內(nèi)的任意一條直線，且，垂足為”不相符）。易得： 又即可得：則可以得到：（1）平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角；（2）斜線和平面所成角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面

6、中的射影的夾角，叫做斜線和平面所成角（或叫斜線和平面的夾角）。說明：1若，則規(guī)定與所成的角是直角；2若或，則規(guī)定與所成的角為；3直線和平面所成角的范圍為：；4直線和平面所成角是直斜線與該平面內(nèi)直線所成角的最小值（）。2例題分析：例1如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內(nèi)的一條直線，求斜線和平面所成角。解：，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角， 又，即斜線和平面所成角為例2如圖，在正方體中，求面對角線與對角面所成的角。解（法一）連結(jié)與交于，連結(jié)，平面，是與對角面所成的角，在中，（法二）由法一得是與對角面所成的角，又，說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角。另外，在條件允許的情況下，用公式求線面角顯得更加方便。例3已知空間四邊形的各邊及對角線相等，求與平面所成角的余弦值。 解：過作平面于點(diǎn)，連接，是正三角形的外心，設(shè)四面體的邊長為，則，即為與平面所成角，所以，與平面所成角的余弦值為五課堂練習(xí)：課本第45頁練習(xí)第1，2，3題；第47頁習(xí)題9.7的第1題。六小結(jié)：1線面角的概念；2及應(yīng)用