電磁感應及電磁場例題

1、例例1 1 勻強磁場中，導線可在導軌上滑動，勻強磁場中，導線可在導軌上滑動，lvB解解)(ts)()(tBlsttddvBltsBldd在在 t 時刻時刻ab回路中感應電動勢。回路中感應電動勢。求求若若tBtBB0)(tdd)(00vtlBlsB兩個同心圓環(huán)，已知兩個同心圓環(huán)，已知 r1r2,大線圈中通大線圈中通有電流有電流 I ,當小圓環(huán)繞直徑以當小圓環(huán)繞直徑以 轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動時2r1rI解解202rIB大圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場大圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場 通過小線圈的磁通量通過小線圈的磁通量 SBcos22120rrItrrIcos22120trrItsin2dd2210例例2感應電動勢感應電動勢

2、求求 小圓環(huán)中的感應電動勢小圓環(huán)中的感應電動勢在無限長直載流導線的磁場中，有一運動的導體線框，導在無限長直載流導線的磁場中，有一運動的導體線框，導體線框與載流導線共面，體線框與載流導線共面，求線框中的感應電動勢。求線框中的感應電動勢。Ivabxdx解解xbxISBd2dd0通過面積元的磁通量通過面積元的磁通量 xbxIalld2d0lalIbln20tddllt/ lalt/ lIbdddd20)(20allIabv（方向順時針方向）（方向順時針方向） 例例3例例4在勻強磁場在勻強磁場 B 中，長中，長 R 的銅棒繞其一端的銅棒繞其一端 O 在垂直于在垂直于 B 的的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，角速度為平面內(nèi)

3、轉(zhuǎn)動，角速度為 B OR求求 棒上的電動勢棒上的電動勢解解 方法一方法一 (動生電動勢動生電動勢):dlAlAOilBd)(vROlBdvROlBld22BR方向方向OA 方法二方法二(法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律):d在在 dt 時間內(nèi)導體棒切割磁場線時間內(nèi)導體棒切割磁場線vd21d 2R B tiddtBRdd212221BR方向由楞次定律確定方向由楞次定律確定例例5在半徑為在半徑為R 的圓形截面區(qū)域內(nèi)有勻強磁場的圓形截面區(qū)域內(nèi)有勻強磁場 B ，一直導線，一直導線垂直于磁場方向以速度垂直于磁場方向以速度 v 掃過磁場區(qū)。掃過磁場區(qū)。求求 當導線距區(qū)域中心軸當導線距區(qū)域中心軸 垂直距

4、離為垂直距離為 r 時的動生電動勢時的動生電動勢vBrRab解解 方法一方法一 ：動生電動勢動生電動勢bailBd)(vldbalBdv)(abBv222rRB vO方法二方法二 ：法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律在在 dt 時間內(nèi)導體棒切割磁場線時間內(nèi)導體棒切割磁場線rBrRd2d22trrRBtidd2dd22222rRBv方向由楞次方向由楞次定律確定定律確定例例6 一被限制在半徑為一被限制在半徑為 R 的無限長圓柱內(nèi)的均勻磁場的無限長圓柱內(nèi)的均勻磁場 B ， B 均均勻增加，勻增加，B 的方向如圖所示。的方向如圖所示。RONMCD求求 導體棒導體棒MN、CD的感生電動勢的感生電動勢)

5、Rr(tBrEVdd2解解 方法一方法一(用感生電場計算用感生電場計算):NMVMNlEdldVE0DCVCDlEdDCVlEdcosLolrhtBrddd2hrtBhLdd2方法二方法二(用法拉第電磁感應定律用法拉第電磁感應定律): (補逆時針回路補逆時針回路 OCDO)tiddt/BLhd)2d(CDDOCDOCBtBhLdd2例例7 設一載流回路由兩根平行的長直導線組成。設一載流回路由兩根平行的長直導線組成。 daad 求求 這一對導線單位長度的自感這一對導線單位長度的自感L 解解 由題意，設電流回路由題意，設電流回路 IIIPr12)(2200rdIrIBPSBadadrhrdIrIa

6、dad)(2200取一段長為取一段長為 h 的導線的導線hraadIhln0aadIhLln0例例8 同軸電纜由半徑分別為同軸電纜由半徑分別為 R1 和和R2 的兩個無限長的兩個無限長同軸導體和柱面組成同軸導體和柱面組成求求 無限長同軸電纜單位長度上的自感無限長同軸電纜單位長度上的自感II解解 由安培環(huán)路定理可知由安培環(huán)路定理可知21RrRrIBr2021Rr ,Rr0BSdSBddrlrIrd2021d20RRrrlrI120ln2RRIlr120ln2RRIlLrrl1R2Rr例例9 一無限長導線通有電流一無限長導線通有電流 tIIsin0現(xiàn)有一矩形線現(xiàn)有一矩形線框與長直導線共面。（如圖所

7、示）框與長直導線共面。（如圖所示）Ia2a23a求求 互感系數(shù)和互感電動勢互感系數(shù)和互感電動勢解解rIB20rdr穿過線框的磁通量穿過線框的磁通量232d/a/aSB3ln20Ialn320aIMtIMddtIacos3ln200互感系數(shù)互感系數(shù)互感電動勢互感電動勢例例10計算共軸的兩個長直螺線管之間的互感系數(shù)計算共軸的兩個長直螺線管之間的互感系數(shù)設兩個螺線管的半徑、長度、設兩個螺線管的半徑、長度、匝數(shù)為匝數(shù)為212121N,N,l ,l ,R,R12解解2121RR, lll1I設設 lINB1101221221 RBN122210IRlNN2221021 RlNNM2I設設 lINB220

8、2222112 RBN2221012 RlNNMMMM2112例例11 在相距為在相距為 2a 的兩根無限長平行導線之間，有一半徑為的兩根無限長平行導線之間，有一半徑為 a的導體圓環(huán)與兩者相切并絕緣，的導體圓環(huán)與兩者相切并絕緣，2aaa02O求求 互感系數(shù)互感系數(shù)解解MMM2112rIIraraIB1120SSBdSSBdrrararaIaad2112220設電流設電流IIa02IM rdBHwm21解解根據(jù)安培環(huán)路定理根據(jù)安培環(huán)路定理,螺繞環(huán)內(nèi)螺繞環(huán)內(nèi)rNIBr20rNIH222220421rINr1R2RhrrhVd2d取體積元取體積元VmmVwWd21d2822220RRrrrhrIN1

9、222ln4RRhINI例例12 一由一由 N 匝線圈繞成的螺繞環(huán)，通有電流匝線圈繞成的螺繞環(huán)，通有電流 I ，其中充有均勻，其中充有均勻磁介質(zhì)磁介質(zhì)求求 磁場能量磁場能量WmO例題例題13 設有一個長直螺線管，長為設有一個長直螺線管，長為l，截面積為，截面積為S，線圈總匝，線圈總匝數(shù)為數(shù)為N，求其自感系數(shù)。，求其自感系數(shù)。解解：忽略邊緣效應，當螺線管中通有電流：忽略邊緣效應，當螺線管中通有電流I時，管內(nèi)的磁感應時，管內(nèi)的磁感應強度為強度為IlNNnIB00通過螺線管的磁通量為通過螺線管的磁通量為m0NNBSNIl則螺線管的自感系數(shù)為則螺線管的自感系數(shù)為222m0002NNLSlSnVIll

10、式中式中V=LS為螺線管的體積為螺線管的體積。rr IB2rIH2 解解：由安培環(huán)路定理可求得兩筒之間距離軸線：由安培環(huán)路定理可求得兩筒之間距離軸線處處(見圖見圖10-16)的磁感應強度與磁場強度分別為的磁感應強度與磁場強度分別為圖圖10-16 10-16 例題例題10-510-5用圖用圖 例題例題10-510-5 同軸電纜由兩個同軸的圓筒型導體組成。設內(nèi)外同軸電纜由兩個同軸的圓筒型導體組成。設內(nèi)外圓筒型導體的半徑分別為圓筒型導體的半徑分別為R R1 1和和R R2 2，流過內(nèi)、外筒的電流均為，流過內(nèi)、外筒的電流均為I I。求單位長度電纜的磁場能量，并由此計算電纜的自感系數(shù)。求單位長度電纜的磁

11、場能量，并由此計算電纜的自感系數(shù)。 考慮到考慮到B與與H方向相同，且在方向相同，且在rR1和和rR2區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)B=0，單，單位長度電纜的磁場能量為位長度電纜的磁場能量為 m11d2 d22 22IIWBHVr rrr1222ln4d421RRIrrIRR 由式由式（8-20）可得電纜的自感系數(shù)為可得電纜的自感系數(shù)為12ln2RRL 一一. 問題的提出問題的提出LIlHd1S2SLIR1S2SLIR對穩(wěn)恒電流對穩(wěn)恒電流對對S1面面LIlHd對對S2面面LlH0d矛矛盾盾穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理已穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理已不適用于非穩(wěn)恒電流的電路不適用于非穩(wěn)恒電流的電路二二. 位移電流假設位移電流假

12、設非穩(wěn)恒電路中，在傳導電流中斷處必發(fā)生電荷分布的變化非穩(wěn)恒電路中，在傳導電流中斷處必發(fā)生電荷分布的變化t/qIdd極板上電荷的時間變化率等于傳導電流極板上電荷的時間變化率等于傳導電流 4 電磁場電磁場變化磁場變化磁場產(chǎn)生感生電場產(chǎn)生感生電場變化電場變化電場產(chǎn)生磁場產(chǎn)生磁場電荷分布的變化必引起電場的變化電荷分布的變化必引起電場的變化 t t)(tI)(tI tD電位移通量電位移通量DSDS tDD SttD tqDDIttqIdddd電位移通量的變化率等于傳導電流強度電位移通量的變化率等于傳導電流強度位移電流位移電流( (電場變化等效為一種電流電場變化等效為一種電流) )SDDSDttIdddd

13、d一般情況位移電流一般情況位移電流StDSd(以平行板電容器為例以平行板電容器為例)位移電流與傳導電流連接起來恰好構(gòu)成連續(xù)的閉合電流位移電流與傳導電流連接起來恰好構(gòu)成連續(xù)的閉合電流IRDI麥克斯韋提出全電流的概念麥克斯韋提出全電流的概念位移傳導全III(全電流安培環(huán)路定理全電流安培環(huán)路定理)在普遍情形下，全電流在空間永遠是連續(xù)不中斷的，并且在普遍情形下，全電流在空間永遠是連續(xù)不中斷的，并且構(gòu)成閉合回路構(gòu)成閉合回路LIIIlH位移傳導全dSStDId傳導麥克斯韋將安培環(huán)路定理推廣麥克斯韋將安培環(huán)路定理推廣若傳導電流為零若傳導電流為零LlHdSStDd變化電場產(chǎn)生磁變化電場產(chǎn)生磁場的數(shù)學表達式場的

14、數(shù)學表達式Dj位移電流位移電流 密度密度三三. 位移電流、傳導電流的比較位移電流、傳導電流的比較1. 位移電流具有磁效應位移電流具有磁效應tIDddB與傳導電流相同與傳導電流相同2. 位移電流與傳導電流不同之處位移電流與傳導電流不同之處(1) 產(chǎn)生機理不同產(chǎn)生機理不同(2) 存在條件不同存在條件不同位移電流可以存在于真空中、導體中、介質(zhì)中位移電流可以存在于真空中、導體中、介質(zhì)中3. 位移電流沒有熱效應，傳導電流產(chǎn)生焦耳熱位移電流沒有熱效應，傳導電流產(chǎn)生焦耳熱例例 設平行板電容器極板為圓板，半徑為設平行板電容器極板為圓板，半徑為R ，兩極板間距為，兩極板間距為d,用緩變電流用緩變電流 IC 對電

15、容器充電對電容器充電CIR1P2P解解 任一時刻極板間的電場任一時刻極板間的電場0E0D 極板間任一點的位移電流極板間任一點的位移電流tDjDt 2 RIC由全電流安培環(huán)路定理由全電流安培環(huán)路定理SLCStDIlHdd1P2PCIrH1121012 rIBC222 rH22022rRIBCDIDjr22求求 P1 , ,P2 點處的磁感應強度點處的磁感應強度例例 電荷電荷 +q 以速度以速度 v 向向O點運動。在點運動。在O點處作一半徑為點處作一半徑為 a 的圓，的圓，圓面與速度方向垂直。圓面與速度方向垂直。求求 通過該圓面的位移電流和圓周上各點處的通過該圓面的位移電流和圓周上各點處的磁感應強

16、度磁感應強度？qavrSDSDd解解 在任一時刻，穿過圓面的電位移通量在任一時刻，穿過圓面的電位移通量球冠DS24 rqrh2)cos1 (2rrq)1 (222axxqxv322ddrqatIDDPODLDIlHd由全電流安培環(huán)路定理由全電流安培環(huán)路定理aH 2DI34 raqHv24sinrqv運動電荷的磁場運動電荷的磁場四四. 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組1. 電場的高斯定理電場的高斯定理SiqSDd)d(VVSSDd0iq2. 磁場的高斯定理磁場的高斯定理SSBd000SSDDd)(21SSBBd)(21靜電場是有源場、感應電場是渦旋場靜電場是有源場、感應電場是渦旋場0dSSB傳導電流

17、、位移電流產(chǎn)生的磁場都是無源場傳導電流、位移電流產(chǎn)生的磁場都是無源場3. 電場的環(huán)路定理電場的環(huán)路定理LlEd0SStBdStBtlESLdddd 法拉第電磁感應定律法拉第電磁感應定律4. 全電流安培環(huán)路定理全電流安培環(huán)路定理LlHdiISStDdSLd)(dSjlHtDLlEEd)(21L21d)(lHH靜電場是保守場，變化磁場可以激發(fā)渦旋電場靜電場是保守場，變化磁場可以激發(fā)渦旋電場傳導電流和變化電場可以激發(fā)渦旋磁場傳導電流和變化電場可以激發(fā)渦旋磁場四個方程稱為麥克斯韋方程組的積分形式四個方程稱為麥克斯韋方程組的積分形式. .麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組能完全描述電磁場的動力學過程能完全描述

18、電磁場的動力學過程 例題例題10-6 一平行板電容器的兩極板都是半徑為一平行板電容器的兩極板都是半徑為5.0 cm5.0 cm的圓的圓導體片。設充電后電荷在極板上均勻分布，兩極板間電場強導體片。設充電后電荷在極板上均勻分布，兩極板間電場強度的時間變化率為度的時間變化率為dE/dt= 試求試求：(1)(1)兩兩極板間的位移電流極板間的位移電流I Id d；(2)(2)兩極板間磁場分布和極板邊緣處兩極板間磁場分布和極板邊緣處的磁場。的磁場。-1-113smV100 . 2 解解：(1)(1)兩極板間的位移電流為兩極板間的位移電流為 SStERStDttIdddddddddd20DdSD A4 . 1100 . 2100 . 514. 31085. 8132212dI(2)2)在垂直于該軸的平面上，取軸上一點為圓心，以在垂直于該軸的平面上，取軸上一點為圓心，以r r為半徑為半徑的圓作為積分環(huán)路。根據(jù)對稱性，在此積分環(huán)路上磁場的圓作為積分環(huán)路。根據(jù)對稱性，在此積分環(huán)路上磁場B B的大的大小相等