學(xué)案用樣本的頻率分布估計總體的分布

1、 1. 1.頻數(shù)、頻率頻數(shù)、頻率 將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的 ，叫做該組的，叫做該組的 ，每組頻數(shù)除以，每組頻數(shù)除以 的的個數(shù)即得該組的個數(shù)即得該組的 . . 2. 2.頻率分布表頻率分布表 當(dāng)總體很大或不便于獲得時當(dāng)總體很大或不便于獲得時, ,可以用可以用 . .估計總體的頻率分布估計總體的頻率分布, ,反映總體頻率分布的表格稱為頻率分反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表布表. . 3. 3.頻率分布直方圖頻率分布直方圖 以橫軸表示以橫軸表示 , ,縱軸表示縱軸表示 , ,以每個組距為底以每個組距為底, ,以各頻率除以組距的商為高以各

2、頻率除以組距的商為高, ,分別畫成矩形分別畫成矩形, ,這樣就得到了這樣就得到了頻率分布直方圖頻率分布直方圖. .個數(shù)個數(shù) 頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率 樣本容量樣本容量 樣本的頻率分布樣本的頻率分布 總分總分 組距組距頻率頻率 4. 4.頻率分布折線圖頻率分布折線圖 把頻率分布直方圖各個長方形上底邊的把頻率分布直方圖各個長方形上底邊的 用線段用線段連接起來連接起來, ,就得到頻率分布折線圖就得到頻率分布折線圖. . 5. 5.總體密度曲線總體密度曲線 頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢, ,如如果樣本容量不斷增大果樣本容量不斷增大, ,分組的組距不

3、斷縮小分組的組距不斷縮小, ,則頻率分布直則頻率分布直方圖實(shí)際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條方圖實(shí)際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條 來描繪來描繪, ,這條光滑曲線就叫做總體密度曲線這條光滑曲線就叫做總體密度曲線. .中點(diǎn)中點(diǎn) 光滑曲線光滑曲線一個容量為一個容量為4040的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：5,105,10）5 5個；個；10,1510,15）1212個；個；15,2015,20）7 7個；個；20,2520,25）5 5個；個；25,3025,30）7 7個；個；30,3530,354 4個個. .則樣本在區(qū)間則樣本在區(qū)間20

4、,+20,+）上的）上的頻率為頻率為_._.【解析】【解析】在區(qū)間在區(qū)間20,+20,+）上的頻數(shù)為）上的頻數(shù)為5+7+4=165+7+4=16，故所求頻率，故所求頻率為為 答案：答案：0.40.4160.4.40頻率分布直方圖的應(yīng)用頻率分布直方圖的應(yīng)用 為了了解高一學(xué)生的體能情況為了了解高一學(xué)生的體能情況, ,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試分鐘跳繩次數(shù)測試, ,將所得數(shù)據(jù)整理后將所得數(shù)據(jù)整理后, ,畫出頻率分布直方畫出頻率分布直方圖圖( (如圖如圖2-4-22-4-2所示所示),),圖中從左到右各小長方形面積之比為圖中從左到右各小長方形面積之比為24171593

5、,24171593,第二小組頻數(shù)為第二小組頻數(shù)為12.12.圖圖2-4-22-4-2 【分析】【分析】考查頻率分布直方圖的應(yīng)用考查頻率分布直方圖的應(yīng)用. .(1)(1)第二小組的頻率是多少第二小組的頻率是多少? ?樣本容量是多少樣本容量是多少? ?(2)(2)若次數(shù)在若次數(shù)在110110以上以上( (含含110110次次) )為達(dá)標(biāo)為達(dá)標(biāo), ,試估計該校全體高試估計該校全體高 一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少? ?【解析】【解析】(1)(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小, ,因此第二小組

6、的頻率為因此第二小組的頻率為又因為頻率又因為頻率= = , ,所以樣本容量所以樣本容量= =150.=150.08. 0391517424樣本容量樣本容量第二小組頻數(shù)第二小組頻數(shù)08. 012第二小組頻率第二小組頻率第二小組頻數(shù)第二小組頻數(shù)(2)(2)由圖可估計該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為由圖可估計該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為故第二小組的頻率是故第二小組的頻率是0.08,0.08,樣本容量是樣本容量是150150，高一學(xué)，高一學(xué)生達(dá)標(biāo)率是生達(dá)標(biāo)率是88%.88%.%.88%10039151742391517 【評析】（【評析】（1 1）頻率分布直方圖能夠很容易地表示大）頻率分布直方圖能夠很容易地表示大

7、量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到題量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到題意中看不清楚的信息和數(shù)據(jù)模式意中看不清楚的信息和數(shù)據(jù)模式. . (2) (2)頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性可能性, ,由抽樣的代表性由抽樣的代表性, ,利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率, ,可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的可能性. .在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動中在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動中, ,某班進(jìn)行了小制作評比某班進(jìn)行了小制作評比, ,作作品上交時間為品上交時間為5 5月月1 1日

8、至日至3030日日, ,評委會把同學(xué)們上交作品的件評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按數(shù)按5 5天一組分組統(tǒng)計天一組分組統(tǒng)計, ,繪制了頻率分布直方圖繪制了頻率分布直方圖( (如圖如圖2-4-32-4-3所示所示).).已知從左到右各長方形的高的比為已知從左到右各長方形的高的比為2346234641,41,第三組的頻數(shù)為第三組的頻數(shù)為12,12,請解答下列問題請解答下列問題: :圖圖2-4-32-4-3(1)(1)本次活動共有多少件作品參加評比本次活動共有多少件作品參加評比? ?(2)(2)哪組上交的作品數(shù)最多哪組上交的作品數(shù)最多? ?有多少件有多少件? ?(3)(3)經(jīng)過評比經(jīng)過評比, ,第四組和

9、第六組分別有第四組和第六組分別有1010件、件、2 2件作品獲獎件作品獲獎, , 問這兩組哪組獲獎率較高問這兩組哪組獲獎率較高? ?解解:(1):(1)依題意知第三組的頻率為依題意知第三組的頻率為又因為第三組的頻數(shù)為又因為第三組的頻數(shù)為12,12,所以本次活動的參評作品數(shù)為所以本次活動的參評作品數(shù)為 =60(=60(件件).).5114643245112(2)(2)根據(jù)頻率分布直方圖根據(jù)頻率分布直方圖, ,可以看出第四組上交的作品數(shù)量最可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多多, ,共有共有6060 =18(=18(件件).).(3)(3)第四組的獲獎率是第四組的獲獎率是 , ,第六組上交的作品數(shù)量為

10、第六組上交的作品數(shù)量為6060 =3( =3(件件).).第六組的獲獎率為第六組的獲獎率為 , ,顯然第六組的獲獎率較高顯然第六組的獲獎率較高. .146432695181014643219632某市對上、下班交通情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，上、下班時間各某市對上、下班交通情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，上、下班時間各抽取了抽取了1212輛機(jī)動車行駛時速如下：（單位：輛機(jī)動車行駛時速如下：（單位：km/hkm/h）上班時間：上班時間：30 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 2030 33 18 27 32 40 26 28 21 28 35 20下班時間：下班時間：27 19 32 29 3

11、6 29 30 22 25 16 17 3027 19 32 29 36 29 30 22 25 16 17 30用莖葉圖表示上面的樣本數(shù)據(jù)，并求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)用莖葉圖表示上面的樣本數(shù)據(jù)，并求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù). .解：根據(jù)題意繪出該市上、下班交通情況的莖葉圖，如圖解：根據(jù)題意繪出該市上、下班交通情況的莖葉圖，如圖所示所示. . 由圖可見，上班時間行駛時速的中位數(shù)是由圖可見，上班時間行駛時速的中位數(shù)是2828，下班時間行，下班時間行駛時速的中位數(shù)是駛時速的中位數(shù)是28.28.【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】如圖是如圖是20122012年青年歌手大獎賽中七位評委為甲、年青年歌手大獎賽中七位評委為甲、

12、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（圖中（圖中m m為數(shù)字為數(shù)字0 09 9中的一個），中的一個），去掉一個最高分和一個最低分后，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為別為a a1 1，a a2 2，則一定有（，則一定有（ ）（a a）a a1 1aa2 2 （b b）a a2 2aa1 1（c c）a a1 1=a=a2 2 （d d）a a1 1,a,a2 2的大小與的大小與m m的值有關(guān)的值有關(guān)【解析】【解析】選選b.b.根據(jù)莖葉圖可知，去掉一個最高分和一個最低分根據(jù)莖葉圖可知，去掉一個最高分和一個最低分后，甲的平

13、均分為后，甲的平均分為 乙的平均分為乙的平均分為故故a a2 2aa1 1. .15455 1a80845 ，244647a80855 ，【易錯誤區(qū)】【易錯誤區(qū)】求解頻率分布直方圖問題時的常見錯誤求解頻率分布直方圖問題時的常見錯誤【典例】（【典例】（20112011湖北高考）有一個容量為湖北高考）有一個容量為200200的樣本，其頻的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣率分布直方圖如圖所示，根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間本數(shù)據(jù)落在區(qū)間1010，1212）內(nèi)的頻數(shù)為（）內(nèi)的頻數(shù)為（ ）（a a）18 18 （b b）36 36 （c c）54 54 （

14、d d）7272 【解題指導(dǎo)】【解題指導(dǎo)】 【解析】【解析】選選b.b.設(shè)樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間設(shè)樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間1010，1212）內(nèi)的頻率為）內(nèi)的頻率為2x2x，則則（0.02+0.05+x+0.15+0.190.02+0.05+x+0.15+0.19）2=12=1, ,得得x=0.09x=0.09，所以樣本數(shù)，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間據(jù)落在區(qū)間10,1210,12）內(nèi)的頻數(shù)為）內(nèi)的頻數(shù)為0.090.092 2200=36.200=36. 1. 1.如何理解用樣本的頻率分布估計總體的分布如何理解用樣本的頻率分布估計總體的分布? ? 總體分布是指總體取值的分布規(guī)律總體分布是指總體取值的分布規(guī)律, ,這

15、種分布我們一般這種分布我們一般是不知道的是不知道的. .用樣本去估計總體用樣本去估計總體, ,是研究統(tǒng)計問題的一個基是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想本思想, ,對于不易知道的總體分布對于不易知道的總體分布, ,常常用樣本的頻率分布常常用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計對它進(jìn)行估計. .樣本的容量越大樣本的容量越大, ,這種估計就越精確這種估計就越精確. .用樣本用樣本估計的思想就是用部分考察全體、用離散考察連續(xù)、用有估計的思想就是用部分考察全體、用離散考察連續(xù)、用有限考察無限的思想限考察無限的思想, ,是用觀察測量值來探究客觀規(guī)律的一種是用觀察測量值來探究客觀規(guī)律的一種重要的基本思想重要的基本思想. .

16、 用樣本的頻率分布估計總體的分布時用樣本的頻率分布估計總體的分布時, ,要使樣本能夠很要使樣本能夠很好的反映總體的特征好的反映總體的特征, ,必須隨機(jī)抽取樣本必須隨機(jī)抽取樣本. .由于抽樣的隨機(jī)由于抽樣的隨機(jī)性性, ,當(dāng)抽取的樣本變化時當(dāng)抽取的樣本變化時, ,所形成的樣本頻率分布一般會與所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同前一個樣本頻率分布有所不同. .但是但是, ,它們都可以近似地看它們都可以近似地看作總體的分布作總體的分布. . 2.2.如何理解頻率分布折線圖與總體密度曲線如何理解頻率分布折線圖與總體密度曲線? ? (1) (1)為了方便看圖為了方便看圖, ,一般習(xí)慣于把

17、頻率分布折線圖畫成一般習(xí)慣于把頻率分布折線圖畫成與橫軸相連與橫軸相連, ,所以橫軸上的左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際的意義所以橫軸上的左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際的意義. . (2) (2)總體密度曲線呈中間高、兩邊低的總體密度曲線呈中間高、兩邊低的“鐘鐘”形分布形分布, ,總體的數(shù)據(jù)大致呈對稱分布總體的數(shù)據(jù)大致呈對稱分布, ,并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi)中間的區(qū)間內(nèi). . 用樣本的頻率分布估計總體的分布時用樣本的頻率分布估計總體的分布時, ,要使樣本能夠很要使樣本能夠很好的反映總體的特征好的反映總體的特征, ,必須隨機(jī)抽取樣本必須隨機(jī)抽取樣本. .由于抽樣的隨機(jī)由于抽樣的隨機(jī)性

18、性, ,當(dāng)抽取的樣本變化時當(dāng)抽取的樣本變化時, ,所形成的樣本頻率分布一般會與所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同前一個樣本頻率分布有所不同. .但是但是, ,它們都可以近似地看它們都可以近似地看作總體的分布作總體的分布. . 3. 3.莖葉圖有哪些優(yōu)點(diǎn)莖葉圖有哪些優(yōu)點(diǎn)? ? 用莖葉圖表示有兩個突出的優(yōu)點(diǎn)用莖葉圖表示有兩個突出的優(yōu)點(diǎn): :其一其一, ,在統(tǒng)計圖上沒在統(tǒng)計圖上沒有原始信息的損失有原始信息的損失, ,所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到; ;其二其二, ,莖葉圖可以在比賽時隨時記錄莖葉圖可以在比賽時隨時記錄, ,方便記錄與表示方便記錄與表示. .但莖但莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù), ,雖然可以表示兩個人以雖然可以表示兩個人以上的比賽結(jié)果上的比賽結(jié)果( (或兩個以上的記錄或兩個以上的記錄),),但沒有分別表示兩個記但沒有分別表示兩個記錄那么直觀、清晰錄那么直觀、清晰. . 1.