定積分及其應(yīng)用(高數(shù))

1、存在定理的概念存在定理的概念廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （ii

2、x ），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，(1)(1)定積分的定義定積分的定義定義定義1.定積分的概念定積分的概念怎樣的分法，怎樣的分法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時時，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我們稱這個極限我們稱這個極限I為函數(shù)為函數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和(

3、 )d0( )d( )dabaaabf xxf xxf xx （2） ， (1). (1). 定積分表示一個數(shù)，它只與被積函數(shù)及積定積分表示一個數(shù)，它只與被積函數(shù)及積 分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即( )d( )dbbaaf xxf tt注意：注意：(3)(3)可積的必要條件：可積的必要條件：( ),( ),f xa bf xa ba.若在上連續(xù)，則在上可積。.( ),( ),bf xa bf xa b若在上有界且只有有限個間斷點， 則在上可積。, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊

4、梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba (2)(2)定積分的幾何意義定積分的幾何意義( ),.;.xf xxa xbxx它是介于軸、函數(shù)的圖形及兩條直線之間的各部分面積的代數(shù)和在軸上方的面積取正號 在軸下方的面積取負號 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)3 （區(qū)間可加性）（區(qū)間可加性）2.2.定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) . , , , :上上結(jié)結(jié)論論總總成成立立的的位位置置如如何何不不論論補補充充cba性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)

5、( xf，推論（比較定理或有序性）推論（比較定理或有序性）： 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）).()()()( , , )( baabMdxxfabmbaxfmMba 則則的最大值及最小值的最大值及最小值上上在區(qū)間在區(qū)間分別是函數(shù)分別是函數(shù)及及設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)6:6:估值性質(zhì)估值性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式).()()( , , , , )( baabfdxxfb

6、abaxfba 使得使得上至少存在一個點上至少存在一個點積分區(qū)間積分區(qū)間則在則在上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx . 2020的的大大小小與與比比較較積積分分值值dxxdxex 例例1 1解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例3.3.證明：證明：21224022xxeedxe證明：令證明：令2( ),0,2xxf xex

7、則則2( )21xxfxex令令2( )0,210 xxfxex即得駐點為：得駐點為：12x 因為因為1241( ),(0)1,(2)2feffe所以所以2124xxeee從而從而2122224000 xxedxedxe dx即即21224022xxeedxe.)()( xadttfx變上限的定積分函數(shù)變上限的定積分函數(shù)3.3.變上限的定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限的定積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限的定積分函數(shù)的性質(zhì)變上限的定積分函數(shù)的性質(zhì) 說明說明：變上限的定積分函數(shù)對積分上限：變上限的定積分函數(shù)對積分上限x x的一階的一階導(dǎo)數(shù)等于將被積函數(shù)表達式中的變量記號導(dǎo)數(shù)等于將被積函數(shù)表達式中的變量記號t t改寫

8、為改寫為積分上限積分上限x x所得到的函數(shù)，而與積分下限所得到的函數(shù)，而與積分下限a a無關(guān)。無關(guān)。 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補充補充 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxF( ),( ) ( )( )g xadf t dtf g xg xdx一般地例例 1 xttx0,de)(2 已已知知求求 (x).解解根據(jù)定理根據(jù)定理 ，得，得 .ede)(220 xxttx 220( ),( )txe dtx思考：已知 求例例 2 0,d)13cos()(xttx

9、F已已知知求求 F (x).解解根據(jù)定理根據(jù)定理 ，得，得 )(xF 0d)13cos(xtt xtt0d)13cos().13cos( x例例 3 xttx02,d)sin()( 設(shè)設(shè)求求 (x).解解 (x) xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02 .sin21xx 例例4 4 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，

10、應(yīng)用洛必達法則.cossin. 500的導(dǎo)數(shù)對所給定的函數(shù)求由參數(shù)方程例xyuduyuduxtt.,cos. 6023dxdytdtyxxy求設(shè)例證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證, 1)(2)(0 dttfxxFx,

11、0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令( )x因為F在 0，1 上連續(xù)，由零點存在定理知，在（0，1）之間至少存在一點00()0.xf x,使得( )0F x 即在（0，1）內(nèi)至少有一個根。定理定理 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式4.4.牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式（1）直接積分法）直接積分法5.定積分的計算定積分的計算（2）湊微分法（第一類換元法）湊微分法（第一類換元法）（3）變量替換法（第二類換元法）變量替換法（第

12、二類換元法）（4）分部積分法）分部積分法則有則有 baxxfd)(定積分換元公式定積分換元公式 f )(t tt d)( （1）定積分的換元法）定積分的換元法定理定理1假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)( ) , ,f xa b在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)函數(shù)滿足條件滿足條件:)(tx 上上或或在在),(, )( t(1) (2) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域且其值域,baR ;)(,)(ba 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式（2）定積分的）定積分的分部積分分部積分法法設(shè)設(shè))(),(xvxu上上在在區(qū)區(qū)間間,ba有有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則則 vud定理定理2uv uvd由不定積分的分部積分法由不定積分的分部

13、積分法abbaab及及N-L公式公式. bababauvuvvudd類似于不定積分的分部積分法：類似于不定積分的分部積分法：“反、對、冪、指、三反、對、冪、指、三”奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式（3）重要公式）重要公式,)(上連續(xù)上連續(xù)在在當(dāng)當(dāng)aaxf 且有且有,)()1(為偶函數(shù)為偶函數(shù)xf則則 aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(為奇函數(shù)為奇函數(shù)xf則則 aaxxf0d)( xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例

14、例 2011( )()f xfxdx0例例 xxxxdsindcos20102010 2200dcosdsin xxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù) 54 7632 1 65 87 43 21 2 xxxxdcosdsin207207 109.d)(d)(,)(0為任何常數(shù)為任何常數(shù)則則的周期的周期是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)如果如果axxfxxfxfTTaaT 這個公式就是說：這個公式就是說： 周期函數(shù)在任何長為一周期的周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等區(qū)間上的定積分都相等.例例1 1 設(shè)設(shè) , 求求 .

15、 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 例例2 2 求求 解解220(1)x xdx212222001(1)(1)(1)x xdxx xdxx xdx1233015()()2xx dxxx dx例例3 3 計算計算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x

16、.54 例例 4計算下列定積分計算下列定積分. 解解;de1e)1(11xxx .dcos)2(462xx xxxde1e)1(11 )e1(de1111xx 11)e1ln( x; 1e11ln)e1ln( xxdcos)2(462 xx d )2cos1(2146 46462d2cos41d21xxx462sin416421 x.834124 例例5 5 解解 203dsin xx 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 23203cos31cos xx 解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ttaxdcosd 原式原式 ttcos

17、sin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 20 tcostd tsintcos tsin 21例例6：例例7 7 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsin xdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則例例8 8 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2x

18、xdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例9 9：設(shè)設(shè),02( ),2lkxxf xlcxl求求0( )( )0, xxf t dtl在上的表達式。上的表達式。時，解：當(dāng)20lx dtktdttfxxx002022121kxktx,2時當(dāng)lxl dttfdttfdttfxxllx2200dtcdtktxll220 xllctkt220221,2812lxckl lxlxckllxkxx2,218120,2122故故2021:( )0,2.1xtI xdttt 例10 求在上的最大值與最小值2020221:( )0,2121(

19、 )0,2121( ),0,21xxtI xdttttI xdtttxI xxxx 解 由于在上可導(dǎo),故在上連續(xù),且, ( )0,xI x12當(dāng) = 時11222122200211( )(1)11tIdtd tttttt 而122340ln1lntt 02021(0)0,1tIdttt 22201(2)(1)1Id tttt 220ln1ln3tt 123( )ln,2ln3.4I xxx故在處取得最小值在處取得最大值2021( ).1xtI xdttt 求的最大值與最小值思考：思考：例例11 11 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)解解 法一法一,2tx 令令tx

20、 2txdd e137 tt d )1(012 td1 131 31d)2(xxf)(tf 10dtet法二法二 )2(xf即即 , 2, 2, 54)2(22xexxxxfx 31d)2(xxf 1 3e137 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 226. 廣義積分廣義積分 （1）無窮限的廣義積分）無窮限的廣義積分 （2）無界函數(shù)的廣義積分）無界函數(shù)的廣義積分 定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間), a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無

21、窮窮區(qū)區(qū)間間), a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .（1）無窮限的廣義積分）無窮限的廣義積分類類似似地地，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,(b上上連連續(xù)續(xù)，取取ba ，如如果果極極限限 baadxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間,(b上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱

22、稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.

23、12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)1 p時時發(fā)發(fā)散散.證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2(

24、p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因因此此當(dāng)當(dāng)1 p時時廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時時廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散.定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點點a的右鄰域內(nèi)無界取的右鄰域內(nèi)無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱

25、廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .（2）無界函數(shù)的廣義積分）無界函數(shù)的廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點而在點b的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分發(fā)散時，稱廣義積分發(fā)散. .設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上除除點點)(bcac 外外

26、連連續(xù)續(xù)，而而在在點點c的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無界界. .如如果果兩兩個個廣廣義義積積分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收斂斂，則則定定義義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .例例4 4 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點點. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 證證, 1)1(

27、q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因因此此當(dāng)當(dāng)1 q時時廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時時廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. 101dxxq7. 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用1、平面圖形的面積、平面圖形的面積 ( )( )dbaAf xg xx 21( )( )ddcAyyy2、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積2 ( ) d（繞 軸旋轉(zhuǎn)）baVf xxx 2 ( )dcVydyy（繞 軸旋轉(zhuǎn)）3、平面曲線的弧長、平面曲線的弧長1 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )

28、(2xfy badxxfxfA)()(12AA(1) 直角坐標情形直角坐標情形abab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù).(2) 參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)2、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cddxxrxRVba22)()(例例 1 1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋