恒成立能成立問題總結(jié)(詳細(xì))

1、-作者xxxx-日期xxxx恒成立能成立問題總結(jié)(詳細(xì))【精品文檔】恒成立問題的類型和能成立問題及方法處理函數(shù)與不等式的恒成立、能成立、恰成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮。感覺題型變化無常，沒有一個(gè)固定的思想方法去處理，一直困擾著學(xué)生，感到不知如何下手。在此為了更好的準(zhǔn)確地把握快速解決這類問題，本文通過舉例說明這類問題的一些常規(guī)處理。1、 函數(shù)法（1） 構(gòu)造一次函數(shù) 利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來解決 對(duì)于一次函數(shù)有： 例1 若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求的范 圍。 解析：將不等式化為：， 構(gòu)造一次型函數(shù)： 原命題等價(jià)于對(duì)滿足的，使恒成立。由函數(shù)圖

2、象是一條線段，知應(yīng)解得 ，所以的范圍是。小結(jié)：解題的關(guān)鍵是將看來是解關(guān)于的不等式問題轉(zhuǎn)化為以為變量，為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題，再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。練習(xí):(1)若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 （2）對(duì)于的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍。（答案：或）（二）構(gòu)造二次函數(shù) 利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來解決。 對(duì)于二次函數(shù)有： （1）上恒成立； （2）上恒成立 （3）當(dāng)時(shí)，若上恒成立 若上恒成立 （4）當(dāng)時(shí)，若上恒成立 若上恒成立例2若關(guān)于的二次不等式：的解集為，求的取值范圍. 解：由題意知，要使原不等式的解集為，即對(duì)一切實(shí)數(shù)原不等式都成立。 只須 . 的取值

3、范圍是說明：1、本題若無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮的情況，但對(duì)本題講時(shí)式子不恒成立。2、只有定義在R上的恒二次不等式才能實(shí)施判別式法；否則，易造成失解。練習(xí)：1、 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍。 （答案） 2、已知函數(shù)在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答案）提示：構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。（三）、利用函數(shù)的最值-分離參數(shù)法或值域法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊即分離參變量，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。注意參數(shù)

4、的端點(diǎn)值能否取到需檢驗(yàn)。類型一 ： “”型 一、（恒成立） （1）恒成立；（2）恒成立；二、（能成立、有解）：（1）能成立；（2） 能成立； 三、（恰成立） （1）不等式在區(qū)間上恰成立不等式的解集為； （2）不等式在區(qū)間上恰成立不等式的解集為. 四、（方程有解） 方程在某個(gè)區(qū)間上有解，只需求出在區(qū)間上的值域A使。例3：設(shè)其中，如果時(shí)，恒有意義，求的取值范圍。 解：如果時(shí)，恒有意義對(duì)恒 成立，恒成立。 令，又，則 對(duì)恒成立，又在上為減函數(shù)， ，例4：若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍。 解： 設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在R上能成立,即，解得例5不等式有解，求的取值范圍。解：不等

5、式有解能成立能成立， 所以。例6（2008年上海）已知函數(shù)f(x)2x若不等式2t f(2t)+m f(t)0對(duì)于t1,2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：本題可通過變量分離來解決當(dāng)時(shí)，即，故的取值范圍是例7（1990年全國）設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)有意義，求a的取值范圍解：本題即為對(duì)于，有恒成立這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對(duì)于恒成立構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)于是有的最大值為，從而可得如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的

6、實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值類型二：“”型例8 已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 f(x)g(x)在x0,1恒成立，即在x0,1恒成立在0,1上的最大值小于或等于零.令，.x0,1，F(xiàn)(x)0，即F(x)在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.f(x)F(0)=1-t0，即t1. 類型三：“”型 （恒成立和能成立交叉）：（1） 成立 ；例9已知兩個(gè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。（1）對(duì)任意，

7、都有成立，求的取值范圍；（2）存在，使成立，求的取值范圍；（3）對(duì)任意，都有，求的取值范圍。 解析：（1）設(shè)問題轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，故。令，得。由，故由。（2） 據(jù)題意：存在，使成立在有解，故，由（1）知，于是得。（3） 分析：它與（1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別。對(duì)任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：，由，得，易得，又，. 故，令。例10：（2010山東）已知函數(shù). ()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍. 解析：()當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函

8、數(shù)在 單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減. （）當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)， 所以對(duì)任意，有， 又已知存在，使，所以，（） 又 當(dāng)時(shí)，與（）矛盾； 當(dāng)時(shí)，也與（）矛盾； 當(dāng)時(shí)，. 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例11已知函數(shù)，若對(duì)任意x1，x2-2,2，都有f(x1)g(x2)，求c的范圍.解 因?yàn)閷?duì)任意的x1，x2-2,2，都有f(x1)g(x2)成立，f(x)maxg(x)min.f(x)=x2-2x-3，令f(x)0得x3或x-1；f(x)0得-1x3.f(x)在-2,-1為增函數(shù)，在-1,2為減函數(shù).f(-1)=3，f(2)=-6，f(x)max

9、=3.c-24.類型四： “”型 例12：已知函數(shù)，若對(duì)任意xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，則|x1-x2|的最小值為_.解 對(duì)任意xR，不等式f(x1)f(x)f(x2)恒成立，f(x1)，f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值.對(duì)于函數(shù)y=sinx，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是，即半個(gè)周期.又函數(shù)的周期為4，|x1-x2|的最小值為2.類型五：例13 (2005湖北)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cosx這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0x1x21時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()解 本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知y=log2x

10、符合題意.類型六：.“0”型 例14 已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?1,1，f(1)=1，若m，n-1,1，m+n0時(shí)，都有，若f(x)t2-2at+1對(duì)所有x-1,1，a-1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解 任取-1x1x21，則.由已知0，又x1-x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x)在-1,1上為增函數(shù).f(1)=1，x-1,1，恒有f(x)1.要使f(x)t2-2at+1對(duì)所有x-1,1，a-1,1恒成立，即要t2-2at+11恒成立，故t2-2at0恒成立.令g(a)=t2-2at，只須g(-1)0且g(1)0，解得t-2或t=0或t2.評(píng)注 形如不等式“0”或“0”恒成立，實(shí)際

11、上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時(shí)要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息.類型七：“|f(x1)f(x2)|t(t為常數(shù))”型例15已知函數(shù)f(x)=-x4+2x3，則對(duì)任意t1，t2-,2(t1t2)都有|f(x1)-f(x2)|_恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t1=_，t2=_時(shí)取等號(hào).解 因?yàn)閨f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|恒成立，由，x-,2，易求得，.|f(x1)-f(x2)|2.類型八：“|f(x1)-f(x2)|x1-x2|”型例16 已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b，對(duì)于x1,x2(0,)(x1x2)時(shí)總有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|成立，求實(shí)數(shù)a的

12、范圍.解 由f(x)=x3+ax+b，得f(x)=3x2+a，當(dāng)x(0,)時(shí)，af(x)1+a.|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，-1a0.評(píng)注 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y=f(x)圖像上任意兩點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)連線的斜率(x1x2)的取值范圍，就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個(gè)結(jié)論，可以解決形如|f(x1)-f(x2)|m|x1-x2|或|f(x1)-f(x2)|m|x1-x2|(m0)型的不等式恒成立問題.（4） 數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重

13、要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系, 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用構(gòu)造對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象法求解。 1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2） 函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。 例17 已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解析：由，構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)并在同一直角坐標(biāo)系中作出它們的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。x-2-4yO-4例18設(shè) , ,若恒有成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象

14、是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)練習(xí)：若對(duì)任意,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)：1、已知二次函數(shù)滿足，而且，請(qǐng)解決下列問題（1） 求二次函數(shù)的解析式。 （2） 若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。（3） 若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。（4） 若在區(qū)間上有解 ，求的取值范圍。2、已知函數(shù)，若在區(qū)間是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 答案：3、已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍。 答案：4、已知函數(shù)的值域，函數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。答：。5、已知函數(shù)，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答： 1、，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .分析 ，.時(shí), 遞增, 其值域?yàn)?.2、，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .分析 ，.時(shí), 函數(shù)遞增, 其值域?yàn)?.3、，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .分析 ，.時(shí), 遞增, 其值域?yàn)?.小結(jié) 當(dāng)函數(shù)的最值不存在時(shí)的“恒成立”和“有解”問題該如何處理？1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如