二次函數的圖像和性質1(左右平移)

1、二次函數二次函數y=ax2+bx+c的圖象的圖象1二次函數二次函數y=ax2的性質的性質.頂點坐標與對稱軸頂點坐標與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=ax2 (a0)y= ax2 (a0)y=ax2 +c(a0時時,在在x軸的上方軸的上方(經過一經過一,二象限二象限);當當c0時時,與與x軸相交軸相交(經過一經過一,二三四象限二三四象限).當當c0時時,與與x軸相交軸相交(經過一經過一,二三四象限二三四象限).向上向上向下向下當當x=0時時,最小值為最小值為c.當當x=0時時,最

2、大值為最大值為c.在對稱軸的左側在對稱軸的左側,y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 在對稱軸的右側在對稱軸的右側, y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的左側在對稱軸的左側,y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大. 在對稱軸的右側在對稱軸的右側, y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小. 根據圖形填表：根據圖形填表：caxy2caxy2w在同一坐標系中作出二次函數在同一坐標系中作出二次函數y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和和y=3(x+1)2的圖的圖象象 w完成下表完成下表, ,并比較并比較3x3x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x+

3、1)2的值的值, ,它們之間有什么關系它們之間有什么關系? ? 函數函數y=a(x-h)y=a(x-h)2 2(a0)(a0)的圖象和性質的圖象和性質23xy213 xy213 xy（1 1）函數）函數y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的圖象與與y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖象的圖象有什么關系有什么關系? ?它是軸對稱圖形它是軸對稱圖形嗎嗎? ?它的對稱軸和頂點坐標分它的對稱軸和頂點坐標分別是什么別是什么? ? 23xy213 xy213xy（2）x取哪些值時取哪些值時,函數函數y=3(x+1)2的值隨的值隨x值的增大而值的增大而增大增大?x取哪

4、些值時取哪些值時,函數函數y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而減的增大而減少？少？23xy 213 xy213 xyy二次函數函數y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的圖象的圖象X=-1X=1（1 1）函數）函數y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象與的圖象與y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖象有的圖象有什么關系什么關系? ?它是軸對稱圖形嗎它是軸對稱圖形嗎? ?它的對稱軸和頂點坐標分它的對稱軸和頂點坐標分別是什么別是什么? ? （2）x取哪些值時取哪些值時,函數函數

5、y=3(x+1)2的值隨的值隨x值的增大而增值的增大而增大大?x取哪些值時取哪些值時,函數函數y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而減少？的增大而減少？二次函數二次函數y=a(x-h)2的性質的性質.頂點坐標與對稱軸頂點坐標與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=a(x-h)2 (a0)y=a(x-h)2 (a0h0時時, ,向右平移向右平移; ;當當h0h0k0時向上平時向上平移移; ;當當k0k0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0時時, 開口向上開口向

6、上,在對稱軸左側在對稱軸左側,y都隨都隨x的增大而減小的增大而減小,在對稱在對稱軸右側軸右側,y都隨都隨 x的增大而增大的增大而增大. a0時時,向右平移向右平移;當當h0時向上平移時向上平移;當當k0)y=a(x-h)2+k(a0,a=30,開口向上開口向上; ;對稱軸對稱軸: :直線直線x=1;x=1;頂點坐標頂點坐標:(1,2).:(1,2).作出函數作出函數y=2xy=2x2 2-12x+13-12x+13的圖象的圖象. . 5632xxyX=1(1,2)131222xxyX=3(3,-5)1.確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

7、;22.12xy ; 513.22xy ; 134.32xy ;5.4xxy ;21.52xxy .1272.62xxyw例例.求次函數求次函數y=ax+bx+c的對稱軸和頂點坐標的對稱軸和頂點坐標 函數y=ax+bx+c的頂點式 w一般地一般地, ,對于二次函數對于二次函數y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我們可以利用配方法推導我們可以利用配方法推導出它的對稱軸和頂點坐標出它的對稱軸和頂點坐標. . w1.1.配方配方: :cbxaxy2ccxabxa2提取二次項系數提取二次項系數acababxabxa22222配方配方:加上再加上再減去一次項系減去一次項系數絕對值一半數絕對值一半的平

8、方的平方222442abacabxa整理整理:前三項化為平方形前三項化為平方形式式,后兩項合并同類項后兩項合并同類項.44222abacabxa化簡化簡:去掉中括號去掉中括號這個結果通常這個結果通常稱為求稱為求頂點坐頂點坐標公式標公式.44222abacabxay頂點坐標公式因此因此, ,二次函數二次函數y=axy=ax+bx+c的圖象是一條拋物線的圖象是一條拋物線. .根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標： .2:abx它的對稱軸是直線.44,22abacab它的頂點是.44222abacabxay ;13122.12xxy ;319

9、805.22xxy ;2212.3xxy .2123.4xxyw如圖如圖,兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系按照圖中的直角坐標系,左面的一條拋物線可以用左面的一條拋物線可以用y=0.0225xy=0.0225x+0.9x+10+0.9x+10表示表示, ,而且左右兩而且左右兩條拋物線關手條拋物線關手y y軸對稱軸對稱 w鋼纜的最低點到橋面的距離是少？鋼纜的最低點到橋面的距離是少？w兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？w你是怎樣計算的？與同伴交流你是怎樣計算的？與同伴交流.函數函數y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(

10、a0)(a0)的應用的應用Y/m x/m 橋面 -5 0 510109 . 00225. 02xxy109 . 00225. 02xxy. .鋼纜的最低點到橋面的距離是少？你是怎樣計算的？與鋼纜的最低點到橋面的距離是少？你是怎樣計算的？與同伴交流同伴交流.可以將函數可以將函數y=0.0225xy=0.0225x2 2+0.9x+10+0.9x+10配方配方, ,求得頂點坐標求得頂點坐標, ,從而獲得從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離鋼纜的最低點到橋面的距離;94000400225. 02xx940002020400225. 0222xx9400200225. 02x. 1200225. 02x.

11、1 ,20是這條拋物線的頂點坐標.1m橋面的距離是由此可知橋面最低點到Y/m x/m 橋面 -5 0 510109 . 00225. 02xxy兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？你是怎樣計算的？兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？你是怎樣計算的？與同伴交流與同伴交流.w想一想想一想, ,你知道圖中右面鋼纜的表達式是什么嗎你知道圖中右面鋼纜的表達式是什么嗎? ? 109 . 00225. 02xxy. 1200225. 02x:右邊的鋼纜的表達式為. 1200225. 02xy.1 ,20:,其頂點坐標為因此 .402020m距離為兩條鋼纜最低點之間的,軸對稱且左右兩條鋼纜關于yY/m x/m 橋面

12、-5 0 510109 . 00225. 02xxy.109 . 00225. 02xxy即.109 . 00225. 02xxyw你還有其它方法嗎？與同伴交流你還有其它方法嗎？與同伴交流.w直接利用頂點坐標公式再計算一下上面問題中鋼纜的最低點到直接利用頂點坐標公式再計算一下上面問題中鋼纜的最低點到橋面的距離以及兩條鋼纜最低點之間的距離橋面的距離以及兩條鋼纜最低點之間的距離 109 . 00225. 02xxy. 10225. 049 . 0100225. 044422abac:44,222得由頂點坐標公式abacab,200225. 029 . 02ab.1 ,20是這條拋物線的頂點坐標.1

13、 ,20:,為右邊拋物線的頂點坐標同理 .402020m距離為兩條鋼纜最低點之間的Y/m x/m 橋面 -5 0 510109 . 00225. 02xxy.109 . 00225. 02xxy.1m到橋面的距離是由此可知橋面最低點二次二次函數函數y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的圖象和性質的圖象和性質.頂點坐標與對稱軸頂點坐標與對稱軸.位置與開口方向位置與開口方向.增減性與最值增減性與最值拋物線拋物線頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a

14、0時時, 開口向上開口向上,在對稱軸左側在對稱軸左側,y都隨都隨x的增大而減小的增大而減小,在對在對稱軸右側稱軸右側,y都隨都隨 x的增大而增大的增大而增大. a0時時,向右平移向右平移;當當 0時時向上平移向上平移;當當 0,a0,開口開口向上向上; ;a0,a0,在對稱軸在對稱軸左側左側,y都隨都隨x的的增大而減小增大而減小,在在對稱軸右側對稱軸右側,y都隨都隨 x的增大的增大而增大而增大.;a0,函數y=ax2與y=ax+b的圖象大致是( ) A B C DyyyyxxxxooooCBD6.下列各點中與點(1,4)在同一個二次函數 y=ax2圖象上的是( )A. (2,-16) ; B.

15、( -2,16); C.(-2,-16) ; D. (16,2) ;B解法訓練:1.已知:函數 是關于x的二次函數.求:(1)滿足條件的m值.(2)當m為何值時,拋物線有最低點?并求出這個最低點.這時當x為何值時,y隨x增大而增大?(3)當m為何值時,拋物線有最大值?最大值是多少?這時當x為何值時,y隨x的增大而減小?42)2(mmxmym= -3或或m=2.m=2時時,最低點是最低點是(0,0);當當x0時時,y隨隨x的增大而增大的增大而增大.m=-3時時,最大值是最大值是0;當當x0時時,y隨隨x的增大而減小的增大而減小.23xy22xy 2.一個函數的圖象是一條以一個函數的圖象是一條以y

16、軸為對稱軸軸為對稱軸原點為頂點的拋物線原點為頂點的拋物線,且經過點且經過點A(-2,2)(1)求這個函數的解析式求這個函數的解析式;(2)畫出這個函數的圖象畫出這個函數的圖象 ;(3)寫出拋物線上與點寫出拋物線上與點A關于關于y軸對稱的點軸對稱的點B的坐標的坐標,并計算并計算ABO的面積的面積.221xy 面積為面積為4存在點C( ,1);( ,1);( ,3 );( ,3).2266A(-2,2) B(2,2)C CCC21(4)在拋物線上是否存在點在拋物線上是否存在點C,使使SABC= SOAB ,如果存在寫出如果存在寫出點點C的坐標的坐標,如果不存在說明理由如果不存在說明理由?1.將函數

17、將函數y=2x2的圖象向左平移的圖象向左平移3個單位個單位,然后將圖象繞頂點在然后將圖象繞頂點在原坐標系內旋轉原坐標系內旋轉1800,求旋轉后圖象對應的函數解析式求旋轉后圖象對應的函數解析式.綜合訓練綜合訓練:2.拋物線拋物線y=ax2向左平移一個單位向左平移一個單位,再向下平移再向下平移8個單位且個單位且y=ax2過點過點(1,2).則平移后的解析式為則平移后的解析式為_;y= -2(x+3)2y=2(x+1)2-83.將拋物線將拋物線y=x2-6x+4如何移動才能得到如何移動才能得到y(tǒng)=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3個單位個單位,再向上平移再向上平移5個單位個單位.4.畫出函數畫出函數y=5x2與函數與函數y=-5x2的圖象并根據圖象分別說明兩函數的圖象并根據圖象分別說明兩函數的增減性的增減性?是否有最大值或最小值是否有最大值或最小值,若有是多少若有是多少?5如果拋物線如果拋物線y=2x2與直線與直線y=kx-3只有一個公共點只有一個公共點,求求k值值.6.已知已知:拋物線拋物線y=-x2將拋物線向上平移后將拋物線向上平移后,拋物線頂點拋物線頂點D和拋物線和拋物線與與x軸二交點軸二交點A,B圍成圍成ABD.求頂點在什么位置時求頂點在什么位置時, ABD為正為正三角形且寫出此時拋