固定收益第4章--利率

1、第1頁(yè)本章綱要1.利率的種類2.利率的度量3.零息率4.債券的定價(jià)5.零息票收益率曲線的確定6.遠(yuǎn)期利率7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議8.久期9.凸性10.利率的期限結(jié)構(gòu)第2頁(yè)國(guó)債利率（國(guó)債利率（treasury rates）投資者在短期國(guó)債和長(zhǎng)期國(guó)債中獲得的利率。一般來(lái)說(shuō)，政府對(duì)本國(guó)債務(wù)不會(huì)出現(xiàn)違約現(xiàn)象，因此國(guó)債利率被認(rèn)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。1.利率的種類第3頁(yè)倫敦同業(yè)拆借利率（倫敦同業(yè)拆借利率（London interbank offer rate）一家特定銀行向同業(yè)銀行貸出大額資金時(shí)所收取的利率。按照衍生品市場(chǎng)的實(shí)踐慣例，通常將LIBOR看作無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。1.利率的種類第4頁(yè)回購(gòu)利率回購(gòu)利率（repo rate

2、）回購(gòu)協(xié)議回購(gòu)協(xié)議（repurchase agreement）持有證券的投資者同意將證券出售給另一方，之后再以稍高的價(jià)格將這些證券買回的協(xié)議?；刭?gòu)利率回購(gòu)利率在回購(gòu)協(xié)議中，對(duì)方公司因證券持有者向其出售和購(gòu)回證券所得的利息收益。1.利率的種類第5頁(yè)一個(gè)銀行一年定期存款利率為每年10%，一儲(chǔ)戶向該銀行存入1000元，若利率每年計(jì)一次計(jì)算，則一年后該儲(chǔ)戶會(huì)得到：若利率按每半年計(jì)一次復(fù)利計(jì)算，則該儲(chǔ)戶會(huì)得到：2.利率的度量1100) 1 . 01 (1000 5 .110205. 0105. 011000第6頁(yè)假設(shè)將資金A以年利率R投資了n年，如果利率每年計(jì)m次復(fù)利，則以上投資的終值為：2.利率的度量

3、mnmRA)1 ( 第7頁(yè)連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利（continuous compounding）當(dāng)復(fù)利頻率m趨于無(wú)窮大時(shí)，就稱為連續(xù)復(fù)利。在連續(xù)復(fù)利的情況下，資金A以年利率R投資n年后，將達(dá)到：2.利率的度量RnmnnAemRAlim)1 (第8頁(yè)例例4.1 考慮一個(gè)年息為10%的利率，半年計(jì)一次息。求與該年利率等價(jià)的連續(xù)復(fù)利利率。解：設(shè) 為連續(xù)復(fù)利利率，由將代入上式，解得2.利率的度量mnmnRmRec 11 . 0, 2mRm09758. 0cRcR第9頁(yè)例例4.2 假設(shè)債權(quán)人給出的貸款利息為年息8%，連續(xù)復(fù)利計(jì)息。而實(shí)際上利息是一季度支付一次，求每季度計(jì)息的年利率。解：設(shè)每季度計(jì)一次息的等價(jià)年

4、利率為，由將 代入上式，得2.利率的度量mRmnmnRmRec)1 ( 08.0,4cRm0808. 0mR第10頁(yè)N年期零期息票利率年期零期息票利率（zero-coupon interest rate）從現(xiàn)在開(kāi)始持續(xù)n年的一筆投資中獲得的利息率。 注：所有利息和本金是n年期限結(jié)束之時(shí)收到，中間不發(fā)生任何支付。3.零息率第11頁(yè)為計(jì)算出債券的理論價(jià)格，我們將收到的現(xiàn)金流用合適的零息率（zero-rate）進(jìn)行貼現(xiàn)并求和。假設(shè)一個(gè)2年期國(guó)債的本金為100元，息票率為每年6%，每半年支付一次利息。連續(xù)復(fù)利的國(guó)債零息率如表4.1，則債券的理論價(jià)格為：4.債券的定價(jià)39.981033330 . 206

5、8. 05 . 1064. 00 . 1058. 05 . 005. 0eeee第12頁(yè)表表4.1 國(guó)債零息率4.債券的定價(jià)第13頁(yè)債券收益率債券收益率（bond yield）使得債券的現(xiàn)金流量的折現(xiàn)之和與市場(chǎng)相等的貼現(xiàn)率。假設(shè)我們?cè)谏蟼€(gè)例子中的債券理論價(jià)格98.39等于它的市場(chǎng)價(jià)格，如用y表示債券的收益率，則有：從而得出4.債券的定價(jià)39.9833330 . 25 . 10 . 15 . 0yyyyeeee%76. 6y第14頁(yè)票面收益率票面收益率（par yield）使債券價(jià)格等于其面值的息票率。假定上例中2年期債券的息票率為每年C，則可得如下方程：解得4.債券的定價(jià)100)2100(22

6、20 . 2068. 05 . 1064. 00 . 1058. 05 . 005. 0ecececec%87. 6c第15頁(yè)一般地，假設(shè)債券到期時(shí)1元的現(xiàn)值為d，每次付息日支付的1元年金現(xiàn)值為A，m為每年的利息支付次數(shù)，則票面收益率c為：4.債券的定價(jià)Amdc100100第16頁(yè)零息率曲線零息率曲線（zero curve）表示零息收益率與期限之間關(guān)系的曲線。通常用息票剝離方法（bootstrap method）從長(zhǎng)期國(guó)債的價(jià)格得出零息收益率。具體方法，考慮表4.2中5個(gè)債券價(jià)格的數(shù)據(jù)。5.零息票收益率曲線的確定第17頁(yè)表表4.2 息票剝離方法的數(shù)據(jù)5.零息票收益率曲線的確定第18頁(yè)3個(gè)月期短

7、期債券市場(chǎng)價(jià)格為97.5，3個(gè)月的收益為2.5。每季度計(jì)一次復(fù)利的3個(gè)月期的零息率為連續(xù)復(fù)利的3個(gè)月期零息率為5.零息票收益率曲線的確定256.105 .97/5 . 2410127. 0410256. 01ln4第19頁(yè)類似的，連續(xù)復(fù)利的6個(gè)月和1年期的零息率分別為0.10469和0.10536。為計(jì)算出1.5年期的零息率，我們求解方程 得類似的，2年期的零息率為0.108085.零息票收益率曲線的確定96104445 . 10 . 110536. 05 . 010469. 0Reee10681. 0R第20頁(yè)圖圖4.1 息票剝離方法給出的零息率曲線5.零息票收益率曲線的確定年利率（%）期限

8、（年）第21頁(yè)遠(yuǎn)期利率遠(yuǎn)期利率（forward interest rate）由當(dāng)期零息率隱含的在將來(lái)開(kāi)始的一定期限的利率。為說(shuō)明遠(yuǎn)期利率的計(jì)算，從表4.3可知，1年期和2年期的零息率分別為3.0%和4.0%，則第2年的遠(yuǎn)期利率可由方程： 得 其它數(shù)據(jù)可用類似方法求出。6.遠(yuǎn)期利率204. 01103. 0 eeeR05. 0R第22頁(yè)表表4.3 遠(yuǎn)期利率的計(jì)算6.遠(yuǎn)期利率第23頁(yè)6.遠(yuǎn)期利率q 一般來(lái)說(shuō)，如果 是 年期的零息率， 是 年期的零息率，那么， 至 期間的遠(yuǎn)期利率 為：qT 時(shí)刻的瞬態(tài)遠(yuǎn)期利率（ instantaneous forward rate ）為：1R1T2R2T1T2TFR

9、121122TTTRTRRFTRTRRF第24頁(yè)遠(yuǎn)期利率協(xié)議（forward rate agreement，F(xiàn)RA）是一個(gè)場(chǎng)外合約，參與者同意在指定的未來(lái)的某個(gè)時(shí)期按照某個(gè)確定的利率借入或貸出某個(gè)確定本金。7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議第25頁(yè)7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議q 考慮某個(gè)遠(yuǎn)期協(xié)議，公司X同意在 和 期限之間把資金給公司Y。定義如下的變量：遠(yuǎn)期利率協(xié)議的利率：現(xiàn)在計(jì)算的 期間的遠(yuǎn)期LIBOR：在 時(shí)刻觀察到的 期間的市場(chǎng)的實(shí)際LIBOR的值：協(xié)議的本金1T2TKRFR21TTMR1T21TTL第26頁(yè)在時(shí)刻，協(xié)議給公司X的現(xiàn)金流為：與此對(duì)應(yīng)的時(shí)刻公司Y的現(xiàn)金流為：7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議2T)(12TTRRLMK2T

10、)(12TTRRLKM第27頁(yè)例例4.3 假設(shè)一家公司簽訂一個(gè)FRA，3年后開(kāi)始的3個(gè)月期間內(nèi)，公司將以4%固定利率 獲得100萬(wàn)美元本金的利息。到期后，市場(chǎng)對(duì)應(yīng)于3個(gè)月期限的LIBOR為4.5%。那么，在3.25年末發(fā)生的貸方的現(xiàn)金流將為：解：7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議125025. 0)045. 004. 0(1000000第28頁(yè)FRA的估值收取 的FRA協(xié)議的價(jià)值為：支付 的FRA協(xié)議的價(jià)值為：7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議KR22)(12TRFKFRAeTTRRLV22)(12TRKFFRAeTTRRLVKR第29頁(yè)例例4.4 假設(shè)即期和遠(yuǎn)期LIBOR數(shù)據(jù)如表4.3?？紤]一個(gè)FRA，協(xié)議期間從第1年末到第2

11、年末，我們將收取6%利率，每年復(fù)利一次，本金為100萬(wàn)美元 。在表4.3的情況下，1年末1年遠(yuǎn)期利率為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的5%或年復(fù)利的5.127%，則FRA的價(jià)值為：解：7.遠(yuǎn)期利率協(xié)議8058)05127. 006. 0(1000000204. 0e第30頁(yè)久期久期（duration）債券持有者收到現(xiàn)金付款時(shí)平均需要等待的時(shí)間。假定債券持有者在 時(shí)刻收到的現(xiàn)金為 ，（ ）債券的價(jià)格 和連續(xù)復(fù)利收益率y 之間的關(guān)系為：8.久期iticni 1iytniiecB1第31頁(yè)債券久期債券久期 的定義為： 注：久期是付款時(shí)間的加權(quán)平均值，對(duì)應(yīng) 時(shí)刻的權(quán)重等于該時(shí)刻現(xiàn)金流的現(xiàn)值與債券價(jià)格的比率。8.久期B

12、ectDiytinii1it第32頁(yè)當(dāng)收益率有微小變動(dòng) 時(shí)，則有如下等式成立：8.久期yiytniiietcyydydBB1yBD第33頁(yè)修正久期修正久期（modified duration）當(dāng)y為一年計(jì)m次復(fù)利的利率，則有：定義變量 ：為修正久期。8.久期myyBDB/1 DmyDD/1第34頁(yè)凸性（凸性（convexity）久期關(guān)系式只適用于收益率發(fā)生微小變化的情況。當(dāng)收益率發(fā)生較大變化時(shí)，則由得：9.凸性BetdyBdBCniytii122212221dyBdydydBB221yCyDBB第35頁(yè)圖4.2表明了具有相同久期的兩個(gè)證券組合的價(jià)值變化的百分?jǐn)?shù)與收益變化之間的關(guān)系。在原點(diǎn)處，當(dāng)收益率變化很小時(shí)，兩個(gè)組合價(jià)值變化的百分?jǐn)?shù)相同；當(dāng)收益率變化較大時(shí)，兩個(gè)組合價(jià)值變化的百分?jǐn)?shù)明顯不同。9.凸性第36頁(yè)9.凸性圖圖4.2 相同久期的兩個(gè)證券組合第37頁(yè)預(yù)期理論預(yù)期理論（expectation theory）該理論認(rèn)為長(zhǎng)期利率應(yīng)該反映預(yù)期未來(lái)的短期利率，更確切的說(shuō)，它認(rèn)為對(duì)應(yīng)某一確定時(shí)期的遠(yuǎn)期利率應(yīng)該等于預(yù)期未來(lái)的的那個(gè)期限的零息率。10.利率的期限結(jié)構(gòu)第38頁(yè)市場(chǎng)分割理論市場(chǎng)分割理論（market segment