直線傾斜角、斜率、斜率公式

1、直線傾斜角、斜率、斜率公式-直線方程的各種表示方法承接上次課：傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角 關(guān)鍵：直線向上方向；X軸的正方向；小 于平角的正角.注意:當(dāng)直線與X軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的 傾斜角為0度.斜率：一條直線的傾斜角（-）的正切值叫做這條直線的斜率.記為k tan .當(dāng) （0, ）時(shí)，k 0, k隨 的增大而增大，k也隨 的增大而增大；2當(dāng)（一，）時(shí)，k 0, k隨 的增大而增大，但k隨 的增大而減?。?當(dāng) 0時(shí)，k 0;當(dāng)一時(shí)，斜率不存在。2斜率公式：已知直線上兩點(diǎn)P（Xi,yJ,P2（X2,y2）（Xi X2

2、）的直線 的斜率公式：k建丄.X2 X例題1：如圖，圖中的直線li、l2、l3、的斜率分別為ki, k 2 ,k 3,則（D ）A. k i k 2 k 3 B. k3 k i k 2 C. k 3k2 k iD. ki k 3 k 2例題2:若經(jīng)過P (-2, m和Q(m 4)的直 線的斜率為1,則m= ( A )A、1B 、4 C 、或 3 D 、1或4例題 3:若 A (3, 2), B (-9, 4), C (x, 0) 三點(diǎn)共線，則x= ( B )A、1B 、一 1 C 、0 D 、7例題4:直線經(jīng)過原點(diǎn)和(一1, 1),則它的傾 斜角為(B )A 45 B 、135 C 、45 或

3、 135 D 、45例題5：若經(jīng)過點(diǎn)P ( 1 a , 1+ a )和Q( 3, 2a ) 的直線的傾斜角為鈍角，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(-2,1)學(xué)習(xí)小結(jié):1任何一條直線都有唯一確定的傾斜角，直線斜 角的范圍是 0,180 ).2. 直線斜率的求法：利用傾斜角的正切來求； 利用直線上兩點(diǎn) Pi(x”yi),P2(x2,y2) 的坐標(biāo)來求；當(dāng)直 線的傾斜角 90時(shí)，直線的斜率是不存在的-3 直線傾斜角、斜率、斜率公式三者之間的關(guān) 系：直線 的傾 斜角直線的 斜率k直線的 斜率公 式疋義k tanky2y1x2x1取 值 范 圍0,180 )(,)(X1X2)題型一：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率例題

4、1:經(jīng)過下列兩點(diǎn)直線的斜率是否存在，若 存在，求其斜率(1)(1,1) , (-1,-2)(2) (1,-1), (-2,4)(3) (-2,-3), (-2,3)(1)k5 k 3（3）不存在題型二：求直線的傾斜角例題2:設(shè)直線L過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為 ， 如果將L繞坐標(biāo)遠(yuǎn)點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，得到 直線Li那么Li的傾斜角為（D ）A.45B. 135C. 135D. 當(dāng) 0,3 ）時(shí)，為45 ;當(dāng) -，），為 13544例題3:變式：已知直線Li的傾斜角為，則Li 關(guān)于x軸對(duì)稱的直線Li的傾斜角=當(dāng)（0,），當(dāng) 0，0題型三：斜率與傾斜角關(guān)系 例題4:當(dāng)斜率k的范圍如下時(shí)，求傾斜角的

5、(1)k1(2)k1(3)3 k(1)0，2)34,)(2)【0盲】(2)(3),匚(23)33變化范圍:.3題型四：利用斜率判定三點(diǎn)共線例題 5：已知三點(diǎn) A(a,2)，B(5,1)，C(-4,2a)在同一條直線上，求c a的值。a2 或 a一2利用斜率相等即可即AB的斜率=BC的斜率 用兩點(diǎn)式計(jì)算斜率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5) (5-a)(2a-1)=9-2a2+11a-5=92a2-11a+14=0(2a-7)(a-2)=0 a=7/2 或 a=2題型五：平行于垂直的判定 例題 6:已知 A（ 1, -1），B（2,2），C（3,0） 點(diǎn)，求點(diǎn)設(shè)D點(diǎn)坐坐標(biāo),使直線

6、cd ab,且CB/AD.kAB 3,kCD 兀,kAB kCD 1HkBC2, kADkBC得372x yD(0,1)題型六：綜合應(yīng)用例題 7:變式：若三點(diǎn) A(3,1 ) ,B(-2,k), C(8,1 )能夠成三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：能夠成三角形則不能共線AC垂直y軸是y=l則k工1例題&已知兩點(diǎn)A (-3,4 ), B (3,2 ),過點(diǎn)P (2,-1 )的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，求直線L的斜率k的取值范圍(2f-l)的直線JL與轉(zhuǎn)乩D有公共點(diǎn)二直囲的無(wú)尊次円咸卜円r申的斜率為丄4 =z=-l r勁的斜率為土=2 3-) M5 3- 1二貢線1的斜率池；或込4故答棄為：凰3或

7、Z -1 .例題1.下列命題正確的個(gè)數(shù)是(C )1)若a是直線L的傾斜角，貝y 0 a 180 2 )若k 是直線的斜率，則k R3)任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率4 )任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角A. 1B.2C.3D.4例題2.直線L過(a,b), (b,a)兩點(diǎn)，其中a b,ab 0 則 (D )A.L與x軸垂直 B. L與y軸垂直C.L 過原點(diǎn)和一，三象限D(zhuǎn)丄的傾斜角為135例題3.已知點(diǎn)a(i,i M),b( 1,1),直線L的傾斜角是直 線AB的傾斜角的一半，則L的斜率為(B)A.1BilcV3D. 不3存在例題4.直線L經(jīng)過二、三、四象限，L的傾斜角 為a,斜率為k，貝

8、V ( B )A.ksi na 0B.kcosa 0C.ksi na 0D.k cosa 0例題 5.若 A(1 a, 5),B(a,2a),C(0, a)三點(diǎn)共線，則 a= 2例題6.已知四邊形ABCD勺頂點(diǎn)為A(m,n),B(6,1),C(3,3),D(2,5),求 m和 n 的值，使四邊形 ABCD 為直角梯形。A(86,25),A(,9)13 1355解：有兩種情況1、AB/CD 角 A=90=t D(5-3) / (2-3 ) =(n-1)/(m-6) 2m+n=13 (n-5)/(m-2)=1/2 m=18/5n=29/52、AD/BC 角 A=90=角 B(n-5)/(m-2)=

9、(3-1)/(3-6)=-2/32m+3 n=19(n -1)/(m-6)=3/23m-2n=16m=86/13n=25/13兩直線平行與垂直的判定：平行：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行， 那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相 等，則它們平行，即l1/l2 k,=k2-垂直：兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直， 則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜 率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直k 丄即卩 li I2k2 ki k2 1學(xué)習(xí)小結(jié)：1 . I,l2 k, k2或1,2的斜率都不存在且不重合2.1,12 k,g21或k, 0且I2的斜率不存在，或k2 0且I,的斜率不存在直線的點(diǎn)斜

10、式方程：直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線I經(jīng)過點(diǎn)P(xo,yo)，且斜率為k，則方程y yo k(x溝)為直線的點(diǎn)斜式方程直線的斜截式方程：直線i與y軸交點(diǎn)(o，b)的縱坐標(biāo) b叫做直線l在y軸上的截距直線y kx b叫做直線 的斜截式方程例題1、過點(diǎn)(5，2)且在兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是 _2x-5y=0 或 y-2=-(x-5)_ 例題2、經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距9的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線 的方程。直線的兩點(diǎn)式方程:直線的兩點(diǎn)式方程：已知直線上兩點(diǎn)P(Xi,X2),P2(X2,y2)且 (Xi X2,yi y2),則通過這兩點(diǎn)的直線方程為y 射y2yiXX2

11、XiXi(XiX2,yiy2),由于這個(gè)直線方程由兩點(diǎn)確定，所以我們把它叫直線的兩點(diǎn)式方程 直線的截距式方程：已知直線I與x軸的交點(diǎn)為 A(a,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0，b)，其中a 0,b 0 ,則直線I的 方程-y 1叫做直線的截距式方程.a b3 例題1、已知直線i經(jīng)過兩點(diǎn)y 2 2(x 1)P(1,2),P2(3,5),求直線I的方程.例題2、已知兩點(diǎn)卩1(兀以2),卩2億2)其中(X1 X2, y1 y2), 求 y y y2 y1 (x X)通過這兩點(diǎn)的直線方程。例題3、已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn) A(-5，0)，B( 3, -3)，C( 0，2)，求BC邊所在直線 的方程，以及該邊上

12、中線所在直線的方程。解： 5x 3y 60,x 13y 5 0直線BC:(y + 3)/(y - 2) = (x 3)/(x 0)即 5x+ 3y 6= 0直線BC的中點(diǎn)坐標(biāo)：x = (3 + 0)/2 = 3/2y = ( 3+ 2)/2 = 1/2即點(diǎn)(3/2, 1/2)直線BC邊中線所在的直線方程：(y 0)/(y + 1/2) = (x + 5)/(x 3/2)即 x + 13y + 5= 0學(xué)習(xí)小結(jié):1.直線方程的各種形式總結(jié)為如下表格:直 線已知條直線使用范圍名 稱件方程1兀廠口 i Ls占 八、 斜 式R(x1,y1),ky y1k(X 兒)k存在斜 截 式k, by kX bk

13、存在兩 占 八、 式(X1, y1)(X2, y2)yy1xX1y2y1X2xXX2y1y2截 距 式a, b仝y 1 a ba 0b 02.中點(diǎn)坐 標(biāo)公式:已知A(x1,y1),B(x2,y2),貝卩AB的中點(diǎn)M (x,y),則X2 xiy2yiX hy 丁例題1、過點(diǎn)P(2，1)作直線1交X,y正半軸于AB 兩點(diǎn)，當(dāng)|PA|PB|取到最小值時(shí)，求直線1的方程.(2: y-l=k(x-2 ) f 廿別令戸。f x=0 . SA(2-i r 0) , B(0 , l-2k), 則|PA卜|PB|= (4+4k2)(14) = &+4(k2 + )4 F)k2 k2當(dāng)且僅當(dāng)以f 9k=lM ,

14、|PA卜|PR|取最小值r又vkcO ,/.k-1 ,逮時(shí)I的方程為x+y-a=O .直線的一般式方程:直線的一般式方程 方程,C簡(jiǎn)、/不同關(guān)為0）線次般程例題1、在方程Ax By C 0中,A? B, C為何值時(shí), 方程表示的直線（1）平行于X軸；（2）平行于y軸；（3）與x軸重合；（4）與y重合B=0 且 AM 0B=0 且 AM 0且|：0)A=0 且 BH 0 且 CM 0 (2) 且 C(3) A=0 且 BM 0 且 C=0 (4) 例題2、根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且 化成一般式：斜率是2，經(jīng)過點(diǎn)A(8, 2)；經(jīng)過點(diǎn)B(4,2)，平行于x軸； 在x軸和y軸上的截距分別是|

15、,3 ；經(jīng)過兩點(diǎn) Pi(3, 2),Pi(5, 4).解：(1) y |x 2；x 2y 4 0(2) y 2;y 2 0(3) 2x 3y 1;2x y 3 0(4) 山 3 ； x y 1 0v 7 2 2兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)： 已知方程組 A ix + By + C=0(1)Ax + B2y + G= 0(2)當(dāng)A, A, Bi, B2全不為零時(shí)，方程組的解的各 種情況分別對(duì)應(yīng)的兩條直線的位置關(guān)系 解：在直線上另(1)X B2( 2)X 8得(AB2 AB) x=BC2B2C1、當(dāng)AB AB疋0時(shí)，方程組有唯一解，相交： 且當(dāng)aa bb2時(shí)，兩直線垂直2、當(dāng)AB AB=0, BC2 B2C

16、工0時(shí)，方程組無(wú) 解，平行3、當(dāng)AB AB=0, BG BC=0時(shí)，方程組有無(wú) 窮多解，重合例題1、判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相 交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：(1) l i: x y = 0，12: 3x + 3y 10 =0(2) 11： 3x y+ 4= 0，1 2： 6x 2y= 0(3) 11: 3x+ 4y 5= 0，1 2： 6x + 8y 10= 0解：(1)相交交點(diǎn)坐標(biāo)|,| ；3 3(2) 平行，無(wú)交點(diǎn)(3) 同一條直線，無(wú)窮多解例題2、求經(jīng)過兩條直線x+2y 仁0和2x y 7=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x+3y 5=0的直線方 程解：解法一：解方程組2x y 70得 x 3x 2

17、y 10 y 1這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3, -1 ）又直線x+2y 5=0的斜率是1/3所求直線的斜率是3,所求直線方程為y+1=3（x 3） 即 卩 3x y 10=0解法二：所求直線在直線系2x y 7+入（x+2y 1） =0 中經(jīng)整理，可得（2+入）x+（2入1） y 入7=03解得入=1/7因此，所求直線方2 1程為 3x y 10=0兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)之間距離公式：已知平面上兩點(diǎn)沿孑腺化小）, 貝y RP2 J（X2 xj2 對(duì)2 yJ2 .特殊地：P（x,y）與原點(diǎn)的距離為op .點(diǎn)到直線的距離:已知點(diǎn)Pgy。）和直線l：Ax By C 0 , 則點(diǎn)P到直線l的距離為：d Av

18、注意：點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外 一點(diǎn)的連線的最短距離；在運(yùn)用公式時(shí)，直線的方程要先化為一般式 平行線間的距離：已知兩條平行線直線l1 Ax By C10 ,|2:AX By C2 0，則Il與l2的距離為d黔注意：應(yīng)用此公式應(yīng)注意如下兩點(diǎn): 方程化為一般式方程；(1)把直線使x,y的系數(shù)相等.例題1、已知點(diǎn)P(X, 點(diǎn)P到直線沖勺距離.例題2、已知點(diǎn)P(xo, 點(diǎn)P到直線的距離.yo），直線 I : Ax+C=Q 求X。（*例題3、已知點(diǎn)P(xo, 求點(diǎn)P到直線的距離.|Ax。By。dyo），直線 I : Ax+By+C=0yo），直線 I : By+C=Q 求 yo （ CB）l : 3x 4y 250245例題 4 、點(diǎn) P(3