數(shù)學(xué)建模--短程賽跑中運動員速度變化情況

1、短程賽跑中運動員速度變化情況摘 要本文就討論“短程賽跑過程中速度變化情況”的問題參考了Keller的賽跑模型建立了動態(tài)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型.在賽跑路程確定的前提下，通過利用最優(yōu)化原 理，建立動態(tài)規(guī)劃模型對運動員在短程賽跑過程中速度與時間的關(guān)系進行了討 論，得到在賽跑過程中速度受到自身生理條件的限制、內(nèi)外阻力等因素的影響， 并假定沖力 滿足微分方程關(guān)系式，內(nèi)外阻力I與速度成正比針對問題一，根據(jù)已知條件求解微分方程，并根據(jù)牛頓運動第二定理得出速度b關(guān) 于時間t的表達式為v(1);路程宮滿足的表達式為ki)；再通過MATLAB對問題二表 格中的數(shù)據(jù)進行非線性擬合，求解出運動員在賽跑過程中達到最大速度的時間為

2、 最后由已求得的數(shù)據(jù)得出速度 關(guān)于時間|的最終表達式 詢$，并利用MATLAB的plot函數(shù)作出了 . I的示意圖，發(fā)現(xiàn)在賽程的進行一段時間后，運動 員的速度能達到極限也就是函數(shù)的極大值處，這段時間過后，由于能量的來源受到限制，所以運動員的速度會越來越慢，較符合實際情況；針對問題二，將表格中的數(shù)據(jù)逐個代入到速度關(guān)于時間的最終表達式.中，即可算出速度-的理論值，再將理論值與實際值進行比較、總結(jié)，得到最終表格， 并發(fā)現(xiàn)理論值與實際值的誤差很小，說明得出的理論表達式較為準(zhǔn)確.關(guān)鍵詞跑步速度阻力系數(shù)最大沖力沖力限制系數(shù)非線性曲線擬合問題重述經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)在短跑比賽中，運動員由于生理條件的限制在達到一定的高

3、速度后不 可能持續(xù)發(fā)揮自己的最大沖力假設(shè)運動員克服生理限制后能發(fā)揮的沖力滿足 監(jiān)二抵是沖力限制系數(shù)，f(U) - F為最大沖力問題：(1)試建立模型求出短跑比賽時速度 和距離-的表達式，及達到最高速度的時間，作出.I的示意圖.(2)某屆奧運會男子百米決賽前6名在比賽中達到距離、處所用的時間和當(dāng)時的速度如下表所示(平均值)：s(m)05152535455565758595t(s)0v(m/s)0試從這組數(shù)據(jù)算出的理論值與實際數(shù)據(jù)比較.你對這個模型有什么解釋和評價問題分析運動員在賽跑過程中速度由于受到自身生理條件的限制、內(nèi)外阻力等因素的影 響，會隨著時間的變化而變化在距離一定的前提下，運動員身體所

4、能提供的沖 力越大，受到的內(nèi)外阻力越小，則賽跑過程中所能達到的最大速度越大， 成績越 好沖力的能量來源主要是呼吸作用產(chǎn)生的能量以及人體儲存的能量，前者可以假設(shè)保持一定，而后者會隨著時間的增加而不斷消耗， 因此在賽跑時運動員的沖 力會不斷減小，同時內(nèi)外阻力會隨著速度的增加而增加，由此可以得出在賽跑過 程中的速度隨著時間的變化先增大，在達到最大速度之后則會有所減少在討論 問題過程中，認(rèn)為阻力與速度成正比，運動員的質(zhì)量為單位質(zhì)量針對問題一，由于運動員克服生理限制后能發(fā)揮的沖力滿足的微分方程已知，可 知等式兩邊關(guān)于自變量L積分求出沖力板1)關(guān)于時間t|的關(guān)系式；運動員在賽跑過程 中的內(nèi)外阻力h滿足h

5、= ;貝U根據(jù)牛頓第二定理 尸臺=加=刑號,即可求出運動員 比賽時速度|v關(guān)于時間t的表達式尿)；再根據(jù)t =扌，對關(guān)于I積分，即得距離s關(guān)于時間的表達式廠|;由于得到的表達式.是關(guān)于自變量 及參數(shù)的函數(shù)，并且運動員不一定就在 問題二表格中的某一點恰好達到速度最大值，故要求出達到最高速度的時間 就要通過問題二中的數(shù)據(jù)利用 MATLAB進行非線性擬合，得出擬合函數(shù)再進行求導(dǎo)計算，同時求解出擬合出的參數(shù)（估計值，求解參數(shù)rkF精確值時要作為迭代初值）；要作出.丨的示意圖，就要根據(jù)#迸寸得出I關(guān)于參數(shù)后的表達式，并將在進 行擬合時求得的達到時的時刻/和路程.，同時帶入到表達式中，再 利用MATLAB

6、的fsolve函數(shù)求解該三元方程組，得出參數(shù)|.：上弓的實際值（迭代初 值即為:.），得到，的確定表達式，最后利用 MATLAB的繪圖功能進行繪圖. 針對問題二，由于在問題一中已經(jīng)通過討論得到了囚的確定表達式，分別帶入 表格中的數(shù)據(jù)，得到速度v的理論值，再與表格中的數(shù)據(jù)進行比較，最后對模型 進行合理的解釋與評價.模型假設(shè)賽跑時體內(nèi)外的阻力與速度成正比，比例系數(shù)為彳,運動員能發(fā)揮的最大沖力為 卜初速度為；運動員的質(zhì)量為單位質(zhì)量，即 血=1；在1=0時運動員達到最大沖力，且在跑步過程中沖力大小隨著時間遞減符號表示|運動員奔跑時間/運動員達到最大速度的時間&運動員奔跑過程中的沖力卜運動員奔跑過程中的

7、最大沖力! -i進行非線性擬合時得出的最大沖力估計值t：.運動員奔跑過程中的加速度b運動員奔跑過程中的跑步速度運動員奔跑過程中能達到的最大速度S運動員奔跑過程中的跑步距離卜運動員達到最大速度時的路程h運動員奔跑過程中受到的內(nèi)外阻力k沖力限制系數(shù)乍進行非線性擬合時得出的沖力限制系數(shù)估計值Cl運動員質(zhì)量工奔跑過程中體內(nèi)外阻力的比例系數(shù)的倒數(shù)F進行非線性擬合時得出的體內(nèi)外阻力的比例系數(shù)的倒數(shù)估計值運動員奔跑過程中速度關(guān)于時間的表達式運動員奔跑過程中速度關(guān)于時間的表達式f *運動員達到最大速度時時間關(guān)于參數(shù)的表達式模型建立與求解在問題一中，可建立微分方程模型，通過對已知的亂1滿足的微分方程進行求解，

8、同時利用牛頓運動第二定理對建立的微分方程進行兩次積分，即可得出短跑比賽時速度.丨和距離；I的表達式；再通過MATLAB軟件對問題二表格中數(shù)據(jù)進行非 線性擬合，求出擬合蛀1）曲線對應(yīng)的極大值點，即為賽跑過程中速度達到最大值 時對應(yīng)的時間點；最后通過 MATLAB對參數(shù)kkT的實際值進行求解，得出M*）的 最終表達式（不含參數(shù)），再利用 MATLAB中plot函數(shù)即可得出丨示意圖（見圖 二）；在問題二中，利用問題一中得出的的最終表達式，將表格中的時間的數(shù)據(jù)代 入，即得到速度v的理論值，再與實際值進行比較，總結(jié)成表格（見表格二）問題一模型建立與求解可將問題一分成三部分逐個求解：建立微分方程模型并求解

9、得出速度.1和距離 的表達式；通過MATLAB進行數(shù)據(jù)的非線性擬合，得出達到最高速度的時間;求解出速度.I的最終表達式(不含參數(shù))，并利用 的示意圖.求短跑比賽時速度v(t)和距離s(t)的表達式 由條件可知fit) k對等式兩邊關(guān)于自變量|積分，得MATLAB畫圖函數(shù)得出函數(shù)no-(-為任意常數(shù)) 帶入初值條件 WT，解出任意常數(shù)卜丄得I Zf(l) = Fe k根據(jù)牛頓運動第二定理八 心 一.，得ni一 = f - lidl將卜m擁，h ，|帶入，得dv V ydt t對等式兩邊關(guān)于自變量I積分，得叩)=戀畫(為任意常數(shù))帶入初值條件,解出任意常數(shù)闊，得 v(l) = -(e A -eT)

10、k-T由于匸舟，對等式兩邊關(guān)于自變量積分，得|/-(為任意常數(shù))亠Te丿帶入初值條件，解出任意常數(shù)，得求解達到最高速度的時間 根據(jù)問題二中的表格1 （如下）s(m)05152535455565758595t(s)0v(m/s)0表格1某運動員在比賽過程中數(shù)據(jù)記錄可利用MATLAB對數(shù)據(jù)及IJ數(shù)據(jù)分別進行非線性擬合（程序見附錄 1），擬合 圖像如圖1,圖2所示圖1時間與速度的非線性擬合函數(shù)圖圖2時間與路程的非線性擬合函數(shù)圖 得出參數(shù)估計值r =k= 47.9128忖=71541再利用導(dǎo)數(shù)求出擬合函數(shù)的極大值點(程序見附錄2)I =6.2645代入求得對應(yīng)的：?：得s =56.958i11.619

11、2與表格1中數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)誤差很小，即擬合的精確度較高 作出v(t)的示意圖由前面的討論知速度|v關(guān)于時間t的表達式r 7- fFkr v(t) = -(e A -eT)K-T路程關(guān)于時間的表達式并且運動員在奔跑過程中達到最大速度時；的值為=6.264s =56.958?|畑二 11.6192對，關(guān)于自變量 求一階導(dǎo)數(shù)，得, 一尸衛(wèi) 空p(0 = ;(xek -keT)由=。得出達到速度最大值點時時間t|的關(guān)系式* zk k將八匚偏代入到表達式(0, s(t),廠中，利用MATLAB的fsolve函數(shù)求解該三元方程組(迭代初值即為 譏工，程序見附錄3),得出參數(shù)匸丄F的實際值易見參數(shù)lU的實際值

12、與估計值誤差很小，即計算較精確.將參數(shù) W的實際值代入到關(guān)系式中，得出最終速度、關(guān)于時間的表達式v(t) - l3J75(e4791 -嚴(yán))再利用MATLAB的plot函數(shù)即可得出卜討的示意圖(程序見附錄4),如圖3所示圖3速度關(guān)于時間的函數(shù)圖由圖形可知道在賽程的進行一段時間后， 運動員的速度能達到極限也就是函數(shù)的 極大值處，這段時間過后，由于能量的來源受到限制，所以運動員的速度會越來 越慢，因此該圖形符合實際情況，同時通過對比發(fā)現(xiàn)得到的的精確圖與擬合圖相似度很高，說明非線性擬合較為成功，計算較為精確 問題二模型建立與求解由問題一的討論過程知，最終速度v關(guān)于時間I的表達式為v(t) - i3J

13、75(e4791 e1S5)分別帶入表格1中的數(shù)據(jù)，求出理論值(程序見附錄 5),得到的對比結(jié)果如表格2t(s)0v(m/s)理論值0v(m/s)實際值0表格2速度v理論值與實際值的比較模型評價見論文第七部分.結(jié)果分析1由于沖力是遞減的，所以即便是短跑，速度也是先增后減的，即在達到最大值 后又有一個減少的階段由 1圖像可知，在賽程進行一段時間后速度逐漸減小, 圖像符合實際2按照本模型得出，.尸一，侶金.鬲計算得出的速度理論值與題中所給實際值吻合度較高，模型建立較符合實際情況.模型評價模型優(yōu)點：模型簡單易行，便于理解，與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系有堅實可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，具有很好的通用性和推廣性；模型參考了

14、Keller的跑步模型建立了動態(tài)優(yōu)化模型，并且對模型中涉及到的眾多 影響因素進行了量化分析，模型穩(wěn)定性高適用性強；利用MATLAB對問題二中數(shù)據(jù)進行了兩次非線性擬合，并分別給出擬合的圖像， 增加了模型的直觀性和準(zhǔn)確性，使模型更加符合實際情況； 在進行數(shù)據(jù)時使用了表格，使得結(jié)果更直觀明了.模型缺點：模型因簡化計算而忽略了人體的質(zhì)量，統(tǒng)一理解為單位質(zhì)量，但是實際生活中由 于運動員的質(zhì)量不盡相同，故在求解模型時得到的結(jié)論也會有所差異；模型在考慮內(nèi)外阻力時假設(shè)阻力丨與速度成正比，但是實際生活中外阻力應(yīng)與速 度的平方成正比；模型中假設(shè)運動員的沖力隨著時間的增加而不斷減小，只在 時得到最大沖力，但是根據(jù)K

15、eller模型理論，在進行短程賽跑過程中，運動員在開始的一段時 間可以保持最大沖力.參考文獻1 姜啟源,數(shù)學(xué)模型(第三版)M，高等教育出版社，2 汪曉銀.數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗M,北京:科學(xué)出版社,20083 動態(tài)優(yōu)化模型，Keller跑步模型(短跑模型)，百度文庫，網(wǎng)址： 附錄1. ( 1) function f=shujunihe(x,t)%建立函數(shù)文件對 v,t進行數(shù)據(jù)擬合f=x(1)*x (2) *x (3)/(x (2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1)end t=0; v=0; x0=; x=lsqcurvefit(shuju ni he,x0,t,v)x =

16、%即為擬合岀參數(shù) ，k,F的值(2) function s=shujunihe2(a,t)%建立函數(shù)文件 s,t進行數(shù)據(jù)擬合s=a(1)*a (2) *a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a (2)-a(2)*exp(-t/a (2) )+a(1)*exp(-t/a(1)end t=0; s=0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95; a0= ;a=lsqcurvefit(shujunihe2,a0,t,s)a =+003 *2. syms t v=x(1)*x(2)*x(3)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1);y=diff(

17、f,t);p= solve(y);%解出擬合的 v-t 函數(shù)的最大值點 v=vpa(p,5)v-t 函數(shù)的最大值t = v=x(1)*x(2)*x(3)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1)%解出擬合的v=syms t s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)*exp(-t/a(2)+a(1)*exp(-t/a(1)s=205727/(22940*exp(225*t)/) - /(8448*exp(11104*t)/) + 884346/60 t=; s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)*exp(-t/a(2)+a(1)*exp(-t/a(1)s =3. function F=feifei(b)%建立函數(shù)文件求解 tao,k,FF(1)=b(1)*b(2)*b(3)/(b(2)-b(1)*(expb(2)-expb(1)F(2)=b(1)*b(2)*b(3)/(b(2)-b(1)*(-b(1)+b(2)-b(2)*expb(2)+b(1)*e