2018年成都市川大附中自主招生數(shù)學(xué)試卷(含解析)

1、2018年成都市川大附中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）第I卷（選擇題，共60 分）、選擇題（本大題共有 12個(gè)小題，每小題 5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)把答案涂在答題卷的相應(yīng)位置）1.如圖，若數(shù)軸上的兩點(diǎn)A B表示的數(shù)分別為a、b，則 |a - b|+|b| 等于（）L5,A亠-2 &-10 a 1/A. aB. a-2bC.D. b - a2.如果 |m+1|+(n - 2018) 2= 0,那么mi的值為（A. - 1B. 1C.2018D.- 20183.由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖如下，那么

2、小正方體個(gè)數(shù)為（B. 6個(gè)左視圖C.D. 8個(gè)4.有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,- 1, 1, 2的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余相同.現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后小李從中任取兩張，將兩張卡片上的數(shù)字之和記為的值為02 qx，則小李得到的x值使分式一一-E-3的概率是（A.C.D. 2 25.已知 a +b = 6ab 且 ab 0，貝U的值為（C.D. 26.將邊長(zhǎng)分別為1、1、2、3、5的正方形依次選取2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)拼成矩形，按下面的規(guī)律依次記作矩形、矩形、矩形、矩形.若繼續(xù)選取適當(dāng)?shù)恼叫纹闯删匦?，那么按此?guī)律，矩形的周長(zhǎng) 應(yīng)該為（）2A. 288B.220C.178D. 1107.

3、若對(duì)所有的實(shí)數(shù) x, x2+ax+a恒為正，貝卩（A. a v 0B. a4C. a v 0 或 a 4D. 0 v av 4432&已知m n是關(guān)于x的一元二次方程 x2-2tx+t 2- 2t+4 = 0的兩實(shí)數(shù)根，則（m+2） （ n+2）的最小值是（）A. 7B. 11C. 12D. 169.如圖，點(diǎn)E、F分別為正方形 ABCD中 AB BC邊的中點(diǎn)，連接 AF、DE相交于點(diǎn) G,連接CQ貝U cos / CGDA.=( )B.C.5V510. 一次函數(shù) y =- kx+4與反比例函數(shù)/ -的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)（-和，y1）、（- 1, y2）、（yr,y3）是函數(shù) 尸卅_9圖象

4、上的三個(gè)點(diǎn)，貝Uy1、y2、y3的大小關(guān)系是（A. y2V y3 y1B. y1 vy2vyC. y3 y1 v y2D. y3 y2 0;當(dāng)x 1時(shí)，y隨x的增大而減?。?2a+b= 0;b2- 4ac0;15如圖，矩形 ABCD四個(gè)頂點(diǎn)均在函數(shù) y =的圖象上，且矩形面積為 2_ ：則xa=JJJ* 0/ */16兩條平行線間的距離公式般地；兩條平行線 丨1： Ax+By+C= 0和丨2： Ax+By+C= 0間的距離公式是d =女口：求：兩條平行 線 x+3y - 4= 0 和 2x+6y - 9 = 0 的距離.解：將兩方程中x,y的系數(shù)化成對(duì)應(yīng)相等的形式,2x+6y - 8= 0和

5、2x+6y - 9= 0，因此，d =兩條平行線I 1： 3x+4y = 10和I 2： 6x+8y - 10= 0的距離是三、解答題（本大題共有5個(gè)大題，共70分請(qǐng)保留必要的步驟和過(guò)程， 寫(xiě)在答題卷的對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置.注 意：寫(xiě)錯(cuò)位置一律不給分）17 （5分）已知x2-4x+1 = 0，求罟普的值.18.（5分）如果求m的值.19. （12分）植樹(shù)節(jié)前夕，某校所有學(xué)生參加植樹(shù)活動(dòng)，要求每人植26棵.活動(dòng)結(jié)束后，校學(xué)生會(huì)就本校學(xué)生的植樹(shù)量進(jìn)行了調(diào)查.經(jīng)過(guò)對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的分析，得到如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)圖（1）求該校共有多少名學(xué)生;(2) 將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3) 在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，

6、計(jì)算出“ 3棵”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);(4) 在這次調(diào)查中，眾數(shù)和中位數(shù)分別為多少？(5) 從該校中任選一名學(xué)生，其植樹(shù)量為“6棵”的概率是多少？20. (15分)如圖，在矩形 ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿 EC對(duì)折矩形ABCD使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC連接EC連結(jié)AP并延長(zhǎng)AP交CD于F點(diǎn)，連接BP,交CE于點(diǎn)H(1)若/ PBA / PBC= 1 : 2，判斷 PBC的形狀并說(shuō)明；21. (15分)如圖，BC是O O的直徑，A是O O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C作O O的切線，交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,取CD 的中點(diǎn)E, AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P.(1)求證：AP是O O的切線；

7、22. （18分）如圖，拋物線y =x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B（ 2, 0），交y軸于點(diǎn)C（ 0,-二）.直2線y= mxW過(guò)點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)N,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是 D,點(diǎn)P是直線BD下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn) （不2與點(diǎn)B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線 BD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DMLy軸于點(diǎn)M.(1)(2)求拋物線y = x2+bx+c的表達(dá)式及點(diǎn) D的坐標(biāo)；若四邊形PEMN是平行四邊形？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)過(guò)點(diǎn)P作PF丄BD于點(diǎn)卩，設(shè)厶PEF的周長(zhǎng)為C,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，求C與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出C的最大值.參考答案與試題解析1. 【解答】解：由數(shù)軸可知：-2

8、v bv- 1 v Ov av 1, a - b 0, bv 0,原式=a- b- b = a- 2b,故選：B.2. 解答】解：由題意得，m+仁0, n-2018= 0,解得 m=- 1, n= 2018,所以，m=（ -1）2018= 1.故選：B.（其中數(shù)字3. 解答】解：根據(jù)三種視圖的形狀，可以得到俯視圖上的小立方體的擺放、個(gè)數(shù)，如圖所示:表示在該位置上擺立方體的個(gè)數(shù)）IId31儷觀團(tuán)I1因此需要小立方體的個(gè)數(shù)為 8個(gè),故選：D.4.解答】解：當(dāng)x=-3時(shí)，分式的值為0.畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示:共有12個(gè)等可能的結(jié)果，小李得到的x值使分式的值為0的結(jié)果有2個(gè),小李得到的x值使分式的值為0的概

9、率為善=+ ；k-31265.解答】解：T a2+b2 = 6ab,2 2(a+b)= 8ab, (a - b)= 4ab,(包+b)2 _ %b 2a-b 4ab又 a b 0,a-b故選：A.6. 【解答】解：由分析可得：第個(gè)的周長(zhǎng)為：2X( 8+13), 第的周長(zhǎng)為：2 X( 13+21),第個(gè)的周長(zhǎng)為：2X( 21+34),第個(gè)的周長(zhǎng)為：2X( 34+55)= 178,故選：C.a2 4av 0,7. 【解答】解：令 y= x2+ax+a，這個(gè)函數(shù)開(kāi)口向上，式子的值恒大于0的條件是：=解得：0v av 4.故選：D.&【解答】解： m n是關(guān)于x的一元二次方程x2-2tx+t 2-2t

10、+4 = 0的兩實(shí)數(shù)根，2/ m+n= 2t, mn= t 2t+4 ,2 2/( m+2 (n+2) = mn+2( m+n +4 = t +2t+8 =( t+1 ) +7.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，=( 2t ) 2 4 (t2 2t+4 )= 8t 16 0, t 2,2 2( t+1 ) +7( 2+1) +7 = 16.故選：D.9.【解答】解：如圖，在正方形ABCD中, AB= AD / B=Z BAD= 90, E、F分別為AB BC邊的中點(diǎn)， AE= BF,在厶ABF和厶DAE中，ZB=ZBAD=9O,Iae=bf ABFA DAE( SAS , / AED=Z BFA/ BAF+/

11、 AED=Z BAF+Z BFA= 90Z AGE 90, AF丄 DE取AD的中點(diǎn)H,連接CH因?yàn)镠是AD的中點(diǎn)，CH/ AF,設(shè)CH與DG相交于點(diǎn)M,則MH是三角形ADG的中位線，所以DM= GM所以CH垂直平分DG CD= CQ Z CGEZ CDG/ AB/ CD Z CGEZ AED設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 2a,貝U AE= a ,由勾股定理得，DE=；.嚴(yán)|汀一 =：J右匕；.a ,cos / AED-肚 乩聲DE5cos / CG cos / AED故選：D.丄有解,X2 2 2- kx +4x - k = 0, = 16 - 4k 0 , kv 4 ,2 2k - 9 v- 1 v

12、0 ,2 Ir -Q函數(shù)圖象在二、四象限，工如圖，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大,.y3 y2 yi,11. 【解答】解：一個(gè)粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每分鐘移動(dòng)一次，依次運(yùn)動(dòng)到(0，1 )7( 1 , 0)7( 1 ,1)( 1, 2)7( 2, 1 )7( 3, 0)7 L,發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x= 0時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)，共 2個(gè)點(diǎn)，當(dāng)x= 1時(shí)，有3個(gè)點(diǎn)，x = 2時(shí)，1個(gè)點(diǎn)，共4個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x= 3時(shí)，有4個(gè)點(diǎn)，x = 4, 1個(gè)點(diǎn)，x= 5, 1個(gè)點(diǎn)，共6個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x= 6時(shí)，有5個(gè)點(diǎn)，x = 7, 1個(gè)點(diǎn)，x= 8, 1個(gè)點(diǎn)，x= 9, 1個(gè)點(diǎn)，共8個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x= 10時(shí)，有6個(gè)點(diǎn)，x = 11, 1個(gè)點(diǎn)，x =

13、12, 1個(gè)點(diǎn)，x = 13, 1個(gè)點(diǎn)，x= 14, 1個(gè)點(diǎn)，共10個(gè)點(diǎn);當(dāng)x=丄-，有（n+1）個(gè)點(diǎn)，共2n個(gè)點(diǎn);22+4+6+8+10+2n 0， bv 0, c v 0, abc 0,正確； 拋物線的對(duì)稱軸為 x = 1,拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，即當(dāng)x 1時(shí)，y隨x的增大而增大，錯(cuò)誤； ：拋物線的對(duì)稱軸為 x = 1,十1, b =- 2a,即 2a+b= 0,正確； 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，2 b - 4ac 0,正確； 觀察圖象可知：當(dāng) x=- 2 時(shí)，y 0,即 4a - 2b+c 0,4a+c2b,/ b v 0,v 1,正確.正確.故選：D.13. 【

14、解答】解：T abv 0, a、b異號(hào)，1 - 1- 1 = - 1;故答案為-1.14. 【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B,過(guò)B點(diǎn)作BD丄AB于D,交AC于E,連接AB、BE 貝U BE+ED= B E+ED= B D 的值最小.點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是 B, BC= 5, B C= 5, BB= 10./ Rt ABC中，/ ACB= 90, AC= 12, BC= 5, AB=；=13. B D= LO 12AB12013 BE+ED= B D=OA OD過(guò)點(diǎn)A、D分別作 AE丄x軸，DF丄x軸，垂足為 E、F,二？ AB? B D=22? BB ? AC,-Sa abb點(diǎn)A在反

15、比例函數(shù)y=丄的圖象上，設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)（x,）,根據(jù)矩形和雙曲線的對(duì)稱性可得，D （亍x),Sa aoe= Sadof又AOD+S DOF= SaAo+S 梯形 ABEF, Sa AOD S 梯形 AEFDS矩形4ABCD=即，專(DF+AE? EF也就是，一(+x)(2 x x 51解得：x=，或x =-x),1-V5V 0 （舍去），故答案為：丄16. 【解答】解：將兩方程中 x, y的系數(shù)化成對(duì)應(yīng)相等的形式，得6x+8y - 20= 0和6x+8y - 10= 0,故答案為：1.17. 【解答】解：原式=2工(”1)-(工-4)(范+6)x (x-4)x2-4x/ x2- 4x+1 =

16、0,2/. x - 4x =- 1.2原式;汁觸x4-4x-1+24=-2318. 【解答】解：去分母得：3x - 2 = 3 (x+1) +m 3x - 2= 3x+3+m, 3x- 3x - 2- 3= mm=- 5.19. 【解答】解：(1)根據(jù)題意得:300- 30%= 1000 (人),答：該校共有1000名學(xué)生；(2)植5株的人數(shù)是：1000X 35%= 350 (人)，補(bǔ)圖如下:(3)根據(jù)題意得：春X 360 72 ,答：植3棵部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 72(4 )植5棵的人數(shù)最多，則眾數(shù)是5棵；把這些數(shù)從小到大排列，第501和502個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)，則中位數(shù)是4棵.(5)

17、因?yàn)楣灿?000人，植6株樹(shù)的人數(shù)是50 , 則植樹(shù)量為“ 6棵”的概率是=.1000 2020. 解答】(1)解： PBC是等邊三角形，理由是：在矩形 ABCD中，/ ABC= 90,/ PBA / PBC= 1: 2,/ OBC= 60,沿EC對(duì)折矩形ABCD使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處， PC= BC, PBC是等邊三角形;根據(jù)折疊得出厶 EBC EPC BE= PE,/ 1 = Z 2, E為AB的中點(diǎn), BE= AE, AE= PE,3=Z 4,/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4= 180 / 2+Z 3= 90, BP 丄 AF,對(duì)折矩形ABCD BP丄 CE, AF/ CE,根據(jù)矩形ABCD

18、得：AE/ CF,四邊形AECF為平行四邊形.AC;如圖所示:21. 【解答】（1）證明：連結(jié)AO / BC是O 0的直徑, Z BAC= 90 , Z CAD= 90 , E是CD的中點(diǎn),AE=CD= CE= DE Z ECA=Z EAC / 0A= OC Z OAC=Z OCA/ CD是O O的切線， CD丄 OC Z ECA+Z OCA= 90 , Z EAC+Z OAC= 90 , OA! AP,T A 是O O上 點(diǎn)， AP是O O的切線；(2)解：由(1)知 OMAP.在 Rt OAP中，/ OAP= 90, OC= CP= OA 即 OP= 2OAsi nP =_=丄；OP 2/ P= 30,/ AOP= 60,/ OC= OA AOC是等邊三角形, / ACO= 60,在 Rt BAC中，/ BAG 90, AB= 3 :，/ ACO= 60,AC=ABtan