高等數(shù)學(xué)極限與連續(xù)[1]課件

1、3.1.5 3.1.5 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)第第3 3章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)3.1 3.1 極極 限限3.1.1 3.1.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限3.1.2 3.1.2 左極限與右極限左極限與右極限3.1.3 3.1.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量3.1.4 3.1.4 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)由由上上述述極極限限定定義義，不不難難得得到到如如下下結(jié)結(jié)論論： lim( )xf xA的的充充分分必必要要條條件件是是lim( )xf xA且且lim( )xf xA. . 2 2. . 當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí)，數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限 定定義義 4 4 如如果果當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí)， 數(shù)數(shù)列列nx無(wú)無(wú)限限接接近近于

2、于一一個(gè)個(gè)確確定定的的常常數(shù)數(shù)A，則則稱稱常常數(shù)數(shù)A為為數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限. .記記為為 limnnxA（或或當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí)，nxA）. . 1 1. . x0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限 3.1.2 3.1.2 左極限與右極限左極限與右極限定義定義 5 5 如果如果當(dāng)當(dāng)x無(wú)限接近于無(wú)限接近于定值定值0 x（x可以不等于可以不等于0 x）時(shí)， 函數(shù)時(shí)， 函數(shù))(xf無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù) A， 則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為為函數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)x趨向趨向于于0 x（記為（記為0 xx）時(shí)的極限，記為）時(shí)的極限，記為 0lim( )xxf xA（或當(dāng)（或當(dāng)0 xx時(shí)，時(shí)

3、，Axf)(）. . 由由定定義義 5 得得：討討論論0 xx時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限，取取決決于于0 x的的鄰鄰近近的的0()x xx處處的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf，而而與與0 xx時(shí)時(shí),)(xf是是否否有有定定義義或或如如何何定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。 由由定定義義 5 5 可可知知，任任意意0 xR，0limxxCC，00limxxxx. . 定義定義 6 6 如果當(dāng)如果當(dāng)0 xx時(shí)， 函數(shù)時(shí)， 函數(shù))(xf無(wú)限接近于一個(gè)確無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)定的常數(shù) A， 則稱常數(shù)， 則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)的左極限，時(shí)的左極限，記為記為0lim( )xxf xA； 如果當(dāng)如

4、果當(dāng)0 xx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù))(xf無(wú)限接近于一個(gè)確定的常無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)數(shù) A，則稱常數(shù)，則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)的右極限，記為時(shí)的右極限，記為0lim( )xxf xA. . 2. 2. 左極限與右極限左極限與右極限左左( (右右) )極限統(tǒng)稱為函數(shù)極限統(tǒng)稱為函數(shù))(xf的單側(cè)極限的單側(cè)極限. . 由定義由定義 5 和定義和定義 6 可得，函數(shù)可得，函數(shù))(xf的極限與左、右極的極限與左、右極限有以下關(guān)系：限有以下關(guān)系： 0lim( )xxf xA的充分必要條件是的充分必要條件是0lim( )xxf xA 且且0lim( )xxf xA. . 例例 試求函數(shù)

5、試求函數(shù)21,( ),1,xf xx1100 xxx 在在 0 x和和1x處的極限處的極限. . 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?0lim( )lim(1)1xxf xx，而，而200lim( )lim0 xxf xx，所以，所以0lim( )xf x不存在； 因?yàn)橐驗(yàn)?11lim( )lim1xxf xx，且，且11lim( )lim11xxf x，所以所以1lim( )1xf x. . 3.1.3 3.1.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1. 1. 無(wú)窮小量及其性質(zhì)無(wú)窮小量及其性質(zhì)定義定義7 7 極限為零的量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小極限為零的量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小. .定理定理 1 1 具有極

6、限的函數(shù)等于它的極限與一個(gè)無(wú)具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個(gè)無(wú)窮小之和；反之，如果函數(shù)可以表示為常數(shù)與無(wú)窮小窮小之和；反之，如果函數(shù)可以表示為常數(shù)與無(wú)窮小之和，那么該常數(shù)就是這個(gè)函數(shù)的極限，即之和，那么該常數(shù)就是這個(gè)函數(shù)的極限，即 0lim( )xxf xA的充分必要條件是的充分必要條件是 Axf)(， 其中其中是當(dāng)是當(dāng)0 xx時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小. . 2. 2. 函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系注意注意:定理定理1 1中自變量的變化過(guò)程可以換成其他任中自變量的變化過(guò)程可以換成其他任何一種情形（何一種情形（x，x，x，0 xx，0 xx）. .為了方便，我們常常只用一種情況說(shuō)明，

7、有為了方便，我們常常只用一種情況說(shuō)明，有時(shí)甚至在極限符號(hào)中省略自變量的變化趨勢(shì)時(shí)甚至在極限符號(hào)中省略自變量的變化趨勢(shì). . 例例 證證明明coslim0 xxx. . 推論推論 常數(shù)與無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小量.3. 3. 無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小.性質(zhì)性質(zhì)2 2 有限個(gè)無(wú)窮小之積仍然是無(wú)窮小.性質(zhì)性質(zhì)3 3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證證明明 因因?yàn)闉閤xxxcos1cos， 其其中中xcos為為有有界界函函數(shù)數(shù)，x1為為x時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小量量，由由性性質(zhì)質(zhì) 3 3 知知coslim0 xxx. . 4. 4. 無(wú)窮大量無(wú)窮大量（2 2）

8、說(shuō)一個(gè)函數(shù)說(shuō)一個(gè)函數(shù))(xf是無(wú)窮大，必須指明自變量是無(wú)窮大，必須指明自變量 x的變化趨向， 如函數(shù)的變化趨向， 如函數(shù) x1 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)是無(wú)窮大； 當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大； 當(dāng)x時(shí)，時(shí)，它就不是無(wú)窮大，而是無(wú)窮小了；它就不是無(wú)窮大，而是無(wú)窮小了； 5. 5. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系例例 求求2213lim54xxxx. . 解解 由由于于22154lim03xxxx，即即當(dāng)當(dāng)1x時(shí)時(shí)，22543xxx為為無(wú)無(wú)窮窮小小，根根據(jù)據(jù)無(wú)無(wú)窮窮大大與與無(wú)無(wú)窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系可可知知，當(dāng)當(dāng)1x時(shí)時(shí)，22354xxx為為無(wú)無(wú)窮窮大大，即即 2213lim54xxxx . . 性質(zhì)性質(zhì) 1 1(

9、 (惟一惟一性性) ) 若若0lim( )xxf xA，0lim( )xxf xB，則，則BA . . 性質(zhì)性質(zhì) 2 2( (有界性有界性) ) 若若0lim( )xxf xA，則在，則在0 x的某個(gè)去的某個(gè)去心鄰域內(nèi)心鄰域內(nèi))(xf有界有界. . 性質(zhì)性質(zhì) 3 3( (保號(hào)性保號(hào)性) ) 若若0lim( )xxf xA且且0A（或（或0A） ，） ，則在則在0 x的某個(gè)去心鄰域內(nèi)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)0)(xf（或（或0)(xf）. . 推論推論 若在若在0 x的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，0)(xf（或（或0)(xf） ，且） ，且0lim( )xxf xA，則，則 0A （或（或0A）.

10、 . 3.1.4 3.1.4 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì) 性性質(zhì)質(zhì) 4 4（夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則） 若若在在0 x的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，有有 )()()(xhxfxg，00lim( )lim ( )xxxxg xh xA， 則則 0lim( )xxf xA. . 3.1.5 3.1.5 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1 1函數(shù)的極限函數(shù)的極限2 2左極限與右極限左極限與右極限3 3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量4 4極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)3.2.4 3.2.4 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3.2 3.2 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算3.2.1 3.2.1 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則3.2.2 3.2.2 兩個(gè)重

11、要極限兩個(gè)重要極限3.2.3 3.2.3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較3.2.1 3.2.1 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則注意：上面的極限中省略了自變量的變化趨勢(shì)，下同注意：上面的極限中省略了自變量的變化趨勢(shì)，下同.推論推論 2 2 若若m為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則lim ( )mf x= =lim( )mf x= =mA. . 結(jié)結(jié)論論：一一般般地地，多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)在在0 x處處的的極極限限等等于于該該函函數(shù)數(shù)在在0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值，即即 01110lim()nnnnxxa xaxa xa= = 1010100nnnna xaxa xa. . 例例 求求22232lim2xx

12、xxx. . 解解 22232lim2xxxxx= =22lim(1)(2)lim(1)(2)xxxxxx= =22lim(1)1lim(1)3xxxx. . 結(jié)論：結(jié)論： 對(duì)于有理分式函數(shù)對(duì)于有理分式函數(shù))()(xqxp（其中（其中)(),(xqxp為多項(xiàng)為多項(xiàng)式函數(shù)） ，當(dāng)式函數(shù)） ，當(dāng)0 xx時(shí)，其極限分為下列幾種類型：時(shí)，其極限分為下列幾種類型： (1) (1) 分式的分子分母的極限都存在，且分母極限不分式的分子分母的極限都存在，且分母極限不為零，則函數(shù)在為零，則函數(shù)在0 x處的極限等于該函數(shù)在處的極限等于該函數(shù)在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值. . (2) (2) 分子極限不為零，分母極

13、限為零，不能直接運(yùn)分子極限不為零，分母極限為零，不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，通常是先計(jì)算其倒數(shù)的極限，再用商的極限運(yùn)算法則，通常是先計(jì)算其倒數(shù)的極限，再運(yùn)用無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得到其結(jié)果運(yùn)用無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得到其結(jié)果. . (3) (3) 分子、分母極限皆為零，稱為分子、分母極限皆為零，稱為0 0型，不能直接型，不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，而是先將分子、分母因式分解，運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，而是先將分子、分母因式分解，然后消去無(wú)窮小因子，再計(jì)算得到其結(jié)果然后消去無(wú)窮小因子，再計(jì)算得到其結(jié)果. . 一般地，有理分式函數(shù)，當(dāng)一般地，有理分式函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，分子、分母是時(shí)，分子、分母是無(wú)窮大，稱

14、為“無(wú)窮大，稱為“”型，可得以下結(jié)論：”型，可得以下結(jié)論： 若若00,nmabmn，、為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則 11101110limnnnnmmxmma xaxa xab xbxb xb= =,0,.mmamnbmnmn 例例 求求極極限限212limnnn. . 解解 因因?yàn)闉?/ ) 1(21nnn，所所以以 212limnnn= =11lim22nnn. . 1. 1. 第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限0sinlim1xxx 3.2.2 3.2.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限注意：注意：第一個(gè)重要極限特點(diǎn)：第一個(gè)重要極限特點(diǎn)： （1）它是）它是“00 ”型；型； （2） 形式必須一致， 即）

15、 形式必須一致， 即( )0sin ( )lim( )xxx中的三個(gè)中的三個(gè))(x必必須是一樣的須是一樣的,)(x是指同一個(gè)變量或表達(dá)式是指同一個(gè)變量或表達(dá)式. 例例 計(jì)計(jì)算算 201 coslimxxx. . 解解 201 coslimxxx= =220sin2limxxx= =20sin12lim22xxx = =20sin12lim22xxx= =21121. . 2 2. . 第第二二個(gè)個(gè)重重要要極極限限1lim(1)exxx 注意注意: :第二個(gè)重要極限特點(diǎn)：第二個(gè)重要極限特點(diǎn)： （1 1）它它是是1型型； （2 2）形式必須一致，即）形式必須一致，即 1lim (1)xxx或或 1

16、( )0lim (1( )xxx中的三個(gè)中的三個(gè))(x應(yīng)該是一樣的應(yīng)該是一樣的. . )(x是指是指同一個(gè)變量或表達(dá)式同一個(gè)變量或表達(dá)式. .因而，因而，10lim(1)exxx. . 例例 計(jì)計(jì)算算21lim(1)xxx. . 解解 21lim(1)xxx= =121lim(1) xxx= =11221lim(1) exxx. . 定定義義 1 1 設(shè)設(shè))(x和和)(x是是當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小， 若若 （1 1）0( )lim0( )xxxx，則則稱稱當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)，)(x是是比比)(x高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小，記記為為 xox)(， （0 xx ） ； （2 2）0(

17、 )lim( )xxxx ， 則則稱稱當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)，)(x是是比比)(x低低階階的的無(wú)無(wú)窮窮小??； （3 3）0( )lim0( )xxxCx，則則稱稱當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)，)(x與與)(x是是同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小. .當(dāng)當(dāng)C= =1 1 時(shí)時(shí)，則則稱稱)(x與與)(x是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小. .記記為為 xx， （0 xx ）. . 3.2.3 3.2.3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較定定理理2 2 如如果果當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)，)(x)(x，)()(xx，且且0( )lim( )xxxx存存在在，則則0( )lim( )xxxx也也存存在在，且且 0( )lim( )xxxx= =0( )lim

18、( )xxxx. . 利用定理利用定理2，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都，在求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，以達(dá)到化簡(jiǎn)計(jì)算的目的可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，以達(dá)到化簡(jiǎn)計(jì)算的目的.例例 求求0sin4limtan2xxx. . 解解 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，xxxx22tan,44sin，所所以以 0sin4limtan2xxx= =04lim2xxx= =2. . 3 3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較3.2.4 3.2.4 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1 1 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則2 2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限3.3.4 3.3.4 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3.3 3.3 函數(shù)

19、的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性3.3.1 3.3.1 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義3.3.2 3.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性3.3.3 3.3.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量義，如果當(dāng)自變量x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的增量處的增量x趨于零時(shí)，函數(shù)趨于零時(shí)，函數(shù))(xfy 相應(yīng)的增量相應(yīng)的增量00()()yf xxf x 也趨于零，即也趨于零，即 0lim0 xy ， 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)，并且稱點(diǎn)處連續(xù)，并且稱點(diǎn)0 x為函數(shù)為函數(shù))(xfy 的連

20、續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). . 3.3.1 3.3.1 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義1. 1. 連續(xù)連續(xù)注注意意：在在定定義義 1 1 中中，0 xxx ， 0yf xf x ，因因而而，0 x 即即0 xx ，0y即即 0f xf x. . 定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在在0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 若的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 若00lim( )()xxf xf x，則稱函數(shù)，則稱函數(shù))(xfy 在在0 x處連續(xù)處連續(xù). . 相應(yīng)于函數(shù)相應(yīng)于函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的左、右極限的概念，有：處的左、右極限的概念，有： 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處有處有00lim( )()xx

21、f xf x（或（或00lim( )()xxf xf x） ，則稱函數(shù)） ，則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處左連續(xù)（或處左連續(xù)（或右連續(xù)）右連續(xù)）. . 結(jié)論結(jié)論：定定義義 3 3 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x處處不不連連續(xù)續(xù)，則則點(diǎn)點(diǎn) 0 x稱稱為為函函數(shù)數(shù))(xf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 若若點(diǎn)點(diǎn) 0 x為為函函數(shù)數(shù))(xf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，則則至至少少有有下下列列三三種種情情形形之之一一出出現(xiàn)現(xiàn)： （1 1）)(xf點(diǎn)點(diǎn)0 x處處沒(méi)沒(méi)有有定定義義； （2 2）0lim( )xxf x不不存存在在； （3

22、3）00lim( )()xxf xf x. . 2. 2. 間斷間斷定定義義 4 4 （間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的分分類類） 設(shè)設(shè) 0 x為為)(xf的的一一個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，如如果果當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)，)(xf的的左左、 右右極極限限都都存存在在， 則則稱稱 0 x為為)(xf的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)；否否則則，稱稱 0 x為為)(xf的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 若若 0 x為為)(xf的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，則則 （1 1） 當(dāng)當(dāng)0lim( )xxf x與與0lim( )xxf x不不相相等等時(shí)時(shí)， 稱稱 0 x為為)(xf的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)； （2 2）當(dāng)當(dāng)0lim( )xx

23、f x與與0lim( )xxf x相相等等，即即0lim( )xxf x存存在在時(shí)時(shí)，稱稱 0 x為為)(xf的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 證證明明 因因?yàn)闉?lim( )xf x= =01lim sin0(0)xxfx，所所以以)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù). . 例例 設(shè)設(shè))(xf= =21xx 110 xx，討討論論)(xf在在1x處處的的連連續(xù)續(xù)性性. . 解解 函函數(shù)數(shù))(xf的的圖圖像像如如圖圖 3.3.1 所所示示. .因因?yàn)闉?) 1 (f，而而 11limlim12xxf xx， 211limlim1xxf xx， 得得1lim( )xf x不不存存在在，所所以以1x是是間

24、間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 由由于于左左右右極極限限存存在在但但不不相相等等，因因此此它它是是第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). . 另外，若另外，若0lim( )xxf x ，則，則稱稱0 x為為)(xf的無(wú)窮間斷點(diǎn)，無(wú)的無(wú)窮間斷點(diǎn)，無(wú)窮間斷點(diǎn)屬于第二類間斷點(diǎn)窮間斷點(diǎn)屬于第二類間斷點(diǎn). .例如例如)(xf= =21(1)x在在1x處沒(méi)處沒(méi)有定義，且有定義，且211lim(1)xx ，則，則稱稱1x為為)(xf的無(wú)窮間斷點(diǎn)的無(wú)窮間斷點(diǎn). . 圖圖3.3.1 xy12定定理理 1 1（連連續(xù)續(xù)的的四四則則運(yùn)運(yùn)算算法法則則） 若若函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處連連續(xù)續(xù)，

25、則則它它們們的的和和)(xf+ +)(xg、差差)(xf- -)(xg、積積)()(xgxf以以及及商商)()(xgxf（當(dāng)當(dāng)0()0g x時(shí)時(shí)）在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處都都連連續(xù)續(xù). . 3.3.2 3.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性1. 1. 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 定理定理 2 2（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)，且處連續(xù)，且00()ux，而函數(shù)，而函數(shù))(ufy 在點(diǎn)在點(diǎn)0u處連續(xù)處連續(xù). . 如如果在點(diǎn)果在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)復(fù)合函數(shù)的某個(gè)鄰域內(nèi)復(fù)合函數(shù))(xf有定義， 則復(fù)合函有定義， 則復(fù)合函數(shù)數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0

26、x處連續(xù)處連續(xù). . 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)的四則運(yùn)算法則以由基本初等函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可知：及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可知：結(jié)論：結(jié)論：(1) (1) 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間；求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間；(2) (2) 關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分段點(diǎn)處的連續(xù)每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分段點(diǎn)處的連續(xù)性性. . 定理定理3 3 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的. .如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處連連續(xù)續(xù)，則則00li

27、m( )()xxf xf x，即即求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的極極限限可可歸歸結(jié)結(jié)為為計(jì)計(jì)算算點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值. . 2. 2. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例例 計(jì)計(jì)算算4213lim2xxx . . 解解 4213lim2xxx = = 4( 213)( 213)(2)lim(2)(2)( 213)xxxxxxx = =4(21 9)(2)lim(4)( 213)xxxxx = =42(4)(2)4lim3(4)( 213)xxxxx . . 定定理理 4 4 設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若函函數(shù)數(shù))(xu當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在且且00lim( )xx