(完整版)高二數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)典例題

1、例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:2n 1 2n 12n 1請(qǐng)讀者分析下面的證法:證明：n=1時(shí)，左邊1 一，左邊=右邊，等式成立.3假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即:2k1 2k 12k 1那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有:2k2k 12k 1 2k2k 12k 12k 12k 32k2k 32k 32k 3這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立.由、可知,對(duì)一切自然數(shù) n等式成立.n=k評(píng)述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的方法是錯(cuò)誤的，這是一種假證，假就假在沒(méi)有利用歸納假設(shè) 這一步，當(dāng)n = k+1時(shí)，而是用拆項(xiàng)法推出來(lái)的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求.正確方法是：當(dāng)n=k+1 時(shí).2k 1 2k 12k

2、 1 2k 32k 12k 1 2k 32k23k 12k 1 k 12k 1 2k 3 2k 1 2k 3k 1 k 12k 3 2 k 11這就說(shuō)明，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式亦成立，例2.是否存在一個(gè)等差數(shù)列an,使得對(duì)任何自然數(shù) n,等式：a1+2a2+3a3+ nan= n(n+1)( n+2)都成立，并證明你的結(jié)論.分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令 n=1 , 2, 3時(shí)找出來(lái)an,然后再證明一般性.解：將n=1, 2, 3分別代入等式得方程組.a16a12a224,a12a23a360解彳a a1=6, a2=9, a3=12,則 d=3.故存在一個(gè)等差數(shù)列 an=3n+3,當(dāng)n

3、=1, 2, 3時(shí)，已知等式成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3,對(duì)大于3的自然數(shù)，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)者 B 成立.因?yàn)槠鹗贾狄炎C，可證第二步驟.假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a1+2 a2+3a3+kak +(k+1)ak+1=k(k+1)(k+2)+ (k+1)3( k+1)+3=(k+1)(k2+2k+3 k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)( k+1)+1( k+1)+2這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，也存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3使a+2a2+3a

4、3+nan=n(n+1)(n+2)成立.綜合上述，可知存在一個(gè)等差數(shù)列an=3n+3,對(duì)任何自然數(shù)n,等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立.例3.證明不等式1 ； ；1= 2Vn (nGN)., 2. 3- n證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1 ,右邊=2.左邊 右邊，不等式成立.111假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即1=二22jk.,2. 3. k那么當(dāng)n = k+1時(shí),11111 ,2,3,k ,k 12 k 12 ,k 1.k 1這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.由、可知，原不等式對(duì)任意自然數(shù)n都成立.說(shuō)明：這里要注意，當(dāng) n=k+1時(shí)，要證的目標(biāo)是117 2Vk 1

5、,當(dāng)代人歸納假設(shè)后，就是要證明:.k .k 12 人 ,2jk 1 .- k 1認(rèn)識(shí)了這個(gè)目標(biāo)，于是就可朝這個(gè)目標(biāo)證下去，并進(jìn)行有關(guān)的變形，達(dá)到這個(gè)目標(biāo).例 4.已知數(shù)列an滿足 a=0, a2=1,當(dāng) nG N 時(shí)，an+2=an+1+an.求證：數(shù)列an的第4m+1項(xiàng)(me N)能被3整除.分析：本題由an+1=an+1+an求出通項(xiàng)公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) m=1 時(shí)，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被 3 整除.當(dāng)m=k時(shí)，a4k+1能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a4(k+1)+1 = a4 k+5

6、=a4k+4+a4k+3=a4k+3 +a4k+2+ a4k+2+a4 k+1=a4k+2+a4k+1 + a4k+2+a4 k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.因此，當(dāng)m=k+1時(shí)，a4(k+1)+1也能被3整除.由、可知，對(duì)一切自然數(shù) me N,數(shù)列an中的第4m+1項(xiàng)都能被3整除.例5. n個(gè)半圓的圓心在同一條直線 l上，這n個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交，且都在直線 l的同側(cè)，問(wèn)這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓??？分析：設(shè)這些半圓最多互相分成 f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜

7、想和論證.當(dāng)n=2時(shí)，由圖(1).兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則分成 4段圓弧，故f (2)=4=22.當(dāng)n=3時(shí)，由圖(2).三個(gè)半徑交于三點(diǎn)，則分成 9段圓弧，故f (3)=9=32.由n=4時(shí)，由圖(3).三個(gè)半圓交于 6點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f (4)=16=42.由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有 f (n)=n2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n=2時(shí)，上面已證.設(shè)n=k時(shí)，f (k)=k2,那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意 三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第 k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就 多出k條圓弧；另外原k個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成k+1段，這樣又多出了 k+1段圓弧.f (k+l)=k2+k+(k+i)= k2+2k+1=( k+1)2滿足條件的k+1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓弧.由、可知，滿足條件的n個(gè)