線性代數(shù)課件11

1、緒論緒論9999221099)(xaxaxaaxp ),( ,),(10010011yxyx 10099100992001200110199199212110yxaxaxaayxaxaxaa 第一章第一章 1 行列式的定義行列式的定義本節(jié)我們將討論：本節(jié)我們將討論： ，且，且的線性方程組的求的線性方程組的求解，從而得到行列式這個(gè)工具解，從而得到行列式這個(gè)工具.本節(jié)結(jié)構(gòu)本節(jié)結(jié)構(gòu) 二階行列式的引出二階行列式的引出 三階行列式的引出三階行列式的引出 n階行列式的引出階行列式的引出 四類特殊行列式計(jì)算四類特殊行列式計(jì)算 克拉默（克拉默（cramer）法則）法則我們從最簡單的二元方程組出發(fā)，探索其解的規(guī)

2、律我們從最簡單的二元方程組出發(fā)，探索其解的規(guī)律 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 222(1)a 12(2)a 一、一、 二階行列式的引出二階行列式的引出) 112212211122122a aa axb aa b（）用高斯消元法求其解：用高斯消元法求其解：2112122122212a a xa a xb a 1122112222122a a xa a xb a .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 1 2112212212112121a aa axa bb a（）21 11122112211a a xa a xb a 1 211(2)a 21(

3、1)a ) 1121112212121a a xa a xb a .,22221211212111bxaxabxaxa112212211122122112212212112121a aa axb aa ba aa axa bb a （）（）時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組有唯一解方程組有唯一解，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax )3(1、 分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.2、分子分母都是兩數(shù)乘積之差、分子分母都是兩數(shù)乘積之差. 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）由四個(gè)數(shù)排

4、成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表的數(shù)表)4(22211211aaaa11221221a aa a 數(shù)數(shù)稱為數(shù)表（稱為數(shù)表（4）所）所確確定的定的二階行列式二階行列式, 記為記為11122122aaaa主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算11122122aaaa11122122aadaa .,22221211212111bxaxabxaxa系數(shù)行列式系數(shù)行列式122122111221221b aa bxa aa a 112121211221221a bb axa aa a 1121 222 12222babab aba 11111

5、221 1212aba ba bab 1d 2d11dxd 22dxd 于是于是 .,22221211212111bxaxabxaxa112212211122122112212212112121a aa axb aa ba aa axa bb a （）（）時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組有唯一解方程組有唯一解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 d 2211ddxddx ddxddx22112211112222121122211211,babadababdaaaad .12,12232121xxxx1223 d)4(3 , 07 112121 d,14 121232 d,21 ddx11 , 2714 d

6、dx22 . 3721 求解二元線性方程組求解二元線性方程組二、三階行列式的引出二、三階行列式的引出112233dxddxddxd 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa進(jìn)行高斯消元可以得到：進(jìn)行高斯消元可以得到：112233122331132132112332122133132231da a aa a aa a aa a aa a aa a a1122331223313232123321223313223db a aa a ba b ab a aa b aa a b2112331233113213112331213313231d

7、a b ab a aa a ba a bb a aa b a3112231223112132112321221312231da a ba b ab a aa b aa a bb a a1231230,ddddxxxddd 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，三三元元線線性性方方程程組組的的解解為為：三階行列式定義三階行列式定義333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為

8、數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa 112332a a a 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算 d111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 333231232221131211aaaaaaaaad ,3332323222131211aabaabaabd ,3333123221131112abaabaabad .3323122221112113baab

9、aabaad 例例2 2 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 d 111 132 121 111 122 131 5 , 0 , 5 ,10 , 5 故方程組的解為故方程組的解為: :, 111 ddx, 222 ddx. 133 ddx1103111221 d1013121212 d0111122213 d 二階和三階行列式是由解二元和三元二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的線性方程組引入的.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112

10、322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計(jì)算二階與三階行列式的計(jì)算 使使求求一一個(gè)個(gè)二二次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式,xf .283, 32, 01 fff設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為 ,2cbxaxxf 由題意得由題意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf又又, 020139124111 d.20,60,401328123110321 ddd得得, 21 dda, 32 ddb13 ddc 2231.f xxx故所求多項(xiàng)式為

11、故所求多項(xiàng)式為三、三、n 階行列式的引出階行列式的引出由二元方程組（兩個(gè)變量、兩個(gè)方程）由二元方程組（兩個(gè)變量、兩個(gè)方程）求解得二階行列式求解得二階行列式由三元方程組（三個(gè)變量、三個(gè)方程）由三元方程組（三個(gè)變量、三個(gè)方程）求解得三階行列式求解得三階行列式由由n 元方程組（元方程組（n 個(gè)變量、個(gè)變量、n 個(gè)方程）個(gè)方程）求解得求解得n 階行列式階行列式 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211122221211121211101111 nnnnaaaad大膽猜測大膽猜測當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ddxddxnn11id是用是用nbbb21替換替換dniiiaaa21 而得而得.

12、中中的第的第i列列但是但是- 觀察二階與三階行列式的計(jì)算觀察二階與三階行列式的計(jì)算n階行列式的計(jì)算原則階行列式的計(jì)算原則共同特性之一是對角線法則；共同特性之一是對角線法則；并試圖推廣到并試圖推廣到n階行列式，階行列式，且能正確求解方程組且能正確求解方程組.于是尋找二階和三階行列式計(jì)算的于是尋找二階和三階行列式計(jì)算的其它共性其它共性,預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)-全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)元素的元素的全排列全排列把把n個(gè)不同的元素排成一列，個(gè)不同的元素排成一列，叫做這叫做這n個(gè)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序：由小到大的次序標(biāo)準(zhǔn)次序：由小到大的次序時(shí)，時(shí)，就說有一個(gè)就說有一個(gè)。當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序

13、與標(biāo)準(zhǔn)次序不同標(biāo)準(zhǔn)次序不同一個(gè)排列中的所有逆序的總數(shù)一個(gè)排列中的所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù). 例如排列例如排列 54231 t=95前面比前面比5大的數(shù)有大的數(shù)有0個(gè)；個(gè)；4前面比前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個(gè)；個(gè)；2前面比前面比2大的數(shù)有大的數(shù)有2個(gè)；個(gè)；3前面比前面比3大的數(shù)有大的數(shù)有2個(gè)；個(gè)；1前面比前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有4個(gè)個(gè).t=0+1+2+2+4=95 4 2 3 1自然排列自然排列若一個(gè)排列中的所有元素若一個(gè)排列中的所有元素按標(biāo)準(zhǔn)次序按標(biāo)準(zhǔn)次序排列，則稱之為排列，則稱之為標(biāo)準(zhǔn)排列標(biāo)準(zhǔn)排列或或自然排列自然排列.逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做

14、奇排列奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列偶排列.觀察二階行列式觀察二階行列式11a12a22a12a2211aa .2112aa 不同行不同列不同行不同列2個(gè)元素的乘積；個(gè)元素的乘積； 1項(xiàng)為正項(xiàng)為正,1項(xiàng)為負(fù)；項(xiàng)為負(fù)； 2！項(xiàng)的代數(shù)和；！項(xiàng)的代數(shù)和；觀察二階行列式觀察二階行列式11a12a22a21a2211aa .2112aa 當(dāng)行標(biāo)調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)當(dāng)行標(biāo)調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)列標(biāo)排列列標(biāo)排列逆序數(shù)逆序數(shù)tt)1( 1 22 10+-1332211aaa .322311aaa 觀察三階行列式觀察三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112

15、aaa 3!項(xiàng)代數(shù)和項(xiàng)代數(shù)和不同行不同列不同行不同列三個(gè)元素的乘積三個(gè)元素的乘積三項(xiàng)為正三項(xiàng)為正,三三項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)為負(fù).333231232221131211aaaaaaaaa d332211aaa .322311aaa 觀察三階行列式觀察三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 當(dāng)行標(biāo)調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)當(dāng)行標(biāo)調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列時(shí)列標(biāo)排列列標(biāo)排列逆序數(shù)逆序數(shù)tt)1( 1230+2312+3122+3213-2131-1321-n 階行列式定義階行列式定義將將n2個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成n行行n列的數(shù)表，列的數(shù)表，按下列規(guī)按下列規(guī) !21111121)1(nnppptn

16、nnnnaaaaaaad稱為稱為n階行列式階行列式, 其中其中t為列標(biāo)排列的逆序數(shù)。為列標(biāo)排列的逆序數(shù)。則計(jì)算出的數(shù)，即則計(jì)算出的數(shù)，即n 階行列式定義的三個(gè)要點(diǎn)階行列式定義的三個(gè)要點(diǎn)（1）是）是n!項(xiàng)的代數(shù)和；項(xiàng)的代數(shù)和； 如果一個(gè)行列式有一行（或一列）的元素如果一個(gè)行列式有一行（或一列）的元素全為零，則此行列式的值必為零。全為零，則此行列式的值必為零。（2）每一項(xiàng)的符號(hào)由逆序數(shù)的奇偶性確定；）每一項(xiàng)的符號(hào)由逆序數(shù)的奇偶性確定； （3）每一項(xiàng)是取自不同行不同列的）每一項(xiàng)是取自不同行不同列的n個(gè)元素個(gè)元素的乘積（這樣的項(xiàng)恰有的乘積（這樣的項(xiàng)恰有n!項(xiàng)）項(xiàng)）.由行列式的定義不難看出：由行列式的定

17、義不難看出：四、思考與討論四、思考與討論1000120053304794 0004003002001000= -24or 24 ?24 五、四類特殊行列式計(jì)算五、四類特殊行列式計(jì)算121000000000000nnd l ll llllllllllll ll l1）主對角行列式）主對角行列式121nn l l2）副對角行列式）副對角行列式12,11,21000000000000nnnnaadaa l ll ll ll ll ll ll ll ll l(1)212,11( 1)n nnnna aa l l的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為11 nn(1)2n n 11212212000nnnnaaadaaa

18、l ll llllllllll l3）下三角行列式）下三角行列式1122nna aa l l11121222000nnnnaaaaada l ll llllllllll l4）上三角行列式）上三角行列式1122nna aa l ln 階行列式也可以定義為：階行列式也可以定義為：1212( 1)ntppp ndaaa k k k k六、關(guān)于克拉默（六、關(guān)于克拉默（cramer）法則）法則非齊次線性方程組非齊次線性方程組1111111nnnnnnna xa xba xa xb （），（）， 非齊次線性方程組（），當(dāng)非齊次線性方程組（），當(dāng) 11110nnnnaadaa ,有唯一解有唯一解 11nndxddxd 非齊次線性方程組非齊次線性方程組i0,0dd 非齊次線性方程組（）非齊次線性方程組（）, 0d 1111111nnnnnnna xa xba xa xb （），（）， 可能無解，可能有無窮多解可能無解，可能