《連續(xù)體力學(xué)》習(xí)題及解答9

1、9 塑性物質(zhì)（一） 概念、理論和公式提要 9-1 經(jīng)典塑性理論 本章只介紹經(jīng)典塑性理論和粘塑性本構(gòu)方程，且都限于小變形情況。塑性變形是不可逆變形，塑性本構(gòu)方程是非線性的，屬于物理非線性。經(jīng)典塑性理論雖有其廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，但在一些情況下，它就顯得不足。例如，對(duì)于巖土類物質(zhì)、粒狀物質(zhì)及高強(qiáng)度鋼等力學(xué)性能的深入研究，經(jīng)典塑性理論中的正交法則和塑性體積應(yīng)變?yōu)榱愕冉?jīng)典假設(shè)就不適用；而要研究變形局部化問題，需要從大變形本構(gòu)模型入手，在大變形條件下，往往伴隨材料的損傷，因此在研究從變形到破壞的全過程中，必然要考慮大變形塑性-損傷本構(gòu)方程等。 經(jīng)典塑性理論有兩個(gè)基本假設(shè)或基本前提：在應(yīng)力(或應(yīng)變)空間內(nèi)，存在

2、屈服曲面。在小變形條件下，屈服曲面可表示為(內(nèi)變量)的函數(shù)，即表示成的函數(shù)，即。在屈服曲面之內(nèi)，狀態(tài)變化，塑性變形不變化；屈服曲面之上，塑性變形處于可變化的狀態(tài)，稱為彈塑性狀態(tài)。加載過程和卸載過程服從不同的本構(gòu)關(guān)系，加載過程是指塑性變形繼續(xù)發(fā)展的過程，而塑性變形不變化的過程稱為卸載過程。這兩個(gè)基本假設(shè)在軸向拉伸試驗(yàn)中是可以觀測到的。圖9-1示一拉伸曲線，包括從任一點(diǎn)卸載沿直線到達(dá)反向(壓縮)屈服點(diǎn)處，此后又呈現(xiàn)曲線變化。從試驗(yàn)中可觀測到下列結(jié)果。圖9-1以上關(guān)系僅在變形不大時(shí)近似成立。在范圍內(nèi)，應(yīng)力變化與應(yīng)變化之間遵循分別稱點(diǎn)為初始和相繼彈性范圍的邊界，邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于彈塑性狀態(tài)。當(dāng)應(yīng)力從點(diǎn)向內(nèi)變

3、化時(shí)(卸載過程)，有當(dāng)應(yīng)力從點(diǎn)時(shí)(加載過程)有由及上式，易得 (9-1-1) (9-1-2)一般地它們都不是常數(shù)。是強(qiáng)(硬)化物質(zhì)，為理想塑性物質(zhì)，稱為弱(軟)化物質(zhì)(圖9-2)。要求。(a)(b)圖9-29-2 初始屈服函數(shù) 在一維應(yīng)力狀態(tài)下，初始彈性范圍的邊界可表示成(在應(yīng)力空間，下同) (9-2-1)此處假定物質(zhì)的拉、壓屈服極限相等。相繼彈性范圍的邊界則不唯一，而與變形歷史有關(guān)。從圖9-3易見，要確定或描述這些邊界，例如點(diǎn)或，必須給定拉伸曲線和的函數(shù)，即相繼彈性范圍的邊界一般化地應(yīng)寫成 (9-2-2)在上式中是內(nèi)變量，是反應(yīng)物質(zhì)的強(qiáng)化特性的。彈性范圍邊界的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈服函數(shù)。式(9-

4、2-1)和(9-2-2)分別是初始屈服函數(shù)和相繼屈服函數(shù)；初始屈服函數(shù)常簡稱為屈服函數(shù)。對(duì)于理想塑性物質(zhì)，此時(shí)初始和相繼彈性范圍的邊界重合，即屈服函數(shù)為式(9-2-1)。 推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)，初始屈服函數(shù)可寫作 (9-2-3)一般情況下，為物質(zhì)的特性常數(shù)。相繼屈服函數(shù)則一般地寫成 (9-2-4)通常將溫度作為影響物質(zhì)特性常數(shù)的參變量，即。其中是表征塑性變形積累的標(biāo)量，反映物質(zhì)的各向同性強(qiáng)化，是二階張量，反映物質(zhì)的各向異性強(qiáng)化。 對(duì)于金屬，一般可假定：是初始各向同性和指向同性的，后者指拉、壓力學(xué)性質(zhì)相同，塑性或屈服與平均應(yīng)力無關(guān)；因此初始屈服函數(shù)只與應(yīng)力偏張量的不變量相關(guān)，且是應(yīng)力分量的偶函數(shù)，

5、即 (9-2-5)或 (9-2-6)分別是應(yīng)力偏張量及其分量。注意，此處及以下。 常用的(初始)屈服條件(函數(shù))有 Mises屈服條件，其函數(shù)形式為 (9-2-7)式中() (9-2-8) Tresca屈服條件，其數(shù)學(xué)表述為 (9-2-9)或 (9-2-10)式中9-3 應(yīng)力空間 屈服曲面 應(yīng)力空間內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)等于應(yīng)力分量，它描述或代表一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力點(diǎn)；應(yīng)力點(diǎn)的位矢稱為應(yīng)力狀態(tài)矢。同一單元體的應(yīng)力狀態(tài)變化，其應(yīng)力點(diǎn)將在應(yīng)力空間內(nèi)移動(dòng)，移動(dòng)的軌跡稱為應(yīng)力路徑。對(duì)于各向同性物質(zhì)，屈服與主應(yīng)力方向無關(guān) ，只與主應(yīng)力的值相關(guān)，因此可以采用主應(yīng)力空間。在主應(yīng)力空間內(nèi)，應(yīng)力狀態(tài)矢為= (9-3-

6、1)為主應(yīng)力空間的基(圖9-4)。圖9-4 圖9-5過原點(diǎn)其法線與三個(gè)坐標(biāo)軸等傾的平面稱為平面，在平面上的應(yīng)力點(diǎn)滿足 (9-3-2)而過原點(diǎn)且與平面正交的線(ON)可表示為 (9-3-3)式(9-3-2)和(9-3-3)分別表示應(yīng)力偏量和應(yīng)力球量，后者相當(dāng)于靜水應(yīng)力，所以O(shè)N稱為靜水應(yīng)力線。任一應(yīng)力狀態(tài)矢可分解為應(yīng)力偏量矢和應(yīng)力球量矢，即有 (9-3-4)相互正交(圖9-4)。 將三根應(yīng)力軸投影到平面上，記為(圖9-5，a)，對(duì)應(yīng)于。顯然，不能構(gòu)成基，即不是線性獨(dú)立的。 從圖(9-4)可見，單位矢位在同一個(gè)正交于平面的平面上，其相互位置見圖9-5(b)；其中 (9-3-5) (9-3-6)式中

7、，將這些值及式(9-3-5)代入式(9-3-6)，可以得到 (9-3-7)式中順循環(huán)取值，即 (9-3-8)以及主應(yīng)力 (9-3-9) 由于初始屈曲面只是應(yīng)力偏量的函數(shù)，所以它是平面上的一條封閉曲線，稱為屈服跡線。根據(jù)物質(zhì)的初始各向同性和指向同性，可以推知屈服跡線必對(duì)稱于應(yīng)力軸在平面的投影及它們的垂直線，這6根線十等分平面(圖9-5，a)。由于屈服與靜水應(yīng)力無關(guān)，所以在應(yīng)力空間內(nèi)屈服曲面是正交于平面的柱面，其與平面的截線就是屈服跡線。 Mises屈服條件實(shí)際上是 (9-3-10)它是平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，以為半徑的圓；在應(yīng)力空間內(nèi)，這是一個(gè)以靜水應(yīng)力線為中心軸、半徑為的圓柱面。相應(yīng)地，Tre

8、sca屈服曲面是以靜水應(yīng)力線為中心軸正交于平面的正六邊棱柱面。如果都用簡單拉伸測，則Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓。9-4 相繼屈服函數(shù) 相繼屈服函數(shù)一般稱為加載函數(shù)，是物質(zhì)強(qiáng)化規(guī)律的數(shù)學(xué)表述。相繼屈服函數(shù)的具體形式是(經(jīng)典)塑性力學(xué)至今仍有待深入研究的問題之一。其一般形式可表示為 (9-4-1)此處表示內(nèi)變量，對(duì)于塑性物質(zhì)，內(nèi)變量可包括；此處未考慮溫度的影響，或者溫度作為一個(gè)參變量只影響物質(zhì)的特性常數(shù)。強(qiáng)化參數(shù)可采用如下的正值函數(shù)： 塑性功 (9-4-2)為單位體積的塑性功率，即塑性耗散功率，它是塑性物質(zhì)的耗散函數(shù)。 (9-4-3)在空間內(nèi)，式(9-4-1)表示一個(gè)固定的曲面。應(yīng)力狀態(tài)

9、使時(shí)，物質(zhì)處于相繼彈性狀態(tài)，過程是彈性的，即 (9-4-4)是四階張量，且有 (9-4-5)是四階彈性張量。應(yīng)力狀態(tài)使得時(shí)，物質(zhì)處于彈塑性狀態(tài)。是不可能的。 相繼屈服曲面也可看作應(yīng)力空間內(nèi)以為參變量的曲面族，記作 (9-4-6)不變，曲面不變。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位在此曲面之內(nèi)時(shí)，狀態(tài)變化，不變，從而，物質(zhì)呈現(xiàn)相繼彈性。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)位在此曲面之上，且狀態(tài)變化應(yīng)力點(diǎn)不脫離此曲面時(shí)，不變，從而，稱為中性變載；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從此曲面向內(nèi)移動(dòng)時(shí)，稱為卸載；當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從此曲面向外移動(dòng)時(shí)，這表示應(yīng)力點(diǎn)從曲面移到另一曲面，稱為加載。加載、中性變載和卸載過程如圖9-6所示，或用式子表示如下 (9-4-7) 當(dāng)時(shí)，物質(zhì)是初始彈性的，相

10、繼屈服函數(shù)退化為初始屈服函數(shù)。 (9-4-8)圖9-6因此，隨著塑性變形的發(fā)展，初始屈服曲面在應(yīng)力空間內(nèi)如何變化是建立相繼屈服函數(shù)的關(guān)鍵。 當(dāng)前廣為應(yīng)用的相繼屈服函數(shù)或強(qiáng)化理論有： 等向強(qiáng)化理論 加載函數(shù)中不包含，初始屈服曲面隨增長而比例擴(kuò)大，且只脹不縮，即 (9-4-9)的單調(diào)增函數(shù)。 隨動(dòng)強(qiáng)化理論 加載函數(shù)中不包含，在塑性變形發(fā)展過程中，初始屈服曲面的大小和形狀不變，只在應(yīng)力空間平移，即 (9-4-10)式中是初始屈服曲面的中心在應(yīng)力空間的位移量。設(shè) (9-4-11)就得到線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型。 混合強(qiáng)化理論 認(rèn)為隨著塑性變形的發(fā)展，初始屈服曲面在應(yīng)力空間內(nèi)既按比例擴(kuò)大，又發(fā)生平移，相繼屈服函

11、數(shù)為 (9-4-12)9-5 塑性公設(shè) 塑性本構(gòu)關(guān)系 (1) 物質(zhì)的穩(wěn)定性假設(shè) 在單軸拉伸情況下，如果曲線滿足下列不等式 (9-5-1)則稱物質(zhì)是穩(wěn)定的。推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)，穩(wěn)定物質(zhì)應(yīng)滿足的條件為 (9-5-2) (9-5-3)第一式要在應(yīng)力(或應(yīng)變)空間內(nèi)應(yīng)力(或應(yīng)變)路徑是直線段。 (2) Drucker公設(shè) 在應(yīng)力空間內(nèi)的任何應(yīng)力循環(huán)中，物質(zhì)單元的余功不為正 (9-5-4)則稱物質(zhì)滿足Drucker公設(shè)。應(yīng)力循環(huán)是指在應(yīng)力空間內(nèi)應(yīng)力路徑是閉曲線，但應(yīng)變路徑則不必是封閉的。與式(9-5-4)等價(jià)的不等式為 (9-5-5)即在應(yīng)力循環(huán)中，如果物質(zhì)單元的凈功不為負(fù)，則物質(zhì)滿足Drucker公設(shè)

12、 (3) Ilusion公式 在應(yīng)變空間內(nèi)的任何應(yīng)變循環(huán)中，物質(zhì)單元的功不為負(fù) (9-5-6)則稱物質(zhì)滿足Ilusion公設(shè)。與上式等價(jià)的不等式為 (9-5-7) (4) 屈服曲面的外凸性 正交流動(dòng)法則 由式(9-5-5)可以導(dǎo)出 (9-5-8) (9-5-9)由后一式又可導(dǎo)出 (9-5-10) 式(9-5-10)與穩(wěn)定性的式(9-5-3)一致，而Durcker公設(shè)原來正是作為穩(wěn)定非彈性物質(zhì)的定義而提出來的。 在一維應(yīng)力狀態(tài)下，Drucker公設(shè)等價(jià)于 (9-5-11) 所有以上不等式都可將增量改為“率”，因?yàn)樗苄晕镔|(zhì)的行為與時(shí)間無關(guān)，即有 (9-5-12) (9-5-13) 由式(9-5-1

13、2)可以推出兩個(gè)重要的結(jié)論：屈服曲面處處外凸；設(shè)屈服曲面在某點(diǎn)處是光滑的，則對(duì)應(yīng)于該應(yīng)力點(diǎn)的塑性應(yīng)變率與屈服曲面在該點(diǎn)處正交，且指向屈服曲面之外。于是可以寫成 (9-5-14)上式稱為塑性本構(gòu)關(guān)系的正交流動(dòng)法則，簡稱正交法則。由于屈服函數(shù)具有勢函性質(zhì)，所以式(9-5-14)又稱為與屈服條件相關(guān)連的塑性位勢理論。 記相繼屈服函數(shù)為，一致性方程為 (9-5-15)式中。將式(9-5-14)代入上式，可以解出 (9-5-16)如果取，則 (9-5-17) 對(duì)于理想塑性物質(zhì)，則有 (9-5-18)的值為 (9-5-19)或 (9-5-20)此處次齊次函數(shù)，。 從Ilusion公設(shè)出發(fā)，且設(shè) (9-5-

14、21)分別是彈性和塑性應(yīng)力率(參見9-7節(jié))。按類似步驟可以導(dǎo)出應(yīng)變空間內(nèi)屈服函數(shù)但指向屈服曲面之內(nèi)，即有 (9-5-22)此處要求屈服曲面的應(yīng)變點(diǎn)使。9-6 粘塑性物質(zhì) 物質(zhì)不僅出現(xiàn)屈服和(塑性)流動(dòng)，而且呈現(xiàn)粘性效應(yīng)時(shí)，稱為粘塑性物質(zhì)。一般可認(rèn)為，物質(zhì)只在塑性變形中呈現(xiàn)粘性，稱為彈粘塑性物質(zhì)。 (1) Bingham體 這是一個(gè)比擬模型，如圖9-7(a)所示(a) (b)圖9-7模型中包含一個(gè)塑性元件，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖9-7(b)，屬剛性理想塑性。在此模型中本構(gòu)方程為 (9-6-1)當(dāng)，由上式可得 (9-6-2)上式表明 。 當(dāng)為動(dòng)態(tài)屈服極限；當(dāng)為靜態(tài)屈服極限。 稱為過應(yīng)力(overst

15、ress)，在線性場合，過應(yīng)力正比于應(yīng)變率。 當(dāng)，稱物質(zhì)不呈現(xiàn)應(yīng)變率敏感性；但動(dòng)態(tài)屈服極限，粘性元件變?yōu)閯傂栽?上述結(jié)果如圖9-8所示(a) (b)圖9-8 關(guān)系式(9-6-1)可視作不可壓縮粘性流體的極限情況，并由此可推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)，得到 (9-6-3)上式兩側(cè)自乘，可得當(dāng)稱為剪應(yīng)力強(qiáng)度；所以當(dāng) (9-6-4)物質(zhì)呈現(xiàn)剛性為有限的不定值。時(shí)，物質(zhì)呈現(xiàn)粘性流動(dòng)，同號(hào)。式(9-6-3)表明，當(dāng)由兩部分構(gòu)成 (9-6-5) (9-6-6)物質(zhì)的屈服條件為 (9-6-7)式(9-6-3)和(9-6-4)是Hohenemser和Prager建立的。 式(9-6-3)可寫作 (9-6-8)我們又

16、回到不可壓縮粘性流體的擬線性本構(gòu)關(guān)系(式8-1-28)。 上式表明，同軸。如果用主應(yīng)力表示，且為小變形情況，則式(9-6-8)的展開式為 (9-6-9)或者寫成 (9-6-10)由式(9-6-3)可求出Bingham體的耗散函數(shù) (9-6-11)其中第一項(xiàng) (9-6-12)是不可壓縮Newton流體的耗散函數(shù)；第二項(xiàng) (9-6-13)是Mises屈服條件下理想塑性體的耗散函數(shù)。 (2) Perzyna粘塑性本構(gòu)方程 下面介紹幾種反映應(yīng)變率效應(yīng)的粘塑性本構(gòu)方程 Hohenemser和Prager方程 (9-6-14)式中為粘性系數(shù)；這里是采用Mises屈服條件。 Freudenthal方程(在上

17、式中加入彈性應(yīng)變率偏量) (9-6-15)式中分別是剪切彈性模量和體積彈性模量。 Perzyna方程 (9-6-16) (9-6-17)為靜力屈服條件。這里是采用Mises屈服條件。時(shí)，其值相當(dāng)于過應(yīng)力。在對(duì)求導(dǎo)后，上式變?yōu)?(9-6-18)其中 (9-6-19)式中對(duì)應(yīng)的物質(zhì)特性常數(shù)。 由以上各式可以導(dǎo)出 (9-6-20)上式稱為動(dòng)力屈服條件，的反函數(shù)。于是式(9-6-19)可寫作 (9-6-21)當(dāng)，物質(zhì)沒有粘性效應(yīng)，以上兩式分別簡化為 (9-6-22) Perzyna方程可推廣到 (9-6-23)為常數(shù)。此時(shí)，有 (9-6-24)上列第二式為動(dòng)力屈服條件。還可將Perzyna方程推廣到強(qiáng)

18、化物質(zhì)；例如對(duì)于各向同性強(qiáng)化，取 (9-6-25)相應(yīng)的動(dòng)力屈服條件為 (9-6-26)9-7 彈塑性本構(gòu)方程的內(nèi)變量表述 塑性和粘性物質(zhì)的行為是過程相關(guān)的，因此要用基本變量(設(shè)為小變形)，和內(nèi)變量的現(xiàn)時(shí)值才能唯一描述其力學(xué)狀態(tài)。對(duì)于(熱)彈塑性物質(zhì)的本構(gòu)方程，有應(yīng)變空間表述(以為基本狀態(tài)變量)和應(yīng)力空間表述(以為基本狀態(tài)變量)兩種，即 (9-7-1) (9-7-2)后一種表述方法有其不方便處，因?yàn)樵趹?yīng)力空間內(nèi)，屈服曲面將可能隨塑性變形的發(fā)展而(局部)擴(kuò)大(物質(zhì)處于強(qiáng)化階段)、(局部)駐定(理想塑性)或(局部)縮小(弱化階段)。在應(yīng)變空間內(nèi)屈服曲面恒隨塑性變形發(fā)展而擴(kuò)大，因此在問題的表述上有其

19、優(yōu)越性。以下用表示內(nèi)變量作為參變量不引入函數(shù)中。于是有 (9-7-3) (9-7-4)當(dāng)固定時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)在來求應(yīng)力率和應(yīng)變率。 (9-7-5)式中 (9-7-6)分別稱為彈性應(yīng)力率和塑性應(yīng)力率，及 (9-7-7)分別稱為彈性應(yīng)變率和塑性應(yīng)變率；的對(duì)稱性；同時(shí)假定具有如下的對(duì)稱性 (9-7-8)互為逆張量，即有 (9-7-9) 一般地的函數(shù)，而且與內(nèi)變量有關(guān)，即彈性和塑性是耦合的。在小變形情況下，可以假定彈性和塑性不耦合，及為常數(shù)張量，它們只依賴于物質(zhì)的彈性性質(zhì)。于是有下列關(guān)系 (9-7-10)其中 (9-7-11)只是內(nèi)變量的函數(shù)；即應(yīng)力和應(yīng)變都可分解為彈性和塑性兩部

20、分，彈性部分與內(nèi)變量無關(guān)，塑性部分只是內(nèi)變量的函數(shù)。在一維應(yīng)力狀態(tài)下，如圖9-9所示，由圖可見圖9-9 (9-7-12) 將式(9-7-5)的第二式代入第一式，以及反過來，將第一式代入第二式，并應(yīng)用式(9-7-9)，可分別得到 (9-7-13)上式與式(9-7-12)一致。 按內(nèi)變量表述法(參閱第6章)，在不考慮熱傳導(dǎo)時(shí)，應(yīng)變空間表述的彈塑性本構(gòu)方程為 (9-7-14)熵不等式為 (9-7-15)此處已引入塑性變形過程中的內(nèi)變量為 在式(9-7-14)中，稱為外變量，是內(nèi)變量。在塑性變形過程中，加載過程意味著塑性應(yīng)變連續(xù)發(fā)展，。定義一個(gè)加載率，它是外變量的線性函數(shù)。 (9-7-16) 取演化方

21、程為 (9-7-17) 彈塑性物質(zhì)的行為是時(shí)間無關(guān)的，因此在演化方程中，變量的變率應(yīng)是齊次的。于是可進(jìn)一步假設(shè) (9-7-18)式中。 應(yīng)變空間內(nèi)的相繼屈服函數(shù)為 (9-7-19)一致性方程為 (9-7-20)上式右側(cè)的前二項(xiàng)是內(nèi)變量不發(fā)生變化時(shí)屈服函數(shù)的變化，記作 (9-7-21)將上式與式(9-7-16)比較，可取 (9-7-22)將上式及式(9-7-18)代入一致性方程(式9-7-20)，可以求出 (9-7-23)最后得到熱彈塑性本構(gòu)方程的內(nèi)變量及應(yīng)變空間表述為 (9-7-24) (9-7-25) (9-7-26)式中 (9-7-27) 要進(jìn)一步建立具體的本構(gòu)方程，必需通過理論或?qū)嶒?yàn)確實(shí)

22、及的表達(dá)式。例如，由強(qiáng)化規(guī)律來確定：如果如果則。經(jīng)常取。 在等溫過程，可由塑性公設(shè)確定。根據(jù)Ilusion公設(shè)，可取 (9-7-28) 在小變形情況下，有于是可以寫出等溫過程 、功強(qiáng)化物質(zhì)應(yīng)變空間表述的本構(gòu)方程為 (9-7-29)或者 (9-7-30)由上式可解出 (9-7-31) 如果采用應(yīng)力空間描述，設(shè)屈服函數(shù)為 (9-7-32)一致性方程為 (9-7-33)令 (9-7-34)對(duì)于強(qiáng)化材料，有 (9-7-35)式(9-7-18)依然有效，將它們及式(97-34)代入(9-3-33)，解出 (9-7-36)式中的函數(shù)。最后可得到熱彈塑性本構(gòu)方程的應(yīng)力空間表述為 (9-7-37) (9-7-

23、38) (9-7-39) 在等溫過程，根據(jù)Drucker公設(shè)，應(yīng)取 (9-7-40)的表述式與應(yīng)變空間表述中相同。于是應(yīng)力空間表述的彈塑性本構(gòu)方程為(等溫過程) (9-7-41)上式只適用于強(qiáng)化材料 可進(jìn)一步導(dǎo)出 (9-7-42)設(shè)，則在一維應(yīng)力狀態(tài)下， (9-7-43)由此可見，在應(yīng)變空間中(加載)，而在應(yīng)力空間中，則 (9-7-44)(二) 習(xí)題和解答 9-1 在一維應(yīng)力狀態(tài)下，設(shè)有下列關(guān)系 (a)試用應(yīng)變表示，設(shè)彈性塑性不耦合。 解 在彈性和塑性不耦合的情況下，彈性模量為常數(shù)。以遍乘式(a)的第一式，并注意到，可以得到式中 (b) 9-2 設(shè)塑性物質(zhì)的屈服函數(shù)為式中是比塑性功率；證明塑性

24、本構(gòu)方程為 (a) 解 首先要證明(請(qǐng)讀者自行證明) 根據(jù)正交流動(dòng)法則，有 (b)式中 (c)根據(jù)一致性方程，得 (d)由于是應(yīng)力分量的二次齊次函數(shù)，故有將上列有關(guān)式代入一致性方程(d)，得到的上列表達(dá)式及式(c)代入式(b)，即得式(a)。證畢。 9-3 設(shè)彈-粘塑性本構(gòu)方程為保持不變；求。 解 在階段在期間，積分上式，得或者積分上式或者9-4 設(shè)有平面應(yīng)力狀態(tài)為常數(shù)。求等效塑性應(yīng)變?cè)隽考八苄怨υ隽俊?解 題給平面應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，此時(shí)，Mises條件和Tresca條件一致，即有按正交流動(dòng)法則，得到于是 9-5 對(duì)于各向同性強(qiáng)化材料，相繼屈服函數(shù)為；如果采用Mises屈服條件，上式變?yōu)?(a

25、) 對(duì)于彈-粘塑性材料，按照Perzyna理論，動(dòng)態(tài)屈服函數(shù)為 (b)試比較屈服函數(shù)(a)和(b)力學(xué)意義的異同。 解 式(a)和式(b)的相同點(diǎn)是兩個(gè)屈服曲面都是對(duì)應(yīng)于Mises屈服條件，在應(yīng)力空間內(nèi)都是幾何相似地(中心不動(dòng))變化的；其不同點(diǎn)是：式(a)中的，所以各向同性強(qiáng)化曲面不僅是按比例擴(kuò)大，而且只脹不縮；式(b)中的的變化而變化的，動(dòng)屈服曲面可脹可縮，但不能小于初始屈服曲面。 9-6 說明Drucker公設(shè)和Ilusion塑性公設(shè)對(duì)單軸拉伸曲線的限制。 設(shè)是應(yīng)變循環(huán)中應(yīng)力的改變，即從狀態(tài)，。證明Ilusion公設(shè)又可寫作 解 (1) 由Drucker積分不等式已經(jīng)導(dǎo)出；在單軸拉伸時(shí)，只

26、，上式簡化為 (a)式中是拉伸曲線的切線模量。由上式可得上式表明Drucker公設(shè)要求拉伸曲線的切線模量不大于彈性模量，不小于零。 類似地由Ilusion塑性公設(shè)的積分不等式，可以導(dǎo)出單軸拉伸時(shí)，積分不等式簡化為。由此可導(dǎo)出其中，于是上式可寫成于是上列不等式又可寫成上式要求。 (2) 不等式式中，于是由上式可得式中是應(yīng)變循環(huán)中應(yīng)力的改變值，即。于是原不等式可寫成如果定義，則上式改為而Drucker公設(shè)的不等式為。 9-7 非線性隨動(dòng)強(qiáng)化理論可用以研究循環(huán)載荷作用下材料的力學(xué)性能，其中比較有代表性的是Armstrong-Prederick模型，即在中，。其中求塑性本構(gòu)方程，假定材料是經(jīng)受小變形。

27、 解 根據(jù)正交流動(dòng)法則一致性方程為 (b)式中將上列有關(guān)系式代入一致性方程，可以求出記則得到， (c)將式(c)代入式(a)，得到塑性本構(gòu)方程。 (d) 設(shè)塑性變形不引起體積變化，則。于是=或者積分上式，且設(shè)得到 由于塑性是時(shí)間無關(guān)的，所以塑性本構(gòu)方程必須是時(shí)間的齊次函數(shù)，故而應(yīng)令即是偏張量。常稱為“背應(yīng)力”。 9-8 在上題中，設(shè)，證明這個(gè)非線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型與雙屈服曲面模型一致。 解 由關(guān)系式=可得令上式兩側(cè)自乘，并注意到，有式中，于是由上式可得 (a) 由任一瞬時(shí)的加載函數(shù)，可得不等式由一般不等式可得或者 (b)這又可寫成 (c) 表示循環(huán)加載過程中的一個(gè)極限曲面；而任一時(shí)刻的加載曲面為 (d)易證極限曲面之內(nèi)。這表明，在循環(huán)加載過程中，應(yīng)力狀態(tài)必然位在極限曲面之內(nèi)的某一屈服曲面之上，這個(gè)結(jié)論與Dafalias-Popov的雙屈服曲面理論一致。 9-9 設(shè)屈服函數(shù)為是的函數(shù)。按正交流動(dòng)法則，