211隨機變量及其分布

1、ch2 ch2 隨機變量的分布和數(shù)字特征隨機變量的分布和數(shù)字特征2.1 2.1 隨機變量及其分布隨機變量及其分布引例引例: :.,:)(觀觀察察其其出出現(xiàn)現(xiàn)的的點點數(shù)數(shù)擲擲一一顆顆骰骰子子11 e,6543211.:)(數(shù)數(shù)位位時時間間內內收收到到的的呼呼喚喚次次某某地地區(qū)區(qū)電電話話交交換換臺臺在在單單22 e,32102.,:)(測測試試它它的的壽壽命命只只在在一一批批燈燈泡泡中中任任意意取取一一33 e03tt.,:)(的的情情況況觀觀察察其其正正面面和和反反面面出出現(xiàn)現(xiàn)拋拋一一枚枚均均勻勻硬硬幣幣44 e,反面反面正面正面4)(x出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面10.,:)(直直到到首首

2、次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面為為止止拋拋一一枚枚均均勻勻硬硬幣幣55 e),( ,),(),( ,正正反反反反正正反反反反正正反反正正52.1.1 2.1.1 隨機變量的概念隨機變量的概念.)(.)(,.,:一一個個實實值值函函數(shù)數(shù)上上的的是是定定義義在在則則與與之之對對應應都都有有唯唯一一的的實實數(shù)數(shù)如如果果對對于于每每一一個個是是其其樣樣本本空空間間是是一一個個隨隨機機試試驗驗設設xxxedef.,)(xx簡簡記記為為為為隨隨機機變變量量那那么么我我們們稱稱這這種種變變量量)(x000100101143210001001011.,個個基基本本特特征征具具有有變變異異性性和和隨隨機機性性兩兩表表示示

3、或或隨隨機機變變量量常常用用zyx例例1 1:.:連續(xù)進行兩次射擊連續(xù)進行兩次射擊隨機試驗隨機試驗e.)(.,),(),(),(),(表表示示擊擊中中目目標標的的次次數(shù)數(shù)表表示示擊擊中中目目標標表表示示未未擊擊中中目目標標其其中中樣樣本本空空間間x10110110004321)(x211043211.1.定義定義例例2 2:,:個球個球中任取中任取個白球個白球和和個黑球個黑球從含有從含有隨機試驗隨機試驗33232121bbbaae.)(,個個球球中中所所含含黑黑球球個個數(shù)數(shù)表表示示取取出出樣樣本本空空間間310321x)(x)(x),(1211baa),(2212baa),(3213baa),

4、(2114bba),(3115bba),(3216bba),(2127bba),(3128bba),(3229bba),(32110bbb2221111110)( ,)(,11xxxx可記為可記為可記為可記為一般的一般的,:10542黑黑球球取取出出的的球球中中最最多多有有一一個個事事件件中中如如例例a)(1xa)(y)(y),(1211baa),(2212baa),(3213baa),(2114bba),(3115bba),(3216bba),(2127bba),(3128bba),(3229bba),(32110bbb1112222223注1.1.隨機試驗的隨機變量并不是唯一的隨機試驗的隨

5、機變量并不是唯一的, ,是人為定義是人為定義的的.2.2.隨機變量把試驗的每一個結果可唯一對應一隨機變量把試驗的每一個結果可唯一對應一個實數(shù)個實數(shù), ,但是一個實數(shù)并不對應唯一的試驗結果但是一個實數(shù)并不對應唯一的試驗結果. .)(,也也是是一一個個隨隨機機變變量量則則球球個個數(shù)數(shù)表表示示所所取取出出球球中中所所含含白白若若令令同同理理yy變異性與變異性與隨機性隨機性2. 2. 隨機變量的分類隨機變量的分類.:)(個個值值是是有有限限個個或或無無窮窮可可列列隨隨機機變變量量的的所所有有可可能能取取離離散散型型1.,:)2(是是連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量其其中中最最簡簡單單的的列列舉舉所所有有可

6、可能能取取值值不不能能一一一一非非離離散散型型.,:甚甚至至于于整整個個實實數(shù)數(shù)軸軸上上的的某某個個區(qū)區(qū)間間其其取取值值可可能能充充滿滿實實數(shù)數(shù)軸軸連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量2.1.2 2.1.2 離散型隨機變量的概率分布離散型隨機變量的概率分布.,:.為為離離散散型型隨隨機機變變量量則則稱稱個個或或無無窮窮可可列列個個的的所所有有可可能能取取值值是是有有限限如如果果隨隨機機變變量量定定義義xx1).(,), 2 , 1(,:. 2列列簡簡稱稱分分布布律律的的概概率率分分布布又又稱稱的的概概率率函函數(shù)數(shù)為為稱稱可可能能取取的的一一切切值值為為設設離離散散型型隨隨機機變變量量概概率率函函數(shù)數(shù)的

7、的定定義義xxkpxxpxxkkkxpkxxx21kppp21.,些些值值時時的的概概率率一一切切可可能能取取值值以以及及取取這這的的就就是是要要找找出出量量的的分分布布律律要要求求一一個個離離散散型型隨隨機機變變從從定定義義可可知知x: )(概率分布表概率分布表式式也可以寫成如下表格形也可以寫成如下表格形例例3 3:.的概率分布的概率分布中隨機變量中隨機變量求例求例x2.,:個個數(shù)數(shù)這這的的可可能能取取值值為為基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)為為解解321035xc210335332332,:,.,kccckxpxcckkxkkkk的的概概率率分分布布為為所所以以個個基基本本事事件件則則含含有有個個

8、黑黑球球個個球球中中有有表表示示取取出出的的事事件件103106101210px:其其概概率率分分布布表表為為3. 3.離散型隨機變量概率分布的性質離散型隨機變量概率分布的性質)()()(,)(:歸一性歸一性非負性非負性基本性質基本性質122101nnnnpnxxpp.,隨隨機機變變量量的的概概率率分分布布散散型型則則一一定定可可以以成成為為一一個個離離滿滿足足上上面面兩兩式式若若某某一一數(shù)數(shù)列列反反之之np例例4 4:.,.,概概率率分分布布這這個個隨隨機機變變量量的的求求取取到到球球上上號號碼碼反反比比的的概概率率與與球球上上的的號號碼碼成成假假定定取取到到各各個個球球從從中中任任取取一一

9、個個的的球球若若干干個個袋袋中中有有標標號號為為x4321),(,:04321144321nnnxppxn則則個值個值共共可取可取解解2512112251432141,:,:解得解得即即質質則由概率函數(shù)的基本性則由概率函數(shù)的基本性nnp:,的的概概率率分分布布表表如如下下得得到到中中代代入入到到將將xpn251225325425625124321px的概率？的概率？碼不超過碼不超過思考：取到的球上的號思考：取到的球上的號3252225425625123213xpxpxpxp大部分情況，我們往往關注隨機變量的取值落入某一范大部分情況，我們往往關注隨機變量的取值落入某一范圍的概率，尤其對于連續(xù)型隨

10、機變量（因為不可數(shù)）圍的概率，尤其對于連續(xù)型隨機變量（因為不可數(shù)）.2.1.3 2.1.3 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)1.1.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義.)()(,:為隨機變量的分布函數(shù)為隨機變量的分布函數(shù)則稱函數(shù)則稱函數(shù)是任意一個隨機變量是任意一個隨機變量設設xxpxfrxxdef易見，離散型隨機變量概率函數(shù)與分布函數(shù)的關系易見，離散型隨機變量概率函數(shù)與分布函數(shù)的關系xxkkpxxpxf)(例例5 5:.的分布函數(shù)的分布函數(shù)中隨機變量中隨機變量求例求例x2:中中求求出出的的分分布布律律已已在在例例解解3x103106101210px21211071010100 xxxxxxpxf

11、x)(:的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為則則110721101x)(xfp41.,反反之之亦亦成成立立時時的的概概率率跳跳躍躍度度是是取取值值為為的的可可能能取取值值是是其其跳跳躍躍點點數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)是是右右連連續(xù)續(xù)的的階階梯梯函函離離散散型型隨隨機機變變量量的的分分布布kkkpxxx例例6 6:.)(的概率分布的概率分布求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)設隨機變量設隨機變量xxxxxxxfx2120210210325515021102101512025px解解：2. 2. 分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質)()(,:.21211xfxfxx則則若若單調不減性單調不減性)()()()(:,:212121xfbpapx

12、fbaxxxxbxxapr由概率的性質由概率的性質則則若若記記事實上事實上10102)(lim)(,)(lim)(,)(.xffxffxfxx且且)()(lim)(,:.,)(:.xfyfxfrxxfxy003即即續(xù)續(xù)的的且且在在其其間間斷斷點點處處是是右右連連有有至至多多可可列列個個間間斷斷點點右右連連續(xù)續(xù)性性.,),(,機變量的分布函數(shù)機變量的分布函數(shù)則一定可以稱為某個隨則一定可以稱為某個隨條性質條性質若滿足上述若滿足上述一個實值函數(shù)一個實值函數(shù)反之反之條性質條性質有上述有上述隨機變量的分布函數(shù)具隨機變量的分布函數(shù)具33rxxf)()(afaxpaxp112)()(axpafaxp3)()(0114afaxpaxp例例7 7:.,),()(34210xpxpxxfxxnn及及求求的正整數(shù)求和的正整數(shù)求和一切不大于一切不大于其中求和是對其中求和是對如圖如圖的分布函數(shù)的分布函數(shù)已知隨機變量已知隨機變量4321321)()()(afbfaxpbxpbxap13. 3.由分布