河海大學理學院高等數(shù)學118正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

1、 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 河海大學理學院河海大學理學院第四節(jié) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)(2) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)(1)(1)當周期為當周期為 2的奇函數(shù)的奇函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù)時時, ,它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般說來一般說來, ,一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有一個函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項正弦項, ,又含有余弦項又含有余弦項. .但是但是, ,也有一些函數(shù)的也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者余弦項傅里葉級數(shù)只含有正弦項或

2、者余弦項. .只含有只含有正弦項正弦項(或余弦項或余弦項)的三角級數(shù)稱為的三角級數(shù)稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù)(余余弦級數(shù)弦級數(shù)). 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）( (2 2) )當當周周期期為為 2的的偶偶函函數(shù)數(shù))(xf展展開開成成傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)時時, ,它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為), 2, 1(0), 2, 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann證明證明,)()1(是是奇奇函函數(shù)數(shù)設設xf nxdxxfancos)(10 ),3,2, 1 ,0( n奇函數(shù)奇函數(shù) 0sin)(2nxdxxf),3,2, 1( n nxdxxfbnsin)(1偶函數(shù)偶函數(shù) 高等數(shù)學（下）高

3、等數(shù)學（下）于是于是), 2 , 1 , 0(, 0 nan解解 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn),2,1( n 2 2 3 3xy0和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）f（x）的的 f級數(shù)：級數(shù)：,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),() 12(xfkxx處收斂于在其它點.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)(xf 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）)5sin514sin413

4、sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀觀察察兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖形形 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例 2 2 將將周周期期函函數(shù)數(shù)tetusin)( 展展開開成成傅傅氏氏級級數(shù)數(shù), ,其其中中e是是正正常常數(shù)數(shù). .解解 所給函數(shù)滿足狄利克雷收斂條件所給函數(shù)滿足狄利克雷收斂條件, , 在整個數(shù)軸上連續(xù)在整個數(shù)軸上連續(xù). .,)( 為偶函數(shù)為偶函數(shù)tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2e 0sin2tdte,4 e), 2 , 1( n 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdtte 0)1sin()1sin(dttn

5、tne 12, 02, 1)2(42knknke當當當當),2,1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntne)1( n:注注意意.,的的化化簡簡問問題題關關于于傅傅氏氏系系數(shù)數(shù)nnba 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 01cos)(2tdttua 0cossin2tdtte, 0 )(tu)( t.142cos21212 nnnte 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）二、函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)).(2, 0)(xfxf函函數(shù)數(shù)為為周周期期的的延延拓拓成成以以上上定定義義在在設設 ,0)(0)()( xxgxxfxf令令),()2(xfxf 且且. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓 高等數(shù)學（下

6、）高等數(shù)學（下）奇延拓奇延拓: :)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxf則則xy0 的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxf則則的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)( xxxf分分別別展展開開成成正正弦弦級級數(shù)數(shù)和和余余弦弦級級數(shù)數(shù). .解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .,)(進進行行奇奇延延拓拓對對xf 0sin)(2nxd

7、xxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn) 1)(1(1 2nn 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）)0( x5sin) 2(514sin43sin) 2(312sin2sin) 2(2xxxxxy 1 xy1sin)1)(1(1 21nnnxnx 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）(2)(2)求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .,)(進進行行偶偶延延拓拓對對xf 00)1(2dxxa,2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nnnxnxnncos1)1(212112)0( x1)1(22nn 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）1 xy)7cos715cos513cos31(cos4

8、12222xxxxy 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）三、小結1 1、基本內容、基本內容: :奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù); ;正弦級數(shù)與余正弦級數(shù)與余弦級數(shù)弦級數(shù); ;非周期函數(shù)的周期性延拓非周期函數(shù)的周期性延拓; ;2 2、需澄清的幾個問題、需澄清的幾個問題.(.(誤認為以下三情況正確誤認為以下三情況正確) )a.a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù)只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù); ;2, 0.的的傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)唯唯一一展展成成周周期期為為上上在在 b).(,.xfc級級數(shù)數(shù)處處處處收收斂斂于于值值點點時時上上連連續(xù)續(xù)且且只只有有有有限限個個極極在在 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）思考題思