雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)——兩種方法

1、.雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)Oxy如圖建立直角坐標(biāo)系，其x軸上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)與的點(diǎn)為兩波源。這兩個(gè)波源的振動(dòng)情況完全相同，則這兩個(gè)波源發(fā)生干涉時(shí)的加強(qiáng)區(qū)為到兩個(gè)波源的距離差為波長(zhǎng)整數(shù)倍（零除外）的雙曲線簇。其中、為所有雙曲線的公共焦點(diǎn)。這個(gè)雙曲線簇的方程為：Oxy用直線去截這簇雙曲線，直線與雙曲線的交點(diǎn)為加強(qiáng)的點(diǎn)。將代入雙曲線簇的方程，有：解得：上式中，d的數(shù)量級(jí)為，為。故，x的表達(dá)式簡(jiǎn)化為：其中的數(shù)量級(jí)為，d的數(shù)量級(jí)為。故，x的表達(dá)式簡(jiǎn)化為：可見(jiàn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)成一等差數(shù)列，公差為，這說(shuō)明：（1）條紋是等間距的；（2）相鄰兩條紋的間距為。至此，證明了條紋間距公式：。楊氏雙

2、縫干涉條紋間距到底是不是相等的？海軍航空工程學(xué)院 李磊 梁吉峰 選自物理教師2008年第11期在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，在現(xiàn)行的高中物理教科書(shū)中得出相鄰的明紋（或者暗紋）中心間距為：xL/d，其中L為雙縫與屏的間距，d為雙縫間距，對(duì)單色光而言，其波長(zhǎng)為定值，所以我們得出的結(jié)論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋，但是在現(xiàn)行的高中物理教科書(shū)中所給的干涉條紋的照片卻并非如此，如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的，但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問(wèn)題到底出在哪里呢？首先我們來(lái)看現(xiàn)行的教科書(shū)上對(duì)于楊氏雙縫干涉的解釋，如圖2。設(shè)定雙縫S1、S2的間距為d，

3、雙縫所在平面與光屏P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L(zhǎng)，我們?cè)谄辽先稳∫稽c(diǎn)P1，設(shè)定點(diǎn)P1與雙縫S1、S2的距離分別為r1和r2，O為雙縫S1、S2的中點(diǎn)，雙縫S1、S2的連線的中垂線與屏的交點(diǎn)為P0，設(shè)P1與P0的距離為x，為了獲得明顯的干涉條紋，在通常情況下Ld，在這種情況下由雙縫S1、S2發(fā)出的光到達(dá)屏上P1點(diǎn)的光程差r為S2Mr2r1dsin， （1）其中也是OP0與OP1所成的角。因?yàn)閐L，很小，所以sintan （2）因此rdsind當(dāng)rdk時(shí)，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2， （3）當(dāng)rd（k）時(shí)，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中是k0，1，2，。 （3）我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋

4、的中心位置。當(dāng)xk時(shí)，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2，。 （4）當(dāng)x（k）時(shí)，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k0，1，2，。 （4）我們還可以算出相鄰明條紋（或者暗條紋）中心問(wèn)的距離為xxk1xk。 （5）至此我們得出結(jié)論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問(wèn)題就在于以上的推導(dǎo)過(guò)程中，我們用過(guò)兩次近似，第1次是在運(yùn)用公式rr2r1dsin的時(shí)候，此式近似成立的條件是S1P1S2很小，因此有S1MS2P1，S1MOP1，因此P0OP1S2S1M，如果要保證S1P1S2很小，只要滿足dL即可，因此rdsin是滿足的。第2次近似是因?yàn)閐L，很小，所以sintan。下面我們通過(guò)表1來(lái)比較sin與tan的數(shù)值。表

5、11234567sin0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tan0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784891011sin0.1391730.1564340.1736480.190808tan0.1405400.1583840.1763260.194380從表1中我們可以看出當(dāng)6時(shí)，0.6%。因此當(dāng)6時(shí)，相對(duì)誤差就超過(guò)了0.6%，因此我們通常說(shuō)sintan成立的條件是5，當(dāng)5時(shí)，sintan就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，很小所對(duì)應(yīng)的條件應(yīng)該是

6、xL，這應(yīng)該對(duì)應(yīng)于光屏上靠近P0的點(diǎn)，在此種情況下上述的推導(dǎo)過(guò)程是成立的，干涉條紋是等間距的。而當(dāng)x較大時(shí)，也就是光屏上離P0較遠(yuǎn)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的角也較大，當(dāng)5時(shí)，sintan就不再成立，上述推導(dǎo)過(guò)程也就不完全成立了，（2）式就不能再用了。此時(shí)sin所以，rdsink，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2，rdsin（k），屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k0，1，2，。因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x，屏上表現(xiàn)為明條紋，其中k0，1，2，x，屏上表現(xiàn)為暗條紋，其中k0，1，2，。則相鄰的明條紋中心問(wèn)距為x明xk1明一xk明鄰暗條紋中心間距為x暗xk1暗一xk暗由上式可見(jiàn)相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了，這也正如教科書(shū)上的照片所示的條紋分布。下面我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)定量計(jì)算等間距條紋的條數(shù)。例1：用氦氖激光器（頻率為4.7