中考數(shù)學壓軸題專題銳角三角函數(shù)的經(jīng)典綜合題含答案

1、-銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖，AB是OO的直徑，點C, D是半圓0的三等分點，過點C作OO的切線交AD的 延長線于點E,過點D作DF丄AB于點F,交OO于點H,連接DC, AC.（1）求證：Z AEC=90；（2）試判斷以點A, O, C, D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；（3）若DC=2t求DH的長.（2）四邊形A0CD為菱形:（3）DH=2V7【解析】試題分析：（1）連接0C,根據(jù)EC與00切點C.則Z0CE二90。，由題意得,Z DAC=Z CAB,即可證明 AEII 0C,貝!|z AEC+Z OCE=180,從而得出Z AEC=90；（2）四邊形A0C

2、D為菱形.由（1）得 = 則Z DCA=Z CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC,即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）：（3）連接0D.根據(jù)四邊形AOCD為菱形，得A0AD是等邊三角形，則Z AOD=60,再由DFDH丄AB于點F, AB為直徑，在RtA OFD中，根據(jù)sinZ AOD=D,求得DH的長. 試題解析：（1）連接0C,EC與OO切點C,0C丄EC, Z OCE=90,點CD是半圓O的三等分點, Z DAC=Z CAB, OA=OC,.Z CAB=Z OCA, Z DAC=Z OCA, AEII OC （內(nèi)錯角相等，兩直線平行） Z

3、AEC+Z OCE=180.Z AEC=90：（2）四邊形AOCD為菱形理由是： Z DCA=Z CAB, CD II OA,又AEII OC,/.四邊形AOCD是平行四邊形， OA=OC,平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（3）連接0D.四邊形AOCD為菱形，. OA=AD=DC=2, OA=OD,. OA=OD=AD=2, OAD是等邊三角形， Z AOD二60,。日丄人8于點AB為直徑, DH二2DF,DF在 RtA OFD 中，sinZ AOD二。 DF=ODsinZ AOD二2sin60=g考點：1 切線的性質(zhì)2等邊三角形的判左與性質(zhì)3菱形的判立與性質(zhì)4解直

4、角三角形.2. （2013年四川攀枝花12分）如圖，在平而直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，ABH CD,點 B （10, 0） , C （7, 4）.直線 I 經(jīng)過 A, D 兩點，且 sinZ DAB二遲.動點 P在線段AB上從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動.同時動點Q從點B出發(fā)以每 秒5個單位的速度沿BTCTD的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線 ATDTC相交于點M,當P, Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設(shè)點 P，Q運動的時間為t秒（t0） , MPQ的而積為S（1）點A的坐標為,直線I的解析式為:（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并

5、寫出相應(yīng)的t的取值范圍：（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值：（4）隨著P, Q兩點的運動，當點M在線段DC運動時，設(shè)PM的延長線與直線I相交 于點N,試探究：當t為何值時，QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.【答案】解：（1） （ -4, 0） ； y二x+4.（2）在點P、Q運動的過程中：當0tl時，如圖 PE=PB - BE= (14 - 2t) - 3t=14 - 5t,S=-PM*PE=-x2tx (14- 5t) = - 5t2+14t.2 2當ltPE=-x2tx (16 - 7t) = - 7t2+16t.2 2當點M與點Q相遇時,DM+CQ二CD二7

6、,即(2t4) + (5t- 5) =7 解得 t=7當2MQ=-x4x (16 - 7t) = - 14t+32.22-5t2 + 14t(0t 1)綜上所述，點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為KJ +16t(lt2) -14t + 32| 2t |7丿/ 2(3)當 0VtG 時，S = -5t2 + 14t = -5t-|j +y ,7 V a=-50,拋物線開口向下，對稱軸為直線t=-,.當0tG時，S隨t的增大而增大.當t=l時，S有最大值，最大值為9./ 、2當 lt2 時，S = -7t2+16t=-7| t-|,I 7丿7QV a= - 70,拋物線開口向下，對稱軸為直線t二

7、亍，當t=3時，S有最大值，最大值為薦.77當 2VtV 孕時，S= - 14t+32.k=140, Z. S隨t的增大而減小.又當t=2時，S=4；當忖儀時，S=0, /. 0S Z DAB=45. OA=OD=4A （ 4, 0）2-4k + b = 0k = 1設(shè)直線I的解析式為：M+b,則有，解得：_ 2創(chuàng)點A坐標為（-4, 0）,直線I的解析式為：y=x+4.（2）弄淸動點的運動過程分別求解：當0tG時，如圖1：當lt2時，如圖2： 當2VtV孕時，如圖3.（3）根據(jù)（2）中求岀的S表達式與取值范用，逐一討論計算，最終確左S的最大值.（4）AQMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討

8、論：如圖4,點M在線段CD上，(5t - 5) =16 - 7t, MN=DM=2t - 4,由MN=MQ,得 4,解得“廠.I當忖丁或存二時，QMN為等腰三角形考點：一次函數(shù)綜合題，雙動點問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函 數(shù)值，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類 思想的應(yīng)用.3. 如圖，在矩形ABCD中，8=6cm, AD=8cm,連接BD,將 ABD繞3點作順時針方向 旋轉(zhuǎn)得到BQ與8重合），且點”剛好落在BC的延長上，AD與CD相交于點E.（1）求矩形&BCD與力80重疊部分（如圖中陰影部分ABCE）的面積；（2）將厶ABD以每秒2

9、cm的速度沿直線BC向右平移，如圖2.當?shù)V移動到C點時停止移 動.設(shè)矩形加CD與A8D，重疊部分的而積為y,移動的時間為x,請你直接寫出y關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍：（3）在（2）的平移過程中，是否存在這樣的時間x,使得M8成為等腰三角形？若存 在，諳你直接寫出對應(yīng)的x的值，若不存在，請你說明理由.圖1【答案】（1）寧；（2）詳見解析：（3）使得A48成為等腰三角形的x的值有：02 秒、3秒、座二i .25【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 BO=BD = 10, CD,=BID, - BC=2,由 tanZ BD/V=一可求出即可計算厶CED的而積，Sabce=S陽卄Sg；

10、AD CD（2）分類討論，當0仝時和當卅4時，分別列岀函數(shù)表達式：（3）分類討論，當陽=人8時；當弘=力8時:當加=曲時，根據(jù)勾股定理列方程即 可.【詳解】解：（1） *.* AB6cm, AD=8cm9:.BD=10cm,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 BD=BD=10cm, CD,=B,D, - BC=2cm.CE tanZ BDA=ABAD CD6 _CE8x6 小 3 小 45?/.S_=W-SCfD.= -2x-.2 = y(5)；113(2)當 0x 時，CD=2x+2, CE=- (x+1),5233Sa cde= x2+3xh 22.尸丄畑魚2 2 2 2 2當 Hx在 RtA DHG 中

11、，VZ AGD=60, DG = 2GH=2, DF=DG=4 0在 RtA DCF 中，CF = BE = CF = 2圖3【點睛】本題是四邊形綜合題目，考査了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判左與性質(zhì)、等腰直角三角 形的性質(zhì)、勾股定理、解宜角三角形的應(yīng)用等知識：本題綜合性強，證明三角形全等是解 題的關(guān)鍵.5. 如圖，在正方形&BCD中，E是邊上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且CF = AE,連接DE, DF9 EFFH平分ZEFB交BD于點、H（1）求證：DE丄DF；（2）求證：DH = DF ：（3）過點H作HM丄EF于點M,用等式表示線段A3,與FF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】（2）

12、詳見解析：（2）詳見解析：（3） EF = 2AB 2加，證明詳見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)，CF = AE得到QE丄DF.（2）由 MED 竺 MFD，得 DE = DFZABC = 90 BD 平分 ZABC,得ZDBF =45.因為FH平分ZEFB,所以ZEFH = ZBFH由于ZDHF =乙DBF + ZBFH = 45+ZBFH, ZDFH = ZDFE+ZEFH =45+ZEFH, 所以DH = DF （3）過點H作HN丄BC于點、N ,由正方形ABCD性質(zhì)，得bd = Jab? + ad?=近ab 由陽平分 zefb, hm 丄 ef, hn 丄 bc ,得HM

13、= HN.因為乙HBN = 45, ZHNB = 90,所以= -=邁HN =忑HM .sin 45由 EF = y/2DF = /2DH ,得 EF = 2AB_2HMcos 45【詳解】（1）證明：t四邊形ABCD是正方形， AD = CD, AEAD = ABCD = ZADC = 90Q.:.AEAD = AFCD = 90.CF = AEO:.AAED 竺CFD.ZADE = Z.CDF.:.ZEDF = ZEDC+ZCDF = ZEDC+ZADE = ZADC = 90.DE 丄 DF（2）iiE明：T AAED ACFD， DE = DF.V ZEDF =90。，:.ZDEF =

14、 ZDFE = 45. ZABC = 90, BD 平分 ZABC.:./DBF =45。.J FH 平分 ZEFB,:.ZEFH = ZBFH .V ZDHF = ZDBF + ZBFH = 45+ABFH, ZDFH = ZDFE+ZEFH = 45+ZEFH, ZDHF = ZDFH.:.DH = DF.(3) EF = 2AB-2HM 證明：過點H作HN丄BC于點N ,如圖，.正方形ABCD中，AB = AD, ZBAD = 90, BD = jAB + ADi =迥AB FH 平分 ZEFB, HM 丄 EF, HN 丄 BC,:.HM=HN.乙HBN = 45, ZHNB = 90

15、,BH =- = /2HN = s/2HM.sin 45 DH = BD-BH =4AB-邁HM EF=- = y/2DF = y/2DH ,cos 45EF = 2AB-2HM.【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股左理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的 關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股左理、角平分線的性質(zhì).三角函數(shù).6. 如圖，正方形OABC的頂點O與原點重合，點兒C分別在X軸與y軸的正半軸上，點&的坐標為（4, 0）,點D在邊上，且tanZ AOD =丄，點E是射線03上一動點,M丄x軸于點F,交射線OD于點G,過點G作GHW x軸交處于點H.（1）求B, D兩點的坐標；（2）

16、當點E在線段OB上運動時，求ZHDA的大?。海?）以點G為圓心，GH的長為半徑畫OG.是否存在點E使OG與正方形OABC的對角線 所在的直線相切？若不存在，請說明理由：若存在，請求出所有符合條件的點F的坐標.【答案】（1）B （4, 4） , D （4, 2） :（2） 45：（3）存在，符合條件的點為（8-【解析】【分析】（1）由正方形性質(zhì)知AB二OA二4, ZOAB二90。，據(jù)此得B （4, 4）,再由tanZ AOD=丄得AD=2A=2據(jù)此可得點坐標:GF |OF 2(2)由 tan ZGOF =一知 GF二一OF,再由Z A0B=Z ABO=45知 0F=EF,即GF二EF，根據(jù)GHI

17、I x軸知H為AE的中點，結(jié)合D為AB的中點知DH是 ABE的中位2線，即HDII BE,據(jù)此可得答案；（3）分0G與對角線0B和對角線AC相切兩種情況，設(shè)PG=x,結(jié)合題意建立關(guān)于x的方 程求解可得.【詳解】解:（1） : A （4, 0）,/. 0/4=4.四邊形OABC為正方形，:.AB = OA=, Z 0/48 = 90% B (4, 4),RtA OAD 中，Z 0/40=90,1T tanZ AOD=,211. &d= 0人=-x4=2,22 D (4, 2):(2)如圖 1,在 RtA OFG 中，Z OFG=90CBE/XD0圖1AX:.tanZ GOF=一，即 GF= 一

18、OF, OF 22四邊形OABC為正方形， Z AO3=Z&BO=45, OF=EF、1 GF= 一 EF,2G為EF的中點，T GHW x軸交M于H,H為AE的中點， B (4, 4) , D (4, 2) D為人8的中點，DH是ABE的中位線， HDW BE,:.Z HDA = AABO=45.(3)若OG與對角線08相切，如圖2,當點F在線段03上時，過點G作GP丄OB于點P,設(shè)PG=x,可得PE=x, EG=FG=Q, OF=EF=2 邁x、. 0/4=4,/. AF=4 2 近x,G為EF的中點,H為AE的中點,GH為4AFE的中位線,1GH=-AF=2解得：x=2y/2 - 2,E

19、 （84返，8-4./2），如圖3,當點F在線段03的延長線上時,X=y/2x- 2,解得：x=2+y/2,:.E （8+4返，8+42）:若OG與對角線&C相切，如圖4,當點E在線段BM上時，對角線AC, OB相交于點M,過點G作GP丄03于點P,設(shè)PG=x,可得PE=x, EG=FG=Q、 0F=EF=2 邁x,:0&=4, M=4-2 后，G為EF的中點，H為處的中點,GH為的中位線，1GH=-AF=2過點G作GQ丄AC于點Q則GQ=PM=3x2近， 3x2近=2 邁X、7(42 + 16 4 屈+16) E .77丿解得x = fhl7（16-4/2 16-4血E -.:I 77丿如圖

20、6,當點E在線段03的延長線上時,圖63x- 2邁=2,解得：x=4亞_2 （舍去）：7綜上所述，符合條件的點為（8-42 8-42）或（8+48+42）或“ + 16 4x/2 + 16|（16-42 16-407 ，7 或7 7 * / /【點睛】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和直角三角形的性質(zhì)、正切函數(shù)的左義、 三角形中位線定理及分類討論思想的運用.7.如圖，在-ABCD中，AC與BD交于點6 AC丄BC于點C,將 ABC沿AC翻折得到 AEC,連接 DE.（1）求證：四邊形ACED是矩形；（2）若 AC=4, BC=3,求 sinZABD 的值【答案】（2）證明見解析（2）

21、型I65【解析】【分析】（1）根據(jù)BCD中，AC丄BC,而ZkABC旻厶AEC,不難證明；（2）依據(jù)已知條件，在AABD或AAOC作垂線AF或OF,求岀相應(yīng)邊的長度，即可求出z ABD的正弦值.【詳解】(1) 證明：將 ABC沿AC翻折得到A AEC, BC=CE, AC丄CE,T四邊形ABCD是平行四邊形，ADII BC, AD = BC, AD = CE, ADII CE,四邊形ACED是平行四邊形， AC 丄 CE,四邊形ACED是矩形.(2) 解：方法一、如圖1所示，過點A作AF丄BD于點F, BE = 2BC = 2x3 = 6, DE=AC=4,/.在 RtA BDE 中，BD =

22、 BE2 + DE2 = 62 + 42 = 2x/13 丫 Sa bde= | xdead= * afbd, .ac_ 4x3 _6V1321313 RtA ABC 中，AB=后+42 =5,RtA ABF中，AF _ 613 _ 6Vf3sinZ ABF=sinZ ABD= ab 一 13 一 65 T方法二、如圖2所示，過點0作OF丄AB于點F,同理可得，OB=-BD = 42,s.aob=1ofab = 1oa-bc,2x3 6 I?在 RtA BOF 中,OFsinZ FBO=OB6 _6V13513 65sinz ABD=警-本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和

23、性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì) 和解直角三角形求線段的長度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形而積的訃算公式求岀 sinZ ABD&如圖，半圓0的直徑43 = 20,弦CDII AB.動點M在半徑OD ,射線與弦CD相 交于點E （點E與點C、D不重合），設(shè)OM=m.（1）求DE的長（用含m的代數(shù)式表示）：a 4（2）令弦CD所對的圓心角為a,且siny = y . 若4DEM的而積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍； 若動點W在CD上，且CN=OM9射線BM與射線0/V相交于點F,當Z OMF=90。時,【答案】（1） s=3160, + 300in芒55,13心I 【解析】【分析】de d

24、m（1）由知5S。琢w-=,據(jù)此可得;(2) 連接OC、作OP丄CD、MQ丄CD,由OC=O6 OP丄CD知乙DOP=乙COD、據(jù)此243可得 sinZ DOP=sinZ DMQ= x sinZ ODP=,繼而由 OM = m、00 = 10 得 QM= 5DMsinZ ODP= j (20-m)，根據(jù)三角形的面積公式即可得；如圖2,先求得PD=8、CDJ= 】6,證得鈴算求得。吹詈,據(jù)此可得的取值范圍:3如圖3,由8M=O8sinZ BOM= 10x- =6,可得OM = 8,根拯(1)所求結(jié)果可得答案.【詳解】(1) CDII AB.匹竺即匹10-OB OM 10100 10加 DE=m作

25、MQ丄CD于點aOC=OD. OP丄CD,1 Z DOP=乙 COD,2a4T sin=254/. sinZ DOP=sinZ DMQ= , sinZ ODP=-4 5T OM=my OD = 10, QM-DMsinA ODP- -(10-m).P!B.ogM=lMQ=lx1QQ-1Qx2 (10-.)=3.r-60,n + 30022 m 5如圖2,c4 PD = ODsinZ DOP= 10x- =8,5 CD=16, CDII AB.:. CDM- BOM,CD DM Iln 16 0_OM=,即一二BO OM 10 OM解得：OM=,135013.s= 3屛-60，+ 300芒 SC

26、O).13當Z OMF=90a時，如圖3,圖3則Z BMO=90,在 RtA BOM 中，BM=OBsinZ BOM=10x-=6則 0M=&100-10x858 2【點睛】本題主要考査圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判左與性 質(zhì)及解直角三角形的能力.9.如圖，濕地景區(qū)岸邊有三個觀景臺蟲.B、C.已知屈= 1400米，rlC = 1000X B點位于月點的南偏西607方向，C點位于蟲點的南偏東6&一1。方向.求血C的而積：（2）景區(qū)規(guī)劃在線段死 的中點Q處修建一個湖心亭，并修建觀景棧道試求蟲、。間的 距離.（結(jié)果精確到0米）（參考數(shù)據(jù)：sin53.20.80, cos

27、53.2 0.60 , sin 60.7 0.87 , cos60.7 0.49,sin66.10.91, cos66.lo0.41,北+月、【解析】試題分析：（i）過點C作CE丄麗交血的延長線于點E,然后根據(jù)直角三角形的內(nèi)角 和求出ZCAE,再根據(jù)正弦的性質(zhì)求出CE的長，從而得到AABC的面積；（2）連接過點。作DF丄加，垂足為歹點，則DFX CE .然后根據(jù)中點的性質(zhì)和余 弦值求出BE、AE的長，再根據(jù)勾股定理求解即可.試題解析：（1）過點C作CE丄朋交血的延長線于點ERtAC 中，18060.7c- 66 = 53.2所以 CE = 2C 血 53.2 說 1000x0.8 = 800

28、米.所以二送斗腦心二卜1400 x 800 = 560000（平方米）.連接過點。作DF丄肋，垂足為F點，則DF H CE.因為。是刃？中點，所以二*CE二400米，且F為8E中點,A= AC cos532 600 米，所以 BE 二 BA + AE 二 1400+ 600 = 2000 米.所以腫二評込400米，由勾股定理得，AD =AF：+DF2 = 74002 + 4002 = 400花砂 565.6 米.答：蟲、。間的距離為565-6米.10.已知：如圖，在RtA ABO中，Z 8=90, Z 048=30, OA=3.以點O為原點，斜邊OA 所在直線為x軸，建立平而直角坐標系，以點P （4, 0）為圓心，刖長為半徑畫圓，OP 與x軸的另一交點為N點M在OP上，且滿足Z MPN=60. OP以每秒1個單位長度的 速度沿x軸向左運動，設(shè)運動時間為rs,解答下列問題：（發(fā)現(xiàn)）（1）站介的長度為多少；（2）當匸2s時，求扇形MPN （陰影部分）與RtA ABO重疊部分的面積.（探究）當OP和ABO的邊所在的直線相切時